【试题互动】世界名题第一波 你都会做吗

时间:2025-04-02

高斯算法、欧几里德算题……

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【试题互动】世界名题第一波 你都会做吗

2009-06-09 作者:匿名 来源:中国奥数网

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高斯算法

卡尔·弗里德里希·高斯是世界著名的数学家。小高斯出生在一个德国的农民家庭里,由

于家境贫困,他并没有受过什么早期教育,但他很小的时候就聪颖过人,有很高的数学天赋。

小高斯上小学一年级时,有一天,老师出了这样一道数学题让同学们计算:

1+2+3+4+……+99+100=?

老师刚刚出完题目,全班小朋友还在埋头计算,小高斯就很快说出了正确答案:5050。

小高斯是怎么巧妙地算出答案的呢?

原来他通过细心观察,发现1~100这一串数有一个十分明显的特征,即它们相邻两个

数的差都相等。若把这100个数,从两头往中间逐个相加,它们的和又都相等:1+100=2

高斯算法、欧几里德算题……

+98=……=49+52=50+50。像这样一共有50(100÷2)个数对,每对的两个数的和为101。

所以它们的总和为:

(1+100)×100÷2=101×50=5050

归纳出一个公式,是:

(首相+末项)×项数÷2(此公式为“高斯算法”的公式)

注:在数学上,人们把1-100这些书中的每个数都叫做一个项,并把这样的一串数称做

等差数列。

例1:100以内所有奇数的和是多少?

分析:100以内的奇数,第一个是1;第二个是3;第三个是5……最后一个是99,乙

共有50个数。其和为: (1+99)×50÷2=2500

答:(略)。

例2:1+2+3-4+5+6+7-8+9……+25+26+27-28= 。

分析:仔细观察这个算式,发现它很有规律地出现着一些“减数”。因此,计算时应特别

细心。下面介绍三种解法:

解法一:变减为加,整体推算。

(其中减数为4的倍数,共28÷4=7个)

(1+28)×28÷2-[(4+28)×7÷2]×2

=406-224

=182

这样想:开始我们把减数当成加数来算了,所以后来应减去这些减数的2倍

解法二:分组累计。

从头算起每四个数为1组,分别计算每组数的得数为:2、10、18……50。其和为:26、

34、42

(2+50)×7÷2

=182

这样想:四个数为1组,28个数即可分成7组。所以项数是7。

解法三:加数、减数分别统计。

减数全部拿出以后,剩下的加数是:

1+2+3+5+6+7+9……+25+26+27,

把这些加数每3个一组,并求出每组之和:

(1+2+3)+(5+6+7)+(9……)+(25+26+27)

=6+18+……+78

=(6+78)×7÷2

=294

七个减数的和为:

(4+28)×7÷2

=112

原式的得数为:

294-112

=182

高斯算法、欧几里德算题……

例3:小添添家的大时钟几点钟就敲几下,而且每半点也敲一下。请问,这只时钟一昼

夜共敲了多少下?

分析:我们先考虑每半点敲的那些,从1点到12点,时钟分别敲了1、2、3……11、

12下。利用“高斯算法”求出它们的和,再加上每半钟敲的12下。因为一昼夜是24小时,

时针要在钟面上转两圈,所以最后还应乘以2。

列式为:

[(1+12)×12÷2+12]×2

=[78+12]×2

=90×2

=180(下)

答:(略)。

例4:有一列数:19、22、25、28……请问,这列数的前99个数(从19开始算起)的

总和是多少?

分析:求总和,必须先算出这个数列的末项(即第99个数)是多少。仔细观察它们的

那前几项,不难发现:后一个数都比它前面的数大“3”(这就叫做这个数列的公差)。如果都

与第一个数相比,第二个数比第一个数多3;第三个数比第一个数多2个3;第四个数比第

一个数多3个3……由此不难推想出,第九十九个数一定比第一个数多98个3,它是:

19+3×(99-1)

=19+3×98

=19+294

313

再利用“高斯算法”求和:

(19+313)×99÷2

=16434

由此归纳出求末项的公式:

首项+公差×(项数-1)=末项

例5:从“99”开始,每隔三个数写出一个数来:99、103、107、111……求“1999”是这数

中的第几个数? …… 此处隐藏:3959字,全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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