大学概率论与数理统计试题库及答案a

发布时间：2024-11-12

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概率论与数理统计

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<概率论>试题

一、填空题

1．设 A、B、C是三个随机事件。试用 A、B、C分别表示事件 1）A、B、C 至少有一个发生 2）A、B、C 中恰有一个发生 3）A、B、C不多于一个发生

2．设 A、B为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(BA)=0.8。则P(B A)＝ 3．若事件A和事件B相互独立, P(A)= ,P(B)=0.3，P(A B)=0.7,则 4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为

5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为

6.设离散型随机变量X分布律为P{X k} 5A(1/2)kA=______________

7. 已知随机变量X的密度为f(x)

(k 1,2, )则

ax b,0 x 1

,且P{x 1/2} 5/8,则

0,其它

a ________ b ________

8. 设X～N(2, 2),且P{2 x 4} 0.3,则P{x 0} _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为中率为_________

10.若随机变量在（1，6）上服从均匀分布，则方程x+ x+1=0有实根的概率是

，则该射手的命81

11.设P{X 0,Y 0}

，P{X 0} P{Y 0} ，则P{max{X,Y} 0} 77

12.用（X,Y）的联合分布函数F（x,y）表示P{a X b,Y c} 13.用（X,Y）的联合分布函数F（x,y）表示P{X a,Y b}

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14.设平面区域D由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D上服从均匀分布，则（x,y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。 15.已知X~N( 2,0.42)，则E(X 3)2＝16.设X~N(10,0.6),Y~N(1,2)，且X与Y相互独立，则17.设X

的概率密度为f(x)

D(3X Y)

x，则D(X)＝

18.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N（0，2），X3服从参数为 =3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=

19.设D(X) 25,D Y 36, xy 0.4，则D(X Y) 20.设X1,X2, ,Xn, 是独立同分布的随机变量序列,且均值为 ,方差为 ,那么当n充分大时,近似有X～或

。特别是，当同为正态分布时，

对于任意的n，都精确有X～

21.设X1,X2, ,Xn, 是独立同分布的随机变量序列,且EXi ，DXi 2(i 1,2, )

1n2

那么 Xi依概率收敛于 .

ni 1

22.设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,2)的样本，令Y (X1 X2)2 (X3 X4)2,

则当C 时CY～ (2)。

23.设容量n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=

24.设X1,X2, Xn为来自正态总体 N( , )的一个简单随机样本，则样本均值

i服从

ni 1

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二、选择题

1. 设A,B为两随机事件，且B A，则下列式子正确的是

（A）P (A+B) = P (A); （B）P(AB) P(A);

（C）P(B|A) P(B); （D）P(B A) P(B) P(A) 2. 以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B）“甲、乙两种产品均畅销” （C）“甲种产品滞销”；（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。 3. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是

（A）1/5 （B）2/5 （C）3/5 （D）4/5 4. 对于事件A，B，下列命题正确的是（A）若A，B互不相容，则A与B也互不相容。（B）若A，B相容，那么A与B也相容。

（C）若A，B互不相容，且概率都大于零，则A，B也相互独立。（D）若A，B相互独立，那么A与B也相互独立。

5. 若P(BA) 1，那么下列命题中正确的是

（A）A B （B）B A （C）A B （D）P(A B) 0 6．设X～N( , ),那么当增大时，P{X } A）增大 B）减少 C）不变 D）增减不定。

7．设X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，且f(x) f( x)。那么对任意给定的a都有 A）f( a) 1

f(x)dx B） F( a)

f(x)dx 02

C）F(a) F( a) D） F( a) 2F(a) 1 8．下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是

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A）F(x) 1

111

F(x) arctanx B）

x22

1 x

x (1 e),x 0

C）F(x) 2 D） F(x) f(t)dt，其中 f(t)dt 1

0,x 0

9．假设随机变量X的分布函数为F(x),密度函数为f(x).若X与-X有相同的分布函数，则下列各式中正确的是

A）F(x) = F(-x); B) F(x) = - F(-x); C) f (x) = f (-x); D) f (x) = - f (-x).

