西安工业大学2011级概率论与数理统计期末考试卷（A）

注意事项：（1）所有题一律在试卷上做答，第三至第七题要有计算过程； （2）可能用到的数据在试卷的第三页．

一、选择题（每小题4分，共20分）

1、设A,B为任意两事件，且A B,P(B) 0,则下列选择必然成立的是（ C ）. (A) P(A) P(A|B)； (B) P(A) P(A|B)；

(C) P(A) P(A|B)； (D) P(A) P(A|B).

C x,0 x 12、设随机变量X的概率密度函数为f(x) ，则C =（ D ）.

0,其它

11

(B)3 (C)2 （D） 32

11

3、设X1,X2独立，P{Xi 0} ,P{Xi 1} ,(i 1,2),下列结论正确的是（ C ）.

22(A)

(A)X X (B)P{X X} 1 (C)P{X X} 1 (D)）以上都不对

212121

2

4、设随机变量X1,X2, ,Xn, 相互独立，且Xi i 1,2, ,n, 都服从参数为

1

的2

1n

指数分布，则当n充分大时，随机变量Zn Xi的概率分布近似服从（ B ）.

ni 1

（A）N 2,4 ； （B）N 2,

4 11 ； （C）N , ； （D）N 2n,4n . n 24n

2

5、设随机变量X~N(u,1)，Y~ (n)，又X与Y独立，令T 论正确的是（ B ）.

X n，则下列结

(A)T~t(n 1); (B) T~t(n); (C) T~N(0,1); (D)T~F(1,n)

二、填空题（每小题4分，共20分）

1. 设随机变量X服从N(2, 2)分布，且P 2 X 4 0.3，则P X 0 ．

A Be 2x,x 0

2. 已知连续型随机变量X的分布函数为F(x) ，则A 1 ，

0, x 0

B

3. 设X服从正态分布N(0,2)，Y服从正态分布N(0,1)且X,Y相互独立，则随机变量

Z X Y服从 N(0,3) 分布。

4.设随机变量X~P( )(参数为 ( 0)的泊松分布，且已知E[(X 1)(X 2)] 1，则

5. 设随机变量X~U[0,1]，由切比雪夫不等式可得P |X

11 | 23

三、（12分）玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8,0.1

和0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机的一次性抽取4只察看，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。

解 设Ai {售货员任取一箱玻璃杯有i个残品}i 0,1,2,B {顾客买下该箱玻璃杯}，

则

P(A0) 0.8,

P(B|A0) 1,

P(A1) 0.1,P(A2) 0.1;

4C19

P(B|A1) 4 0.8,

C204C18

P(B|A2) 4 0.632;…………4分

C20

(1)由全概率公式得

P(B) P(A0)P(B|A0) P(A1)P(B|A1) P(A2)P(B|A2) 0.8 1 0.1 0.8 0.1 0.632 0.943

(2)由贝叶斯公式得

………………………4分

P(A0|B)

P(A0)P(B|A0)0.8 1

0.848.…………………………………4分

P(B)0.943

四、（10分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)

6x,0 x y 1,

，

其它． 0,

（1）求X,Y的边缘概率密度fX(x),fY(y)； (2）求P{X Y 1}。

(1) fX(x)

1

6xdy,0 x 1, 6x(1 x),0 x 1,

…3分 f(x,y)dy x

其它． 其它， 0, 0,

fY(y)

y2 6xdx,0 y 1 3y,0 y 1,

……3分 f(x,y)dx 0

其它. 其它 0, 0,

1/2

(2) P{X Y 1} f(x,y)dxdy

G2

dx

1 x

x

6xdy………………………2分

1

220

6x( 2x 1)dx 4x 3x

3

1

.………………2分 4

1

(x y),0 x 2,0 y 2,

五、14分）设随机变量X,Y的概率密度为f(x,y) 8

其它， 0,

求E(X),E(Y),D(X),D(Y)，Cov(X,Y)和 XY。

1

E(X) dx x (x y)dy

8001

E(Y) dx y (x y)dy

800

2

2

2

2

2

22

2222

71 2

xdx dy xdx ydy ；………………2分

68 000 0 2222

71

xdx ydy dx y2dy ；………………2分

68 000 0

15 7 11 7

D X E(X) E(X) dx x (x y)dy ；……2分

83 6 36 6 00

2

222

15 7 11 7 2

D(Y) E(Y2) E(Y) dx y2 (x y)dy ；……2分

863636 00

2222

Cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y)

1774491

dx xy (x y)dy ；…………………3分

8663363600

2

2

XY

1

Cov(X,Y)1

.……………………………………3分

1111D(X)D(Y)

36

六、（16分）设总体X具有分布律： X P 2 2 (1 ) 2 1 2

其中 (0

1

)为未知参数．若3,1,3，0,3,1，2，3是X的一个样本值，试求 的2

矩估计值和最大似然估计值。

解 ⑴ 的矩估计

E(X) 0 2 1 2 (1 ) 2 2 3 1 2 4 3，………………3分

则E(X) 4 3 X，即 的矩估计量为： 矩

3 X

.又 4

1

x (3 1 3 0 3 1 2 3) 2，………………………………………3分

8

故 的矩估计值为：

矩

⑵ 的最大似然估计

似然函数为

1

0.25.……………………………………2分 4

L( ) p(xi, ) P(Xi xi) P(X 0)P(X 1)2P(X 2)P(X 3)4

i 1

i 1

88

4 6 (1 )2 (1 2 )4，……………………………………3分

lnL( ) ln4 6ln 2ln(1 ) 4ln(1 2 )， 对 求导得似然方程：

dlnL( )628

0………………………3分

d 1 1 2

求解得 的最大似然估计值为： max

7 7 舍去） ………………………………2分 , （ max

1212

七、（8分）设某种清漆的9个样品，其干燥时间分别为（单位：h）

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