2019新版高中数学人教A版选修2-1习题：第三章空间向量与立体几何 3.2.4

2019

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第4课时用向量方法求空间中的距离

课时过关·能力提升

基础巩固

1若O为原点,=(1,1,-2),=(3,2,8),=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为() A. B.2 C. D.

,∴---.∴||=.

2已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在α内,则点P(-2,1,4)到平面α的距离为() A.10 B.3 C. D.

=(1,2,-4),又平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),所以点P到α的距离为.

3若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是()

A. B. C. D.

PA,PB,PC所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(图略),则

A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1),则d=.

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4在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=AA1=4,点D是AA1的中点,则点A1到平面DBC1的距离是()

A. B. C. D.

5已知直线l过原点,一个方向向量为n=(1,1,1),则点A(0,0,3)到直线l的距离为.

6已知A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),则点D到平面ABC的距离为.

ABC的法向量n=(x,y,z),

-

则即

∴可取n=--.又=(-7,-7,7),

∴点D到平面ABC的距离d=.

7在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=9,BC=6,N为BC的中点,则直线D1C1与平面A1B1N 的距离是.

8已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,E,F分别是BB1,CD的中点,求点F到平面A1D1E的距离.

,如图所示,

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则A1(a,0,a),D1(0,0,a),A(a,0,0),B(a,a,0),B1(a,a,a),E,F.设平面A1D1E的法向量为n=(x,y,z),

则n·=0,n·=0,

即-

-

∴-ax=0,ay-z=0.

∴令z=2,得n=(0,1,2).

又-,

∴所求距离d= a.

9如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又知BA1⊥AC1.

(1)求证:AC1⊥平面A1BC;

(2)求CC1到平面A1AB的距离.

,取AB的中点E,连接DE,则DE∥BC.

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因为BC⊥AC,所以DE⊥AC.

又A1D⊥平面ABC,以的方向为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系,设

A1D=t(t>0),则A(0,-1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),A1(0,0,t),C1(0,2,t),所以=(0,3,t),=(-2,-1,t),=(2,0,0).

由=0,知AC1⊥CB,

又BA1⊥AC1,从而AC1⊥平面A1BC.

=-3+t2=0,得t=.

设平面A1AB的法向量为n=(x,y,z),=(0,1,),=(2,2,0),

所以

设z=1,则n=(,-,1),

又CC1∥AA1,所以CC1∥平面A1AB.

所以CC1到平面A1AB的距离可转化为点C1到平面A1AB的距离d,且d=.

能力提升

1已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,点E是CC1的中点,则点E到直线A1B的距离为() A. B.2 C.2 D.3

2正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()

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A.a

B.a

C.a

D.a

.

则A(a,0,0),B(a,a,0),D(0,0,0),C1(0,a,a),D1(0,0,a),B1(a,a,a),

∴=(0,a,a),=(-a,0,a),=(-a,0,a),=(0,a,a).

设n=(x,y,z)为平面AB1D1的法向量,

则

-

-取z=1,则n=(1,-1,1).

得

又∵AD1∥BC1,AB1∥DC1,AD1∩AB1=A,

DC1∩BC1=C1,∴平面AB1D1∥平面BDC1.

∴平面AB1D1与平面BDC1的距离可转化为点C1到平面AB1D1的距离d.

∵=(a,0,0),平面AB1D1的法向量为

n=(1,-1,1),∴d= a.

3已知二面角α-l-β为60°,动点P,Q分别在平面α,β内,点P到β的距离为,点Q到α的距离为2,则P,Q两点之间距离的最小值为()

A. B.2 C.2 D.4

PM⊥β,QN⊥α,垂足分别为M,N.