Ae x,x

10．已知随机变量X的密度函数f(x)= ( >0,A为常数)，则概率P{ X< +a}

x 0,

（a>0）的值

A）与a无关，随的增大而增大 B）与a无关，随的增大而减小 C）与无关，随a的增大而增大 D）与无关，随a的增大而减小

11．X1,X2独立,且分布率为 (i 1,2),那么下列结论正确的是 A）X1 X2 Ｂ）P{X1 X2} 1 C）

P{X1 X2}

Ｄ）以上都不正确 12．设离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为且X,Y相互独立，则

A） 2/9, 1/9 B） 1/9, 2/9 C） 1/6, 1/6 D） 8/15, 1/18

2213．若X～( 1, 1)，Y～( 2, 2)那么(X,Y)的联合分布为

A）二维正态，且 0 B）二维正态，且不定 C）未必是二维正态 D）以上都不对

14．设X，Y是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为FX(x),FY(y),则Z = max {X,Y} 的分布函数是

A）FZ（z）= max { FX(x),FY(y)}; B) FZ（z）= max { |FX(x)|,|FY(y)|} C) FZ（z）= FX（x）·FY(y) D)都不是

15．下列二无函数中，可以作为连续型随机变量的联合概率密度。

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cosx, x ,0 y 1

A）f(x,y)= 22

0,其他 1 cosx, x ,0 y

B) g(x,y)= 222

0, 其他

C) (x,y)=

cosx,0 x ,0 y 1

其他 0,

cosx,0 x ,0 y

D) h(x,y)= 2

0, 其他

16．掷一颗均匀的骰子600次，那么出现“一点”次数的均值为

A） 50 B） 100 C）120 D） 150

17．设X1,X2,X3相互独立同服从参数 3的泊松分布，令Y

(X1 X2 X3)，则 3

E(Y2)

A）1. B）9. C）10. D）6. 18．对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY) E(X) E(Y)，则

A）D(XY) D(X) D(Y) B）D(X Y) D(X) D(Y) C）X和Y独立 D）X和Y不独立

19．设 P( )(Poission分布)，且E (X 1) X 2 1，则 = A）1， B）2， C）3， D）0

20．设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则D(X Y) D X D Y 是X和Y的 A）不相关的充分条件，但不是必要条件； B）独立的必要条件，但不是充分条件； C）不相关的充分必要条件； D）独立的充分必要条件

21．设X～N( , )其中已知，未知，X1,X2,X3样本，则下列选项中不是统计量的是

A）X1 X2 X3 B）max{X1,X2,X3} C）

i 1

Xi2

D）X1

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22．设X～ (1,p) ,X1,X2, ,Xn,是来自X的样本，那么下列选项中不正确的是A）当n充分大时，近似有X～N p,

p(1 p)

B）P{X k} Cnp(1 p)n k,k 0,1,2, ,n

C）P{X Cnp(1 p)

kkn k

,k 0,1,2, ,n

D）P{Xi k} Cnp(1 p)n k,1 i n

23．若X～t(n)那么 2～A）F(1,n) B）F(n,1) C） 2(n) D）t(n)

24．设X1,X2, Xn为来自正态总体N( , 2)简单随机样本，X是样本均值，记

1n1n1n2222S (Xi X)，S2 (Xi X)，S3 (Xi )2， n 1i 1ni 1n 1i 1

S (Xi )2，则服从自由度为n 1的t分布的随机变量是

ni 1

A) t

X S1/n 1

B) t

X S2/ 1

C) t

X S3/n

D) t

X S4/n

25．设X1,X2, Xn，Xn+1, ,Xn+m是来自正态总体N(0, )的容量为n+m的样本，则统计量

m i2n i2

i n 1i 1n m

服从的分布是

A) F(m,n) B) F(n 1,m 1) C) F(n,m) D) F(m 1,n 1)

三、解答题

1．10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。

2.任意将10本书放在书架上。其中有两套书，一套3本，另一套4本。求下列事件的概率。 1） 3本一套放在一起。 2）两套各自放在一起。

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3）两套中至少有一套放在一起。

3.调查某单位得知。购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD占10%，购买电脑和DVD占5％，三种电器都购买占2％。求下列事件的概率。 1）至少购买一种电器的； 2）至多购买一种电器的； 3）三种电器都没购买的；

