数学建模试验报告（四）

程序代码： 求解的 Matlab 程序代码： 先建立 M 文件 fundPopulation.m 如下示： function dx=fundPopulation(t,x) dx=zeros(3,1); k=0.115;r=0.0107;a=1;x(3)=a*x(1)/x(2); dx(1)=k*x(1);dx(2)=r*x(2);dx(3)=a*(k-r)*x(3); 主程序 weifengfangcheng.m 如下： [t,x]=ode45('fundPopulation',[2007 2050],[246637 1321851188 18658.45]); figure(1),plot(t,x(:,1),'k*') figure(2),plot(t,x(:,2),'m-') hold on xlabel('时间 年]'),ylabel('人口数 时间[年 人口数') 时间 人口数 figure(3),plot(t,x(:,3),'r+') hold on xlabel('时间 年]'),ylabel('国民平均收入 亿元 时间[年 国民平均收入[亿元 时间 国民平均收入 亿元]') 计算结果与问题分析讨论： 计算结果与问题分析讨论： 由上面推理知：国民平均收入量满足指数增长，其增长率为(k-r ), 故仅当总资金积 累的相对增长率 k 大于人口的相对增长率 r 时，国民平均收入才是增长的。 %作出国民平均收入与时间的图像 作出国民平均收入与时间的图像 %作出总资金积累量与时间的图像 作出总资金积累量与时间的图像 %作出人口数与时间的图像 作出人口数与时间的图像 xlabel('时间 年]'),ylabel('总资金积累量 亿元 时间[年 总资金积累量[亿元 时间

总资金积累量 亿元]')

上图(1)是总资金积累量与时间的图像。

上图(2)是人口数与时间的关系。

上图(3)是国民平均收入与时间的关系。 问题的分析： (1) 由图(2)看出， 当假设人口的增长严格满足指数增长时， 图像几乎成为一条直线， 不能更好的反映现实生活人们对种群增长的曲线，现作如下修改：修改人口增长函数， 由 Logistic 模型可得新的函数：

dx2/dt=ax2(1-x2/N) (其中 N 是环境允许的最大人口数量)我们假设 N 值为 16 亿作出如下图象：

上图更好的反映了人口的变化情况。 (2) 当人口激增时，在一定程度上，人口平均资金积累和国民平均收入都会减少，人 们的生活水平将会下降。国家应实施宏观调控，来控制人口增长，以保证人们的生活水 平进一步提高。