浙江省杭州二中2013学年第一学期高一年级数学期末试卷

2013学年第一学期杭州二中高一年级数学期末试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合U x0 x 6,x Z ，A＝{1,3,6}，B＝{1,4,5}，则A∩(CUB)＝（ ） A．{3,6} B．{4,5} C．{1} D．{1,3,4,5,6}

x 1 2e,(x 2)

2．设f(x) ，则f(f(2))的值为 （ ）

2

log3(x 1),(x 2)

B．1 C．2 D．3

3．已知向量a,b满足a b 2,a与b的夹角为120,则a b的值为 （ ） A．1 B． C．32 D．2 4．若 是第三象限的角, 则

A．0

2

是（ ）

A．第一或第二象限的角 B．第一或第三象限的角 C．第二或第三象限的角 D．第二或第四象限的角

5．要得到函数y cos(x )的图象，只需将函数y sinx的图象（ ）

3

个长度单位 65

C．向左平移个长度单位

6

A．向左平移

个长度单位 65

D．向右平移个长度单位

6

B．向右平移

6．一种波的波形为函数y sin(x)的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰（图象的最高点），

则正整数t的最小值是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

7．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H

与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是 （ ）

8．已知 终边上一点的坐标为（2sin3, 2cos3),则 可能是（ ） A．3

3

22

9．已知函数f(x)是定义在( 3,3)上的奇函数，当0 x 3时，f(x)的图象

B．3 C． 3 D．

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如图所示，则不等式f(x)cosx 0的解集是（ ）

A．( 3, ) (0,1) (,3) B．( , 1) (0,1) (,3)

2222

C．( 3, 1) (0,1) (1,3) D．( 3, ) (0,1) (1,3)

2

sinx cosx 2x2 x

10． 已知函数f(x) 的最大值是M，最小值为N，则（ ）

2x2 cosx

A．M N 4 B．M N 4 C．M N 2 D．M N 2 二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．cos600 的值为 ．

12．电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I Asin( t )

6

（A 0， 0）的图象如图所示，则当t

1

秒时，电流强50

度是 安．

13．函数f(x) x sinx的零点个数为．

14． 如图所示，在

ABC中，BC ,AD AB,AD 1，

则AC AD ．

15．关于x的方程k 4x k 2x 1 6(k 5) 0在区间[0,1]上有解，则实数k的取值范围是________．

16．设符号 f(i) f(1) f(2) f(3) f(n)，令函数I(n) sin(i

i 1

i 1

n

n

2

2

)，L(n) cos(i )，4 36i 1

n

则I(2013) L(2014) ． 17．关于x的不等式(sinx 1)sinx m

三、解答题：本大题共4小题．共42分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1

m对x [0,]恒成立，则实数m的取值范围是 22

18．（本题满分9分） 已知函数f(x) 2sin(2x ) 1，

3

（Ⅰ）用“五点法”画出该函数在一个周期内的简图； （Ⅱ）写出该函数的单调递减区间．

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19．（本题满分10分）已知O为坐标原点，点A(2,0),B(0,2),C(cos ,sin )，且0 ．

7

（Ⅰ）若AC BC ，求tan 的值；

5

（Ⅱ）若|OA OC| OB与OC的夹角．

20．（本题满分11分) 已知

为第三象限角，f( ) （Ⅰ）化简f( )； （Ⅱ）设g( ) f( )

1

21．（本题满分12分) 已知a R，设函数g(x) lg2x 2algx 4 (x [, ))的最小值为h(a).

10

（Ⅰ）求h(a)的表达式；

（Ⅱ）是否存在区间[m,n]，使得函数h(a)在区间[m,n]上的值域为[2m,2n]？若存在，求出m,n的值；若

2

，求函数g( )的最小值，并求取最小值时的 的值． tan

不存在，请说明理由．

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2013学年第一学期杭州二中期末考试高一年级数学参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要

二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．

1

12． 13． 142

15．[5,6] 16．13

17．( ,] [, ) 222

三、解答题：本大题共4小题．共42分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本题满分9分） 已知函数f(x) 2sin(2x ) 1，

3

（Ⅰ）用“五点法”画出该函数在一个周期内的简图；

（Ⅱ）写出该函数的单调递减区间． 解：（Ⅰ）列表，描点，连线

（Ⅱ）单调递减区间：或结合图象得：[

2

2k 2x

3

3

2k ,k Z， 2

12

k ,

7

k ](k Z) 12

19．（本题满分10分）已知O为坐标原点，点A(2,0),B(0,2),C(cos ,sin )，且0 ．

7

（Ⅰ）若AC BC ，求tan 的值；

5

（Ⅱ）若|OA OC| OB与OC的夹角． 71

解：（1）AC BC ， sin cos

55 sin cos

12

, 0 , cos 0. (, ) 252

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sin cos

7， 5

3

sin 3 5

tan .

4 cos 4

5

（2

）因为|OA OC| OA OC 1 2co s ，

3

OB OC cos .

6|OB||OC|20．（本题满分11分) 已知

为第三象限角，f( ) （Ⅰ）化简f( )； （Ⅱ）设g( ) f( )

2

，求函数g( )的最小值，并求取最小值时的 的值． tan

解：

（Ⅰ）f( )

1 sin 1 sin 2sin

cos cos cos

21 2(tan ) 2 4 4 tan tan

又 为第三象限角，则f( ) 2tan

（Ⅱ）g( ) f( )

tan 1 ，即 2k

5

(k Z)时，取等号，即g( )的最小值为4. 4

1

21．（本题满分12分) 已知a R，设函数g(x) lg2x 2algx 4 (x [, ))的最小值为h(a).

10

（Ⅰ）求h(a)的表达式；

（Ⅱ）是否存在区间[m,n]，使得函数h(a)在区间[m,n]上的值域为[2m,2n]？若存在，求出m,n的值；若

不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）f(x) lgx,x [

1

, )则f(x) [ 1, )10

g(x) lg2x 2algx 4 (lgx a)2 4 a2

当a 1时，h(a) ( 1 a) 4 a 5 2a； 当a 1时，h(a) 4 a.

2

2

2

5 2a,(a 1)

综上得h(a) 2；

4 a,(a 1)

（Ⅱ）显然，h(a) 4，则2n 4 n 2,m n,m

2.

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（1）当n 1，函数在此区间递增，则

5 2m 2m

，显然不符；

5 2n 2n

（2）当 1 n 0，

（ⅰ）当m 1，函数在此区间递增，则5 2m 2m，显然不符；

2

4 m 2m

m n 2，显然不符； （ⅱ）当 1 m 0，则 2

4 n 2n

（3）当0 n 2，

（ⅰ）当m 1，则5 2m 2m，显然不符；

4 m2 2m m 1 （ⅱ）当 1 m

0，函数在此区间递增，则

4 2nn 2

2 4 m 2n m 0

（ⅲ）当0 m 2，函数在此区间递减，则 ，符合题意. 2

n 2 4 n 2m

综上，存在符合题意的m,n，且m 0,n 2.

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