4．仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的，且甲厂，乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品，求取得正品的概率。

5．一箱产品，A，B两厂生产分别个占60％，40％，其次品率分别为1％，2％。现在从中

任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？

6．有标号1～n的n个盒子，每个盒子中都有m个白球k个黑球。从第一个盒子中取一个

球放入第二个盒子，再从第二个盒子任取一球放入第三个盒子，依次继续，求从最后一个盒子取到的球是白球的概率。

7．从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所求抽取次数的分布率。（1）放回（2）不放回

8．设随机变量X的密度函数为f(x) Ae求 (1）系数A, (2) P{0 x 1} (3) 分布函数F(x)。

9．对球的直径作测量，设其值均匀地分布在[a,b]内。求体积的密度函数。

10．设在独立重复实验中，每次实验成功概率为0.5，问需要进行多少次实验，才能使至少成功一次的概率不小于0.9。

11．公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高

( x ),

X N(168,72),问车门的高度应如何确定？

12．设随机变量X的分布函数为：F(x)=A+Barctanx,(- x ).

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求：（1）系数A与B；

（2）X落在（-1，1）内的概率；（3）X的分布密度。

13．把一枚均匀的硬币连抛三次，以X表示出现正面的次数，Y表示正、反两面次数差的绝对值，求(X,Y)的联合分布律与边缘分布。 14．设二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布函数为

F(x,y) A(B arctan

)(C arctan) 23

求（1）A、B、C的值，（2）(X,Y)的联合密度，（3）判断X、Y的独立性。

Ae (3x 4y),x 0,y 0

15．设连续型随机变量（X，Y）的密度函数为f(x,y)= ,

其他0,

求（1）系数A；（2）落在区域D：{0 x 1,0 y 2}的概率。 16．设(X,Y)的联合密度为f(x,y) Ay(1 x),0 x 1,0 y x，

（1）求系数A，（2）求(X,Y)的联合分布函数。

17．上题条件下：（1）求关于X及Y的边缘密度。（2）X与Y是否相互独立？ 18．在第16）题条件下，求f(yx)和f(xy)。

19．盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽到白球数X的数学期望E(X)和方差D(X)。

20．有一物品的重量为1克，2克，﹒﹒﹒，10克是等概率的，为用天平称此物品的重量准备了三组砝码，甲组有五个砝码分别为1，2，2，5，10克，乙组为1，1，2，5，10克，丙组为1，2，3，4，10克，只准用一组砝码放在天平的一个称盘里称重量，问哪一组砝码称重物时所用的砝码数平均最少?

21．公共汽车起点站于每小时的10分，30分，55分发车，该顾客不知发车时间，在每小时内的任一时刻随机到达车站，求乘客候车时间的数学期望（准确到秒）。

22．设排球队A与B比赛，若有一队胜4场，则比赛宣告结束，假设A，B在每场比赛中获胜的概率均为1/2,试求平均需比赛几场才能分出胜负？

23．一袋中有n张卡片，分别记为1，2，﹒﹒﹒，n，从中有放回地抽取出k张来，以X表

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示所得号码之和，求E(X),D(X)。

24．设二维连续型随机变量（X ，Y）的联合概率密度为：f (x ,y)= 求：① 常数k， ② E XY 及D(XY).

k,0 x 1,0 y x

其他 0,

25．设供电网有10000盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7，并且彼此开闭与否相互独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在6800到7200之间的概率。

26．一系统是由n个相互独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为0.9，且必须至少由 80%的部件正常工作，系统才能正常工作，问n至少为多大时，才能使系统正常工作的概率不低于 0.95？

27．甲乙两电影院在竞争1000名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于1%。

28．设总体X服从正态分布，又设与S分别为样本均值和样本方差，又设

且Xn 1与X1,X2, ,Xn相互独立，求统计量

Xn 1 N( , 2)，

的分布。 29．在天平上重复称量一重为的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布若以n表示n次称量结果的算术平均值，为使Pn a 0.1 0.95成立，N( ,0.22)，

