河北省石家庄市正定中学2014- 2015学年高一（下）期末

数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的.请把正确答案涂在答题卡上.）

1．已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）

A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）2．两直线（2m﹣1）x+y﹣3=0与6x+my+1=0垂直，则m的值为（）

A． 0 B．

C．

D． 0或

3．已知不重合的直线m、l和平面α、β，且m⊥α，l⊂β．给出下列命题，其中正确命题的个数是（）

①若α∥β，则m⊥l；

②若α⊥β，则m∥l；

③若m⊥l，则α∥β；

④若m∥l，则α⊥β．

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）

1

2

A ． 2+

B ． 4+

C ． 2+2

D ． 5

5．已知x ，y 满足约束条件，若z=ax+y 的最大值为4，则a=（ ）

A ． 3

B ． 2

C ． ﹣2

D ． ﹣3

6．设a ，b ，c 均为正数，且2a =

，，，则（ ）

A ． a ＜b ＜c

B ． c ＜b ＜a

C ． c ＜a ＜b

D ． b ＜a ＜c

7．将函数的图象向左平移m （m ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

8．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y 轴反射后与圆（x+3）2+（y ﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）

A ． ﹣或﹣

B ． ﹣或﹣

C ． ﹣或﹣

D ． ﹣或﹣

3 9．已知数列{a n }满足a 2=102，a n+1﹣a n =4n ，（n ∈N *），则数列

的最小值是（ ） A ． 25

B ． 26

C ． 27

D ． 28

10．三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA⊥平面ABC ，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，则球O 的表面积为（ ）

A ．

B ．

C ． 3π

D ． 12π

11．已知数列{a n }满足：a n =log n+1（n+2）（n ∈N *），定义使a 1•a 2•a 3…a k 为整数的

数k （k ∈N *）叫做企盼数，则区间[1，2011]内所有的企盼数的和为（ ）

A ． 1001

B ． 2030

C ． 2026

D ． 2048

12．已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么的最小值为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案写在答题纸上.）

13

．设向量满足

，，则= ．

14．在△ABC 中，a=4，b=5，c=6，则

= ．

15．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱A 1B 1的中点，则直线AE 与平面BDD 1B 1所成角的正弦值 ．

4

16

．数列

的前80项的和等

于 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.）

17．设圆上的点A （2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且与直线x ﹣y+1=0相交的弦长为2

，求圆的方程．

18．设f （x ）=sinxcosx ﹣cos 2（x+

）． （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；

（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．

19．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=． （Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD ；

（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦；

（Ⅲ）求点E 到平面ACD 的距离．

5

20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，3），直线l ：y=2x ﹣4．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．

（1）若圆心C 也在直线y=x ﹣1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；

（2）若圆C 上存在点M ，使MA=2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．

21．如图，在三棱台DEF ﹣ABC 中，AB=2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点． （Ⅰ）求证：BD∥平面FGH ；

（Ⅱ）若CF⊥平面ABC ，AB⊥BC，CF=DE ，∠BAC=45°，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小．

22．数列{a n }满足a 1=2，a n+1=a n 2+6a n +6（n ∈N *）．

（1）设C n =log 5（a n +3），求证{C n }是等比数列；

（2）求数列{a

n

}的通项公式；

（3）设b

n =，数列{b

n

}的前n项和为T

n

，求证：T

n

＜﹣．

6

河北省石家庄市正定中学2016-2017学年高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的.请把正确答案涂在答题卡上.）

1．已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）

A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）

考点：交集及其运算．

专题：集合．

分析：求出集合A，然后求出两个集合的交集．

解答：解：集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，

则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．

故选：C．

点评：本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．

2．两直线（2m﹣1）x+y﹣3=0与6x+my+1=0垂直，则m的值为（）

A． 0 B．

C．

D． 0或

考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．

专题：直线与圆．

分析：根据两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，解方程求得m的值．

解答：解：∵（2m﹣1）x+y﹣3=0与6x+my+1=0，

∴6（2m﹣1）+m=0，解得m=，

故选：C．

7

点评：本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，属于基础题．

3．已知不重合的直线m、l和平面α、β，且m⊥α，l⊂β．给出下列命题，其中正确命题的个数是（）

①若α∥β，则m⊥l；

②若α⊥β，则m∥l；

③若m⊥l，则α∥β；

④若m∥l，则α⊥β．

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考点：命题的真假判断与应用．

专题：综合题；空间位置关系与距离．

分析：根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定，将由条件可能推出的其它的结论也列举出来．

解答：解：若α∥β，且m⊥α⇒m⊥β，又l⊂β⇒m⊥l，所以①正确．

若α⊥β，且m⊥α⇒m∥β，又l⊂β，则m与l可能平行，可能异面，所以②不正确．

若m⊥l，且m⊥α，l⊂β⇒α与β可能平行，可能相交．所以③不正确．

若m∥l，且m⊥α⇒l⊥α又l⊂β⇒α⊥β，∴④正确．

故选：B．

点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，属于中档题．

4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）

8

9

A ． 2+

B ． 4+

C ． 2+2

D ． 5

考点： 由三视图求面积、体积．

专题： 空间位置关系与距离．

分析： 根据三视图可判断直观图为：A⊥面ABC ，AC=AB ，E 为BC 中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO ，AC=，OE= 判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．

