【试题互动】世界名题第一波 你都会做吗
时间：2025-04-04
高斯算法、欧几里德算题……
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【试题互动】世界名题第一波 你都会做吗
2009-06-09 作者：匿名 来源：中国奥数网
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高斯算法
卡尔·弗里德里希·高斯是世界著名的数学家。小高斯出生在一个德国的农民家庭里，由
于家境贫困，他并没有受过什么早期教育，但他很小的时候就聪颖过人，有很高的数学天赋。
小高斯上小学一年级时，有一天，老师出了这样一道数学题让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋……＋99＋100=？
老师刚刚出完题目，全班小朋友还在埋头计算，小高斯就很快说出了正确答案：5050。
小高斯是怎么巧妙地算出答案的呢？
原来他通过细心观察，发现1～100这一串数有一个十分明显的特征，即它们相邻两个
数的差都相等。若把这100个数，从两头往中间逐个相加，它们的和又都相等：1＋100=2
高斯算法、欧几里德算题……
＋98=……=49＋52=50＋50。像这样一共有50（100÷2）个数对，每对的两个数的和为101。
所以它们的总和为：
（1＋100）×100÷2=101×50=5050
归纳出一个公式，是：
（首相＋末项）×项数÷2（此公式为“高斯算法”的公式）
注：在数学上，人们把1-100这些书中的每个数都叫做一个项，并把这样的一串数称做
等差数列。
例1：100以内所有奇数的和是多少？
分析：100以内的奇数，第一个是1；第二个是3；第三个是5……最后一个是99，乙
共有50个数。其和为： （1＋99）×50÷2=2500
答：（略）。
例2：1＋2＋3－4＋5＋6＋7－8＋9……＋25＋26＋27－28= 。
分析：仔细观察这个算式，发现它很有规律地出现着一些“减数”。因此，计算时应特别
细心。下面介绍三种解法：
解法一：变减为加，整体推算。
（其中减数为4的倍数，共28÷4=7个）
（1＋28）×28÷2－[（4＋28）×7÷2]×2
=406－224
=182
这样想：开始我们把减数当成加数来算了，所以后来应减去这些减数的2倍
解法二：分组累计。
从头算起每四个数为1组，分别计算每组数的得数为：2、10、18……50。其和为：26、
34、42
（2＋50）×7÷2
=182
这样想：四个数为1组，28个数即可分成7组。所以项数是7。
解法三：加数、减数分别统计。
减数全部拿出以后，剩下的加数是：
1＋2＋3＋5＋6＋7＋9……＋25＋26＋27，
把这些加数每3个一组，并求出每组之和：
（1＋2＋3）＋（5＋6＋7）＋（9……）＋（25＋26＋27）
=6＋18＋……＋78
=（6＋78）×7÷2
=294
七个减数的和为：
（4＋28）×7÷2
=112
原式的得数为：
294－112
=182
高斯算法、欧几里德算题……
例3：小添添家的大时钟几点钟就敲几下，而且每半点也敲一下。请问，这只时钟一昼
夜共敲了多少下？
分析：我们先考虑每半点敲的那些，从1点到12点，时钟分别敲了1、2、3……11、
12下。利用“高斯算法”求出它们的和，再加上每半钟敲的12下。因为一昼夜是24小时，
时针要在钟面上转两圈，所以最后还应乘以2。
列式为：
［（1＋12）×12÷2＋12］×2
=［78＋12］×2
=90×2
=180（下）
答：（略）。
例4：有一列数：19、22、25、28……请问，这列数的前99个数（从19开始算起）的
总和是多少？
分析：求总和，必须先算出这个数列的末项（即第99个数）是多少。仔细观察它们的
那前几项，不难发现：后一个数都比它前面的数大“3”（这就叫做这个数列的公差）。如果都
与第一个数相比，第二个数比第一个数多3；第三个数比第一个数多2个3；第四个数比第
一个数多3个3……由此不难推想出，第九十九个数一定比第一个数多98个3，它是：
19＋3×（99－1）
=19＋3×98
=19＋294
313
再利用“高斯算法”求和：
（19＋313）×99÷2
=16434
由此归纳出求末项的公式：
首项＋公差×（项数－1）=末项
例5：从“99”开始，每隔三个数写出一个数来：99、103、107、111……求“1999”是这数
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