求n的最小值应不小于的自然数？

30．证明题设A，B是两个事件，满足P(BA) P(BA)，证明事件A，B相互独立。 31．证明题设随即变量X的参数为2的指数分布，证明Y 1 e从均匀分布。

在区间（0，1）上服

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<数理统计>试题

一、填空题

1．设X1,X2, ,X16 是来自总体X~N(4, 2) 的简单随机样本，已知，令

4X 16116

服从分布为（必须写出分布的参数）。 Xi，则统计量

16i 1

2．设X~N( , 2)，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体X中抽取的样本，则的矩估计值为。

3．设X~U[a,1]，X1, ,Xn是从总体X中抽取的样本，求a的矩估计为 4．已知F0.1(8,20) 2，则F0.9(20,8)

和是比都是参数a的无偏估计，如果有成立，则称有效的估计。5．

6．设样本的频数分布为

则样本方差s2=_____________________。

7．设总体X~N（μ，σ²），X1，X2，，Xn为来自总体X的样本，X为样本均值，则D（X）＝________________________。

8．设总体X服从正态分布N（μ，σ²），其中μ未知，X1，X2，，Xn为其样本。若假设

检验问题为H0： 2＝1 H1： 2 1，则采用的检验统计量应________________。 9．设某个假设检验问题的拒绝域为W，且当原假设H0成立时，样本值（x1,x2, ，xn）落

入W的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为_____________________。

10．设样本X1，X2，，Xn来自正态总体N（μ，1），假设检验问题为： H0：＝0 H1： 0，

则在H0成立的条件下，对显著水平α，拒绝域W应为______________________。

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11．设总体服从正态分布N( ,1)，且

未知，设X1, ,Xn为来自该总体的一个样本，记

ni 1，则的置信水平为1 的置信区间公式是；若已知1 0.95，

则要使上面这个置信区间长度小于等于0.2，则样本容量n至少要取__ __。

22X,X, ,XN( , )的一个简单随机样本，12n12．设为来自正态总体其中参数和均

1n2

XiQ (Xi )2

Hni 1，i 1未知，记，则假设0： 0的t检验使用的统计

量是。（用和Q表示）

2X,X,X13．设总体X~N( , )，且已知、未知，设123是来自该总体的一个样本，

(X1 X2 X3) 2222

X 2 X 3 XX X X ，X(1) 2 中是统计3123123则，，

量的有。

14．设总体X的分布函数F(x)，设则

X1,X2, ,Xn为来自该总体的一个简单随机样本，

X1,X2, ,Xn的联合分布函数。

X, ,Xn是

15．设总体X服从参数为p的两点分布，p（0 p 1）未知。设1

来自该总体的一个样本，则的有。

X, (X

i 1

)2,Xn 6,max{Xi},Xn pX1

1 i n

中是统计量

16．设总体服从正态分布N( ,1)，且未知，设X1, ,Xn为来自该总体的一个样本，记

ni 1，则的置信水平为1 的置信区间公式是。

Y~N( , )，且X与Y相互独立，设X1, ,Xm为来自总体X~N( , )YYXX17．设，

X的一个样本；设Y1, ,Yn为来自总体Y的一个样本；SX和SY分别是其无偏样本方差，

SX/ X22S/ YY则服从的分布是。

18．设X N ,0.3n 9，均值 5，则未知参数的置信度为0.95的置信

区间是 (查表Z0.025 1.96）

19．设总体X～N( , )，X1，X2，，Xn为来自总体X的样本，X为样本均值，则D

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（X）＝________________________。

20．设总体X服从正态分布N（μ，σ²），其中μ未知，X1，X2，，Xn为其样本。若假设

检验问题为H0： 2＝1 H1： 2 1，则采用的检验统计量应________________。 21．设X1,X2, ,Xn是来自正态总体N( , 2)的简单随机样本，和均未知，记

