宁波诺丁汉大学课件

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一、问题的提出变速直线运动中位置函数与速度函数的联系

设某物体作直线运动，已知速度v v (t ) 是时 t 间间隔[T1 , T2 ]上 的一个连续函数，且v ( t ) 0 , 求物体在这段时间内所经过的路程.变速直线运动中路程为

T

T21

v ( t )dt

另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 ) v ( t )dt s(T2 ) s(T1 ). 其中 s (t ) v(t ). TT21

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二、积分上限函数及其导数x 设函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上连续，并且设为[a , b]上的一点， 考察定积分

a

x

f ( x )dx a f ( t )dt

x

如果上限x 在区间[a , b] 上任意变动，则对于 每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以 它在[a , b]上定义了一个函数，

记 ( x ) f ( t )dt .x a

积分上限函数

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积分上限函数的性质定理1 如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则积分上限的函 数 ( x )

f ( t )dt 在[a , b] 上具有导数，且它的导 d x 数是 ( x ) a f ( t )dt f ( x ) (a x b) dx y x x 证 ( x x ) f ( t )dt a

a

x

( x x ) ( x ) x x a

( x )

f ( t )dt f ( t )dtx a

o a

x

x x b

x

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a f ( t )dt x x x x

x

x x

f ( t )dt a f ( t )dty

x

f ( t )dt , ( x )

由积分中值定理得

f ( ) x f ( ), x

[ x , x x ],

o

a

x x x b x

lim lim f ( ) x 0 x x 0 ( x ) f ( x ).

x 0, x

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补充 如果 f (t ) 连续，a( x )、b( x ) 可导，则 F ( x ) a ( x ) f ( t )dt 的导数F ( x ) 为b( x )

d b( x ) F ( x ) f ( t )dt f b( x ) b ( x ) f a( x ) a ( x ) dx a ( x )

证 F ( x)

0

a( x )

0

b( x )

f (t )dta( x ) 0

0

b( x )

f ( t )dt

f ( t )dt ,

F ( x ) f b( x ) b ( x ) f a( x ) a ( x )

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例1

e cos x 求 lim1 x 0

t 2 2

dt

x

.

0 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 0 d 1 t 2 d cos x t 解 cos x e dt dx 1 e dt , dx2

e

cos2 x

(cos x ) sin x e

cos2 x

,

cos x e limx 0

1

t 2

dt

x2

sin x e lim x 0 2x

cos2 x

1 . 2e

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例2

设 f ( x ) 在( , ) 内连续，且 f ( x ) 0 .x

0 tf ( t )dt 在(0, ) 内为单调增 证明函数 F ( x ) x 0 f ( t )dt加函数.

证

d x 0 tf (t )dt xf ( x ), dxx

d x 0 f (t )dt f ( x ), dxx

F ( x )

xf ( x ) 0 f ( t )dt f ( x ) 0 tf ( t )dt

x

0

f ( t )dt

2

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F ( x )

f ( x ) 0 ( x t ) f ( t )dtx

x

0

f ( t )dt

2

,

f ( x ) 0, ( x 0) ( x t ) f ( t ) 0,x

0 f ( t )dt 0,x

0 ( x t ) f ( t )

dt 0,

F ( x ) 0 ( x 0).故F ( x ) 在(0, ) 内为单调增加函数.

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例3

设 f ( x ) 在[0,1] 上连续，且 f ( x ) 1 .证明

2 x 0 f ( t )dt 1 在[0,1] 上只有一个解.证 令 F ( x ) 2 x f ( t )dt 1,x 0

x

f ( x ) 1,

F ( x ) 2 f ( x ) 0,

F ( x ) 在[0,1]上为单调增加函数. F (0) 1 0,F (1) 1 0 f ( t )dt 0 [1 f ( t )]dt 0,所以F ( x ) 0 即原方程在 0,1] 上只有一个解. [1 1

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定理2(原函数存在定理)

如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个 原函数.定理的重要意义： (1)肯定了连续函数的原函数是存在的.x

(2)初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.

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三、牛顿—莱布尼茨公式定理 3(微积分基本公式)

[ 如果F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间 a , b] 上的一个原函数，则 a f ( x )dx F (b) F (a ) .证 已知F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，又 ( x ) b

a

x

f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数,

F ( x ) ( x ) C

x [a , b ]

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令 x a a

F ( a ) ( a ) C ,

(a ) a f ( t )dt 0 F (a ) C ,

F ( x ) a f ( t )dt C ,x

a

x

f ( t )dt F ( x ) F (a ),

令x b

a f ( x )dx F (b) F (a ).b

牛顿—莱布尼茨公式

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a f ( x )dx F (b) F (a ) F ( x ) b

b a

微积分基本公式表明：一个连续函数在区间[a , b] 上的定积分等于 [ 它的任意一个原函数在区间 a , b] 上的增量.

求定积分问题转化为求原函数的问题. 注意 当a b 时， f ( x )dx F (b) F (a ) 仍成立. ab

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例4

求 ( 2 cos x sin x 1)dx .0

2

解

原式 2 sin x cos x x 0 2

2 2 x 0 x 1 例5 设 f ( x ) , 求 0 f ( x )dx . 1 x 2 5

3 . 2

解

0

2

f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx

1

2

y

在[1,2]上规定当x 1 时， f ( x ) 5 ,

原式 2 xdx 5dx 6.1 2 0 1

o

1

2

x

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例6

求 2 max{ x , x }dx.2 2

y

解

由图形可知

y x22

f ( x ) max{ x , x }

y x 2

x 2 x 0 x 0 x 1 , x2 1 x 2 20 2 1 2 0 1

o

1

2

x

原式 x dx xdx x 2dx 2

11 . 2