【试题互动】世界名题第一波 你都会做吗
时间:2025-04-02
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高斯算法、欧几里德算题……
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【试题互动】世界名题第一波 你都会做吗
2009-06-09 作者:匿名 来源:中国奥数网
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高斯算法
卡尔·弗里德里希·高斯是世界著名的数学家。小高斯出生在一个德国的农民家庭里,由
于家境贫困,他并没有受过什么早期教育,但他很小的时候就聪颖过人,有很高的数学天赋。
小高斯上小学一年级时,有一天,老师出了这样一道数学题让同学们计算:
1+2+3+4+……+99+100=?
老师刚刚出完题目,全班小朋友还在埋头计算,小高斯就很快说出了正确答案:5050。
小高斯是怎么巧妙地算出答案的呢?
原来他通过细心观察,发现1~100这一串数有一个十分明显的特征,即它们相邻两个
数的差都相等。若把这100个数,从两头往中间逐个相加,它们的和又都相等:1+100=2
高斯算法、欧几里德算题……
+98=……=49+52=50+50。像这样一共有50(100÷2)个数对,每对的两个数的和为101。
所以它们的总和为:
(1+100)×100÷2=101×50=5050
归纳出一个公式,是:
(首相+末项)×项数÷2(此公式为“高斯算法”的公式)
注:在数学上,人们把1-100这些书中的每个数都叫做一个项,并把这样的一串数称做
等差数列。
例1:100以内所有奇数的和是多少?
分析:100以内的奇数,第一个是1;第二个是3;第三个是5……最后一个是99,乙
共有50个数。其和为: (1+99)×50÷2=2500
答:(略)。
例2:1+2+3-4+5+6+7-8+9……+25+26+27-28= 。
分析:仔细观察这个算式,发现它很有规律地出现着一些“减数”。因此,计算时应特别
细心。下面介绍三种解法:
解法一:变减为加,整体推算。
(其中减数为4的倍数,共28÷4=7个)
(1+28)×28÷2-[(4+28)×7÷2]×2
=406-224
=182
这样想:开始我们把减数当成加数来算了,所以后来应减去这些减数的2倍
解法二:分组累计。
从头算起每四个数为1组,分别计算每组数的得数为:2、10、18……50。其和为:26、
34、42
(2+50)×7÷2
=182
这样想:四个数为1组,28个数即可分成7组。所以项数是7。
解法三:加数、减数分别统计。
减数全部拿出以后,剩下的加数是:
1+2+3+5+6+7+9……+25+26+27,
把这些加数每3个一组,并求出每组之和:
(1+2+3)+(5+6+7)+(9……)+(25+26+27)
=6+18+……+78
=(6+78)×7÷2
=294
七个减数的和为:
(4+28)×7÷2
=112
原式的得数为:
294-112
=182
高斯算法、欧几里德算题……
例3:小添添家的大时钟几点钟就敲几下,而且每半点也敲一下。请问,这只时钟一昼
夜共敲了多少下?
分析:我们先考虑每半点敲的那些,从1点到12点,时钟分别敲了1、2、3……11、
12下。利用“高斯算法”求出它们的和,再加上每半钟敲的12下。因为一昼夜是24小时,
时针要在钟面上转两圈,所以最后还应乘以2。
列式为:
[(1+12)×12÷2+12]×2
=[78+12]×2
=90×2
=180(下)
答:(略)。
例4:有一列数:19、22、25、28……请问,这列数的前99个数(从19开始算起)的
总和是多少?
分析:求总和,必须先算出这个数列的末项(即第99个数)是多少。仔细观察它们的
那前几项,不难发现:后一个数都比它前面的数大“3”(这就叫做这个数列的公差)。如果都
与第一个数相比,第二个数比第一个数多3;第三个数比第一个数多2个3;第四个数比第
一个数多3个3……由此不难推想出,第九十九个数一定比第一个数多98个3,它是:
19+3×(99-1)
=19+3×98
=19+294
313
再利用“高斯算法”求和:
(19+313)×99÷2
=16434
由此归纳出求末项的公式:
首项+公差×(项数-1)=末项
例5:从“99”开始,每隔三个数写出一个数来:99、103、107、111……求“1999”是这数