2012年广东省高考文科数学试题参考答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试 （广东卷）

数学（文科）

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设i为虚数单位，则复数

i

A. 4i 3i B. 4i 3i C. 4 3i D. 4 3i 解：分子分母同乘以-i，得D选项为正确选项 2.设集合U={1.2.3.4.5.6}，M={1.3.5}，则ðUM= A.{2.4.6} B.{1.3.5} C.{1.2.4} D.U 解：A

x y 1

x y 1.

5.已知变量x，y满足约束条件

x 1 0 则z=x+2y的最小值为

6.A．3 B.1 C.-5 D.-6 解：画出可行域可知，当x=-1，y=-2时Z有最小值为-5，选C 6.在 ABC中，若 A=60°, ∠B=45°，

AC= A．

B

C.

3.若向量AB (1,2)，BC (3,4)，则AC

A.（4.6） B.（-4,-6） C.（-2，-2） D.（2，2） 解：AC=AB+BC=（4，6），选A 4.下列函数为偶函数的是

3xA.y sinx B.y x C.y e

D.y l D

解：BC=a，AC=b，用正弦定理解得b=asinB/sinA=3√2*(√2/2)/(√3/2)=2√3，选B 7．某几何的三视图如图1所示，它的体积为

解：A、B为奇函数，C非奇非偶函数，所以选D 分析：前4题难度不大，属于基础考察。

A．72π B 48π C.30π D.24π

2012年广东省高考文科数学试题参考答案

解：上半部分为半圆，下半部分为圆锥，选C

8．在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y-5=0与圆x+y2=4相交A、B两点，则弦AB的长等于 A．

D 1 解：因为弦心距为d 1,所以弦AB

的长等于 B 9．执行如图2所示的程序图，若输入n的值为6，则输出s的值为

2

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。 （一）必做题（11~13题） 11.

函数y

解：要使函数有意义,须满足x 1 0且x 0,解得定义域为[ 1,0) (0, ). 分析：本题考察定义域,属基础题.

12,则a1a3a5 . 2

1122

解：因为是等比数列,所以a1a5 a2a4 a3 ,所以a1a3a5=

42

12.若等比数列{an}满足a2a4

分析：本题考察等比数列的性质,属基础题.

13.由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为.（从小到大排列）

解：x2+x3=4，x1+x4=4，得数据为1，2，2，3 分析：本题考察标准差的计算，中等难度

（二）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2 的参数方程分别为

A．105 B．16 C．15 D．1 解：选C

分析：第56789题是中等难度的题型，计算量比前4题稍大 10．对任意两个非零的平面向量α和β，定义 =

. 若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角

x 1 2（t为参数）

(0

) x=√5cos ,y=√5sin （ 为参数，，则曲线C1和C2的交点坐标为.

2 y 2

解：化成普通方程：x^2+y^2=5(x>=0,y>=0)，y=x-1

联解方程得交点坐标为（2，1） 分析：本题属常规考查，难度不大

15.（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB与圆O相切于点B,D是玄AC上的点， PBA DBA.若AD=m,AC=n,则

n

, ，且a.b和b.a都在集合 |n Z 中，则a.b=

42 2

A．

531 B． C．1 D． 222

解：a b a﹒b/b﹒b=|a||b|cosθ/|b|^2=|a|cosθ/|b|

b。a=|b|cosθ/|a|<|b|/|a|<1属于集合 |n Z ，则|b|/|a|=1/2，即|a|=2|b|代入上式，得：

n 2

2 cos cos 2cos√2/2<<1√2<<2θ，因为θ，所以θ，因此a b a b 3/2

分析：第10题难度较大，难点在于如何将b。a转化解决问题的条件，要求考生对不等式分析相当熟练。

解：利用弦切角定理和相似，得到AB^2=AD。AC，所以AB=√mn

分析：本题比理科卷难度大些，但难度也非常有限，初三的知识水平就可以解出答案

2012年广东省高考文科数学试题参考答案

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分） 17.（本小题满分13分）

某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：

已知函数f(x) Acos(x

4

),x R，且f(

63

) （1）求A的值； （2）设 0,

2

,f(4 430283 ) 17,f(4 3 ) 5.求cos( )的值. 解：（1）

f(

3) A14 3

6

) 1分 Acos 4 A 2

2

2 3分

A 2 4分

（2）

f(4 43 ) 214

4(4 3 ) 6]

2cos(

2

) 5分 2sin 30

17

6分 sin 15

17

7分f(4

23 ) 214(4 23 )

6

]

2cos

8

5 cos 4

5 8分

由于 ， [0,

2

],

cos sin2 (

1517)2 8

17

9分sin

cos2

(45)2 3

5

10分

cos( ) cos cos sin sin 11分

817 45 15317 5 1385

12分

分析：比理科卷难度稍大，主要表现在计算量大些。

[50,60),[60,70),[70,80),[80,9. 0

（1）求图中 的值；

（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分. （3）若这100名学生语文成绩某些份数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.