1n2

X Xi, (Xi X)2,则假设H0: 0的t检验使用统计量T

ni 1i 1

＝。

1m1n

22．设X Xi和Y Yi分别来自两个正态总体N( 1, 12)和N( 2, 22)的样本

mi 1ni 1

均值，参数 1， 2未知，两正态总体相互独立，欲检验H0: 12 2 ，应用法，其检验统计量是。

23．设总体X～N( , 2)， , 2为未知参数，从X中抽取的容量为n的样本均值记为X，

*修正样本标准差为Sn，在显著性水平下，检验假设H0: 80，H1: 80的拒绝域

为，在显著性水平下，检验假设H0: 2 02（ 0已知），H1: 1 02的拒绝域为。

24．设总体X～b(n,p),0 p 1,X1,X2, ,Xn为其子样，n及p的矩估计分别是。

25．设总体X～U 0, ,(X1,X2, ,Xn)是来自X的样本，则的最大似然估计量是。

26．设总体X～N( ,0.9)，X1,X2, ,X9是容量为9的简单随机样本，均值x 5，则未知参数的置信水平为0.95的置信区间是。

27．测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差（微米）如下： +2，+1，-2，+3，+2，+4，-2，+5，+3，+4 则零件尺寸偏差的数学期望的无偏估计量是

28．设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,2)的样本，令Y (X1 X2) (X3 X4),

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则当C 时CY～ 2(2)。

29．设容量n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=

30．设X1,X2, Xn为来自正态总体 N( , 2)的一个简单随机样本，则样本均值

i服从

ni 1

二、选择题

1）的一部分样本，设：1.X1,X2, ,X16是来自总体X~N(0，

2222

，则Z X1 X8Y X9 X16

~（） Y

(A)N(0,1) (B)t(16) (C) 2(16) (D)F(8,8)

2.已知X1,X2, ,Xn是来自总体的样本，则下列是统计量的是（）

11n2

(D)X aX1+5 +10 X(A)X X +A (B)(C)X a i

3n 1i 1

3.设X1, ,X8和Y1, ,Y10分别来自两个相互独立的正态总体N( 1,2)和N(2,5)的样本,

分别是其样本方差，则下列服从F(7,9)的统计量是( ) S12和S2

2S124S125S125S12

(A) (B) (C) (D) 2222

4S25S25S22S2

1n2

4.设总体X~N( , )，X1, ,Xn为抽取样本，则 (Xi X)是（）

ni 1

(A) 的无偏估计 (B) 2的无偏估计 (C) 的矩估计 (D) 2的矩估计

5、设X1, ,Xn是来自总体X的样本，且EX ，则下列是的无偏估计的是（）

1n 11n 11n1n(A) Xi (B)Xi (D)Xi Xi (C)n n 1i 1ni 1n 1i 2i 1

X,X, ,XN( , )的一个样本，若进行假设检验，当__ 12n6．设为来自正态总体__时，

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2222

未知，检验＝已知，检验＝ 00(A) (B)

22 未知，检验＝ 0(C) (D)已知，检验＝ 0

7．在单因子方差分析中，设因子A有r个水平，每个水平测得一个容量为列说法正确的是___ __

(A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验

mi的样本，则下

(C)方差分析中

Se (yij i.)2

i 1j 1r

rmi

包含了随机误差外,还包含效应间的差异

(D)方差分析中

SA mi(i. )2

i 1

包含了随机误差外,还包含效应间的差异

8．在一次假设检验中，下列说法正确的是______ (A)既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误

(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误 (C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都不变

(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误

2X~N( , )的均值和作区间估计，得到置信度为95%的置信区间，意义是指9．对总体

这个区间

(A)平均含总体95%的值 (B)平均含样本95%的值

(C)有95%的机会含样本的值 (D)有95%的机会的机会含的值 10．在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（） (A)在H0不成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率 (B)在H0不成立的条件下，经检验H0被接受的概率 (C)在H00成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率 (D)在H0成立的条件下，经检验H0被接受的概率

11. 设总体X服从正态分布N , ,X1,X2, ,Xn是来自X的样本，则的最大似然

大学概率论与数理统计试题库及答案a

估计为

221n1n1n2

（A） Xi （B）Xi （C） Xi （D）2 ni 1n 1i 1ni 12(X, ,Xn)是来自总体X的一个样本，则12.X服从正态分布，EX 1，EX 5，1

i 1

服从的分布为___ 。

(A)N( 1,5/n) (B)N( 1,4/n) (C)N( 1/n,5/n) (D)N( 1/n,4/n)

X,X, ,XN( , )的一个样本，若进行假设检验，当___ __

n为来自正态总体13．设12

时，一般采用统计量

2222