解答： 解：根据三视图可判断直观图为：

OA⊥面ABC ，AC=AB ，E 为BC 中点，

EA=2，EC=EB=1，OA=1，

∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，

运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO ，AC=

，OE= ∴S △ABC =

2×2=2，S △OAC =S △OAB

=×1=． S △BCO =2×

=．

故该三棱锥的表面积是2

， 故选：C ．

点评：本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质．

5．已知x，y 满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（） A． 3 B． 2 C．﹣2 D．﹣3

考点：简单线性规划．

专题：不等式的解法及应用．

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．

解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．

则A（2，0），B（1，1），

若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，

此时，目标函数为z=2x+y，

即y=﹣2x+z，

平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，

若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，

此时，目标函数为z=3x+y，

即y=﹣3x+z，

10

平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为﹣6，不满足条件，

故a=2，

故选：

B

点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．

6．设a，b，c均为正数，且2a =

，，，则

（）

A． a＜b＜c B． c＜b＜a C． c＜a＜b D． b＜a＜c

考点：对数值大小的比较．

专题：数形结合．

11

分析：比较大小可以借助图象进行比较，观察题设中的三个数a，b，c，可以借助函数图象的交点的位置进行比较．

解答：解：分别作出四个函数y=，

y=2x，y=log

2

x的图象，观察它们的交点情况．

由图象知：

∴a＜b＜c．

故选A．

点评：本题考点是对数值大小的比较，本题比较大小时用到了对数函数和指数函数的图象，比较大小的题在方法上应灵活选择，依据具体情况选择合适的方法．

7．将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）

A．

B．

C．

D．

考点：两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．

12

分析：函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．

解答：解：y=cosx+sinx=2（

cosx+sinx）=2sin（x+），

∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，

∴m+=kπ+（k∈Z），

则m 的最小值为．

故选B

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键．

8．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）

A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣

考点：圆的切线方程；直线的斜率．

专题：计算题；直线与圆．

分析：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．

解答：解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），

故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．

∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，

∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，

化为24k2+50k+24=0，

13

∴k=或﹣．

故选：D．

点评：本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．

9．已知数列{a

n }满足a

2

=102，a

n+1

﹣a

n

=4n，（n∈N*），则数列的最小值是（）

A． 25 B． 26 C． 27 D． 28

考点：数列递推式；数列的函数特性．

专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．

分析：利用累加法可求得a

n

，表示出后利用基本不等式可求得其最小值，注意求通项时验证n=1的情形．

解答：解：由a

n+1﹣a

n

=4n得，

a

3﹣a

2

=8，a

4

﹣a

3

=12，a

5

﹣a

4

=16，…，a

n

﹣a

n﹣1

=4（n﹣1），

以上各式相加得，a

n ﹣a

2

=，所以a

n

=102+（n﹣2）（2n+2）

（n≥2），

而a

2﹣a

1

=4，所以a

1

=a

2

﹣4=98，适合上式，

故a

n

=102+（n﹣2）（2n+2）（n∈N*），

=﹣2=26，

当且仅当即n=7时取等号，

所以数列的最小值是26，

故选B．

点评：本题考查由数列递推式求数列通项、基本不等式求最值，考查学生综合运用知识解决问题的能力．

14

10．三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，则球O的表面积为（）

A．

B．

C．3πD．12π

考点：球的体积和表面积．

专题：计算题；球．

分析：根据题意，三棱锥S﹣ABC扩展为正方体，正方体的外接球的球心就是正方体体对角线的中点，求出正方体的对角线的长度，即可求解球的半径，从而可求三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积．

解答：解：三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，

三棱锥扩展为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的对角线的长度，

∴球的半径R==．

球的表面积为：4πR2=4=3π．

故选：C．

点评：本题考查三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积，解题的关键是确定三棱锥S ﹣ABC的外接球的球心与半径．

15

11．已知数列{a

n }满足：a

n

=log

n+1

（n+2）（n∈N*），定义使a

1

•a

2

•a

3

…a

k

为整数的

数k（k∈N*）叫做企盼数，则区间[1，2011]内所有的企盼数的和为（） A． 1001 B． 2030 C． 2026 D． 2048

考点：对数的运算性质．

专题：新定义．

分析：先利用换底公式与叠乘法把a

1•a

2

•a

3

…a

k

化为log

2

（k+2）；然后根据

a

1•a

2

•a

3

…a

k

为整数，可得k=2n﹣2；最后由等比数列前n项和公式解决问题．

解答：解：a

n =log

n+1

（n+2）=，（n∈N*），

∴a

1•a

2

•a

3

…a

k

==log

2

（k+2），

又∵a

1•a

2

•a

3

…a

k

为整数

∴k+2必须是2的n次幂（n∈N*），即k=2n﹣2．

∴k∈[1，2011]内所有的企盼数的和

M=（22﹣2）+（23﹣2）+（24﹣2）+…+（210﹣2）

=﹣2×9=2026，

故选C．

点评：本题在理解新定义的基础上，考查换底公式、叠乘法及等比数列前n项和公式，其综合性、技巧性是比较强的．

12．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么

的最小值为（）

A．

B．

C．

D．

考点：圆方程的综合应用；平面向量数量积的运算．专题：向量与圆锥曲线．

16