解

10 (a 0.04 0.03 0.02 a) 1 2分a 0.005 3分

(2):50-60段语文成绩的人数为：10 0.005 100% 100 5人 3.5分 60-70段语文成绩的人数为：10 0.04 100% 100 40人 4分 70-80段语文成绩的人数为：10 0.03 100% 100 30人

80-90段语文成绩的人数为：10 0.02 100% 100 20人 5分

90-100段语文成绩的人数为：10 0.005 100% 100 5人 5.5

x

55 5 65 40 75 30 85 20 95 5

100

7.5

73 8分(3):依题意：

50-60段数学成绩的人数=50-60段语文成绩的人数为=5人………………………………9分 60-70段数学成绩的的人数为= 50-60段语文成绩的人数的一半=

1

2

40 20人……10分

：(1):

2012年广东省高考文科数学试题参考答案

4

30 40人 ………………………………………11分 35

80-90段数学成绩的的人数为= 20 25人………………………………………12分

4

70-80段数学成绩的的人数为=

90-100段数学成绩的的人数为=100 5 20 40 25 10人……………………13分 分析：考查频率分布和直方图的基础知识 18（本小题满分13分）

如图5所示，

在四

棱锥

（3）：取AB中点N，PA中点Q，连接EN，FN，EQ，DQ

P ABCD

中，

AB 平面PAD,AB//CD,PD AD,E是PB的中点，F是CD上的

点，且DF

1

AB,PH为 PAD中AD边上的高。 2

AB//CD,CD 平面PAD AB 平面PAD，PA 平面PAD AB PA

又 EN是 PAB的中位线 EN//PA

AB EN

1

又 DF AB

2

四边形NADF是距形

（1）证明：PH 平面ABCD；

（2

）若PH 1求三棱锥E BCF的体积； ，AD FC 1，（3）证明：EF 平面PAB. 解：（1）：

PH为 PAD中的高 PH AD又AB 面PAD，PH 平面PAD PH ABAB AD A

所以PH 平面ABCD

AB FNEN FN N

AB 平面NEF又EF 平面NEF

EF AB

四边形NADF是距形 AB NF NF NE N AB 平面NEF

分析：对立体几何的基本考查，包含点线面的位置关系、体积的求法，难度中等

19. （本小题满分14分）

设数列 an 前n项和为Sn，数列 Sn 前n项和为Tn，满足Tn 2Sn n，n N.

2

*

G； (2)：过B点做BGBG CD，垂足为

连接HB,取HB 中点M，连接EM，则EM是 BPH的中位线

由(1)知：PH 平面ABCD

EM 平面ABCD

ＥＭ 平面BCF

即EM为三棱锥E-BCF底面上的高

11

ＥＭ＝PH

22

S BCF

112

FC BG= 1 2

222

1

VE BCF SBCF EM

3121 (1)求a1的值；

2012年广东省高考文科数学试题参考答案

（2）求数列 an 的通项公式. 解：(1)

（2） 设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2 4x相切，求直线l的方程.

解：(1):依题意：c=1,…………………………………………………………………………1分 则：a b 1,…………………………………………………………………………2分

22

设椭圆方程为：2x y2 1………………………………………………………………3分

b 1b

将P(0,1)点坐标代入，解得：b2 1…………………………………………………………4分

a1 2a1 12 a1 1

（2）

22

Tn 2Sn n2 ① Tn 1 2Sn 1 (n 1) ②

①-②得：

2

所以 a2 b2 1 1 1 2

故椭圆方程为：x2 y2 1………………………………………………………………………5分

2

（2）设所求切线的方程为：y kx m……………………………………………6分

y kx m 2 x

y2 1 2

Sn 2an 2n 1 ……………… ③

在向后类推一次

Sn 1 2an 1 2(n 1) 1……… ④

③-④得：

消除y

(2k2 1)x2 4kmx (2m2 2) 0

an 2an 2an 1 2 an 2an 1 2 an 2 2(an 1 2)

{an 2}是以首项为a1 2 3,公比为2的数列

化简得：

1 (4km)2 4(2k2 1)(2m2 2)………7分

m2 2k2 1 ①………………………………………………………8分

同理：联立直线方程和抛物线的方程得：

y kx m

2

y 4x

消除y得：

an 2 3 2n 1 an 3 2

n 1

2

k2x2 (2km 4)x m2 0

2 (2km 4)2 4k2m2 0 ………………………………………………………9分

化简得：

分析：第一问非常简单，属送分题，第二问求通项难度较大，但比理科卷稍简单些，总体对比来看，比2011年考查得简单些

20.（本小题满分14分）

km 1 ② ………………………………………………………10分

将②代入①解得：2k k 1 0 解得：k

2

4

2

x2y2

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1:2 2 1（a b 0）的左焦点为F1( 1,0),且点P(0,1)在C1.

ab

（1） 求椭圆C1的方程；

1222

,(k 1舍去），故k ,或者k 222

当k 1时，m ,当k 1时，m 2………………………………………………………12分

2012年广东省高考文科数学试题参考答案

22

故切线方程为：y x 2或者y x 2…………………………………………………14分

22

分析：第一问很简单，送分题，第二问也不难，只要对直线和抛物线、直线和椭圆位置关系的计算熟练就可以拿② 当0 a

1

，∵h 1 2 3 1 a 6a=3a 1 0 3

h a 2a2 3 1 a a 6a=3a a2 0

到分，比理科卷简单，与往年相比变化不大

21.（本小题满分14分）

设0 a 1，集合A {x R|x 0},B {x R|2x2 3(1 a)x 6a 0},D A B.

(1) 求集合D(用区间表示)

(2) 求函数f(x) 2x3

3(1 a)x2

6ax在D内的极值点. 解：（1）设h x 2x2

3 1 a x 6a a 1

9 1 a 2

48a 3a 1 3a 9

① 当 0，即1

3

a 1，D 0, ② 当0 a

13

，

D ③ 当a

0，D

3 3a ,

4

（2）由f x 6x2

6 1 a x 6a 0得x=1，a得

① 当

1

3

a 1， f(x)在D内有极大值点a，有极小值点1

∴ 1 D,a D

∴f(x)在D内有极大值点a ③ 当a 0，则a D

又∵h 1 2 3 1 a 6a=3a 1 0 ∴

f(x)在D内无极值点

分析：与理科卷是同一题，要分类讨论，基础较弱的学生不容易得分，本题具有很强的区分考生分析归纳能力和综合运用能力的意图。