2011高考数学知识点汇总精编——集合与简易逻辑-高考生必备

2011高考数学知识点汇总精编——集合与简易逻辑

-高考生必备

2011高考数学知识点汇总精编——集合与简易逻辑-高考生必备

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为临考前的高三学生，务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题中的易误点，还应了解一些常用结论，最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点，按章节进行了系统的整理，最后阐述了考试中的一些常用技巧，相信通过对本资料的认真研读，一定能大幅度地提升高考数学成绩。

集合与简易逻辑

一．集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异

性，如

（1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a b|a P,b Q}，若P {0,2,5}，Q {1,2,6}，则P+Q中元素的有________个。

（答：8）

（2）设U {(x,y)|x R,y R}，A {(x,y)|2x y m 0}，B {(x,y)|x y n 0}，那么点P(2,3) A (CuB)的充要条件是________

（答：m 1,n 5）；

（3）非空集合S {1,2,3,4,5}，且满足“若a S，则6 a S”，这样的S共有_____个

（答：7）

二．遇到A B 时，你是否注意到“极端”情况：A 或B ；同样当A B时，你

是否忘记A 的情形？要注意到 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如 集合A {x|ax 1 0}，B x|x2 3x 2 0 ，且A B B，则实数a＝___.

（答：a 0,1,）

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三．对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次

n

为2n， 2n 1， 2n 2. 如 2 1，满足{1,2} M {1,2,3,4,5}集合M有______个。

（答：7）

四．集合的运算性质： ⑴A B A B A； ⑵A B B B A；

A uB； ⑶A B 痧u

B ⑷A 痧u

u

A B

；

⑸ðuA B U A B； ⑹CU(A B) CUA CUB；

⑺CU(A B) CUA CUB.

如：设全集U {1,2,3,4,5}，若A B {2}，(CUA) B {4}，(CUA) (CUB) {1,5}，则A＝_____，B＝___.

（答：A {2,3}，B {2,4}）

五．研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如： x|y lgx —函数的定义域； y|y lgx —函数的值域； (x,y)|y lgx —函数图象上的点集，如

（1）

设集合M {x|y

，集合

N＝ y|y x2,x M ，则M N ___

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（2）设集合M {a|a (1,2 )

(3, 4) ,R

，

N {a|a (2,3) (4,5)

（答：[4, )）； ， R}，则

M N _____

（答：{( 2, 2)}）

六．数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空

集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：

已知函数f(x) 4x2 2(p 2)x 2p2 p 1在区间[ 1,1]上至少存在一个实数c，使f(c) 0，求实数p的取值范围。

（答：( 3,)）

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七.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真

假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如： 在下列说法中：⑴“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件； ⑵“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件； ⑶“p或q”为真是“非p”为假的必要不充分条件； ⑷“非p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件。

其中正确的是__________

（答：⑴⑶） 八．四种命题及其相互关系。若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若

﹁p 则﹁q” ；逆否命题为“若﹁q 则﹁p”。 提醒：

（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价； （2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”； （3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；

（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“A B B A”判断其真假，这也是反证法的理论依据。 （5）哪些命题宜用反证法？ 如：

（1）“在△ABC中，若∠C=900，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为__________

（答：在 ABC中，若 C 90 ，则 A, B不都是锐角）；

（2）已知函数f(x) ax

x 2x 1

,a 1，证明方程f(x) 0没有负数根。

九．充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的

充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若A B，则A是B的充分条件；若B A，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。如： （1）给出下列命题：

① 实数a 0是直线ax 2y 1与2ax 2y 3平行的充要条件；

② 若a,b R,ab 0是a b a b成立的充要条件； ③ 已知x,y R，“若xy 0，则x 0或y 0”的逆否命题是“若x 0或y 0则

； xy 0”

④“若a和b都是偶数，则a b是偶数”的否命题是假命题 。

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其中正确命题的序号是_______

（答：①④）；

（2）设命题p：|4x 3| 1；命题q:x2 (2a 1)x a(a 1) 0。若┐p是┐q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是

2

十．一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b

（答：[0,]）

的

1

形式，若a 0,则x 如

ba

；若a 0,则x

ba

；若a 0,则当b 0时，x R；当b 0时，x 。

1

已知关于x的不等式(a b)x (2a 3b) 0的解集为( , )，则关于x的不等式

3

(a 3b)x (b 2a) 0的解集为_______

（答：{x|x 3}） 十一．一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当 0和 0时的解集你会正确表示吗？

设a 0,

x,x是方程ax2 bx c 0的两实根，且x x，则其解集如下表：

如解关于x的不等式：ax2 (a 1)x 1 0。 （答：当a 0时，x 1；当a 0时，x 1或x 当a 1时，

1a

x 1）

1a

1 x ；当0 a 1时，

1a

；当a 1时，x ；

十二．对于方程ax2 bx c 0有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a是否为0，其次

若a 0，则一定有 b2 4ac 0。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？

如：（1） a 2 x2 2 a 2 x 1 0对一切x R恒成立，则a的取值范围是_______ （答：(1,2]）； （2）关于x的方程f(x) k有解的条件是什么？(答：k D，其中D为f(x)的值域)，特别地，若在[0,]内有两个不等的实根满足等式cos2x 2x k 1，则实数k的范围是

2

_______.

（答：[0,1)）

十三．一元二次方程根的分布理论。方程f(x) ax2 bx c 0(a 0)在(k, )上有两根、在

(m,n)上有两根、在( ,k)和(k, )上各有一根的充要条件分别是什么？

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0

（ f(k)

b 2a

0k

、

0 f(m) 0

、f(k) 0）。根的分布理论成立的前提是开 f(n) 0

b

m n 2a

[m,n]f(x) 0有实数解的情况，可先利用在开区间(m,n)上实根

分布的情况，得出结果，再令x n和x m检查端点的情况．

如实系数方程x2 ax 2b 0的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则范围是_________

（答：（

14b 2a 1

的取值

，1））

十四．二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程ax2 bx c 0的两

个根即为二次不等式ax2 bx c 0( 0)的解集的端点值，也是二次函数y ax2 bx c的图象与x轴的交点的横坐标。 如（1） ax

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的解集是(4,b)，则a=__________

（答：）；

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（2）若关于x的不等式ax2 bx c 0的解集为( ,m) (n, )，其中m n 0，则关于x

的不等式cx2 bx a 0的解集为________

（答：( ,

1m) (

1n

, )）；

（3）不等式3x2 2bx 1 0对x [ 1,2]恒成立，则实数b的取值范围是_______

（答： ）。