函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

教材回扣夯实双基重点难点重点：三角函数的图象与性质.难点：①五点法画图.②三角函数的单

调区间.③三角函数图象的平移变换、对称变换和伸缩变换.④三角函数模型 的应用.

基础梳理1.简谐运动的有关概念简谐运动图象的解 析式 振幅 周期

y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)x∈[0, +∞)

A _____

2π T= ω

简谐运动图象 的解析式

频率

相位

初 相

y=Asin(ωx+ 1 ω φ) (A>0, f= = T 2π ω>0)x∈[0, +∞)

ωx+φ ————

φ

2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)一个 周期内的简图 用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)一个 周期内的简图时，要找五个关键点. 如下表所示：

ωx+φ x

0

π 2

π

φ - ω0

________ A

π φ - 2ω ω

π φ - ω ω0

y=Asin(ωx +φ)

ωx+φ

3 π 2

2π

x

__________ y=Asin(ωx +φ) -A

3π φ - 2ω ω

2π φ - ω ω0

思考探究 在上表的三行中，找五个点时，首先确定 哪一行的数据？ π 提示：第一行，即先使 ωx+φ=0, ,π, 23π ,2π,然后求出对应的 x 的值. 2

3.图象变换：函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象可由函数y=sinx的图

象作如下变换得到：(1)相位变换：y=sinx→y=sin(x+φ),把 向左 y=sinx图象上所有的点_______ (φ>0) 或向右(φ<0)平行移动|φ|个单位

( 2)周期变换：y=sin(x+φ) →y= sin(ωx+φ),把y=sin(x+φ)图象上各

伸长 点的横坐标_________0<ω<1)或缩短 1 (ω>1)到原来的 倍(纵坐标不变). ω

(3)振幅变换:y=sin(ωx+φ)→y=Asin(ωx+φ),把y=sin(ωx+φ)图象上 缩短 各点的纵坐标伸长(A>1)或_______ (0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变),

相位变换是平移变换，周期变换和振幅变换都是伸缩变换.

4.y=Asin(ωx+φ)的单调区间的确定： (1)当 A>0,ω>0 时，由于 U=ωx+φ 是 增函数，故 y=AsinU 单增(减)时，复合 函数 y=Asin(ωx+φ)单增(减).从而解不 π π 等式 2kπ- ≤ωx+φ≤2kπ+ (k∈ Z)求 2 2 出 x 的取值范围，

π 即得该函数的增区间；解不等式 2kπ+ 2 3π ≤ωx+φ≤2kπ+ (k∈Z)可得该函数的 2 单调减区间. (2)当 A>0,ω<0 时，∵U=ωx+φ 为减函 数， 故再如(1)的解法， 求出单调区间则会 导致错误，同样 A<0,ω<0 时也有类似情 况，

这时要紧扣复合函数单调性的判定方法 进行.余弦、正切函数都有类似情形. 一般地，求 y=Asin(ωx+φ)的单调区间 时，若 ω<0,先用诱导公式化 x 的系数为 正，然后利用复合函数判单调性的方法， 解关于 ωx+φ 的一个不等式即可求得.

课前热身1.若直线y=a与函数y=sinx的图象相 交，则相邻的两交点间的距离的最大 值为( ) π

A. 2 3π C. 2 答案：D

B.π D.2π

2. (教材改编题)将函数 y=sin4x 的图象 π 向左平移 个长度单位， 得到 y=sin(4x 12 +φ)的图象，则 φ 等于( )