初高中数学衔接知识点专题（一）

数与式的运算

【要点回顾】 1．绝对值

[1]绝对值的代数意义：．即|a| [2]绝对值的几何意义： 的距离．

[3]两个数的差的绝对值的几何意义：a b表示的距离． [4]

两

个

绝

对

值

不

等．

式

:

[2]繁分式 当分式

AAm n p的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，如，

2mBB

n p

说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． [3]分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

【例题选讲】

例1 解下列不等式：（1）x 2 1

例2 计算：

（1

）(x )

（2）(m

2

|x| a(a 0)

；

|x| a(a 0)

2．乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

[1]平方差公式：； [2]完全平方和公式：； [3]完全平方差公式：． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1](a b c)2 [公式2][公式3]

说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式

[1]

a 0)叫做二次根式，其性质如下：

(1) 2

(2)

13

2

151111n)(m2 mn n2) 225104

a3 b3(立方和公式) a3 b3 (立方差公式)

42

（3）(a 2)(a 2)(a 4a 16)

；

(3) ；

(4)

2

例3 已知x 3x 1 0，求x

3

[2]平方根与算术平方根的概念：叫做的平方根，记

作

1

的值． x3

x a

0)(a 0)叫做a的算术平方根．

[3]立方根的概念：a

的立方根，记为x 4．分式

[1]分式的意义 形如

例4 已知a b c 0，求

- 1 -

AAA的式子，若B中含有字母，且B 0，则称为分式．当M≠0时，分式BBB

111111

a( ) b( ) c( )的值． bccaab

具有下列性质： （1） ； （2） ．

例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：

（1）

（3）

例6

设x

项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组． 常见题型：（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式 3．十字相乘法

（1）x2 (p q)x pq型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．

∵x2 (p q)x pq x2 px qx pq x(x p) q(x p) (x p)(x q)， ∴x2 (p q)x pq (x p)(x q)

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．

（2）

x 1)

（4）

（2）一般二次三项式ax bx c型的因式分解

由a1a2x2 (a1c2 a2c1)x c1c2 (a1x c1)(a2x c2)我们发现，二次项系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，把a1,a2,c1,c2

2

2

写成a2 c2，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2 a2c1，

2

a1c1

x3 y3的值． y

x的c一次项系数b，那么ax b x就c可以分解成如果它正好等于ax b

(a1x c1)(a2x c2)，其中a1,c1位于上一行，a2,c2位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，

从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 4．其它因式分解的方法

其他常用的因式分解的方法：（1）配方法 （2）拆、添项法 例1 （公式法）分解因式：(1) 3ab 81b；(2) a ab

2222222

例2 （分组分解法）分解因式：（1）ab(c d) (a b)cd （2）2x 4xy 2y 8z

2

例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) x 5x 24

(2) x 2x 15 (3) x xy 6y (4) (x x) 8(x x) 12

222

例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 12x 5x 2 ；(2) 5x 6xy 8y

解：

3 24 1

2

3

4

7

6

★ 专题二 因式分解

1．公式法

常用的乘法公式：

[1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． [4](a b c)2 [5]a3 b3 [6] a3 b3

(立方和公式) (立方差公式)

22222

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解． 2．分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多

- 2 -

1 2y

5 4y

说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为

提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号． 例5 （拆项法）分解因式x 3x 4

32

(3) x 11x 31x 21 (4) x3 4xy2 2x2y 8y3

★ 专题三 一元二次方程根与系数的关系 【要点回顾】

1．一元二次方程的根的判断式

一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0)，． 由于可以用b 4ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把b 4ac叫做一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0)的根的判别式，表示为： b 4ac 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有

[1]当Δ时，方程有两个不相等的实数根： [2]当Δ时，方程有两个相等的实数根： [3]当Δ时，方程没有实数根． 2．一元二次方程的根与系数的关系

定理：如果一元二次方程ax bx c 0 (a 0)的两个根为x1,x2，那么：

2

2

3

2

（3）方程有实数根； （4）方程无实数根．

例2 已知实数x、y满足x2 y2 xy 2x y 1 0，试求x、y的值．

2

例3 若x1,x2是方程x 2x 2007 0的两个根，试求下列各式的值：

(1) x12 x22；

(2)

11 ； x1x2

(3) (x1 5)(x2 5)； (4) |x1 x2|．

2

例4 已知x1,x2是一元二次方程4kx 4kx k 1 0的两个实数根． (1) 是否存在实数k，使(2x1 x2)(x1 2x2) 理由． (2) 求使

22

3

成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明2

x1x2

2的值为整数的实数k的整数值． x2x1

32x2 )成立．∵ 一元二次方程

2

x1 x2)(x1 解：(1) 假设存在实数k，使(2

2

x1 x2 ,x1x2

说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理

称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是 0．

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知

x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，

所以，方程x2＋px＋q＝0可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有

以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0． 【例题选讲】

例1 已知关于x的一元二次方程3x 2x k 0，根据下列条件，分别求出k的范围： （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根

- 3 -

2

4k 0

4kx 4kx k 1 0的两个实数根，∴ k 0，又2

( 4k) 4 4k(k 1) 16k 0

x1 x2 1 x1,x2是一元二次方程4kx2 4kx k 1 0的两个实数根，∴k 1 xx 12 4k

k 939

k ，但∴ (2x1 x2)(x1 2x2) 2(x12 x22) 5x1x2 2(x1 x2)2 9x1x2 4k25

k 0．

3

∴不存在实数k，使(2x1 x2)(x1 2x2) 成立．

2

x1x2x12 x22(x1 x2)24k4(2) ∵ 2 2 4 4

x2x1x1x2x1x2k 1k 1

xx

∴ 要使其值是整数，只需k 1能被4整除，故k 1 1, 2, 4，注意到k 0，要使1 2 2

x2x1

的值为整数的实数k的整数值为 2, 3, 5．

(1) A、B关于x轴对称；(2) A、B关于y轴对称；(3) A、B关于原点对称．

例2已知一次函数y＝kx＋2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于A、B两点，O为原点，若ΔAOB的面积为2，求此一次函数的表达式。

例3如图，反比例函数y

★ 专题四平面直角坐标系一次函数、反比例函数

要点回顾】

1．平面直角坐标系平面直角坐标系内的对称点：

k

的图象与一次函数y mx b的图象交于A(1，3)，B(n， 1)两点． x

2．函数图象

[1]一次函数：称y是x的一次函数，记为：y kx b(k、b是常数，k≠0)

特别的，当b=0时，称y是x的正比例函数。

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．

★ 专题五 二次函数

[2] 正比例函数的图象与性质：函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是的一条直线，当

为直线

；当 时，y随着x的增大而 ；当 时，y随着x的增大

时，图象过原点及第一、第三象限，y随x的增大而 ；当 时，图象过原点及第二、

而 ；当 时，函数取最小值 ．

第四象限，y随x的增大而 ．

[2]当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口方向 ；顶点坐标为 ，对称轴为

[3] 一次函数的图象与性质：函数y kx b(k、b是常数，k≠0)的图象是过点(0，b)且与直线y=kx

直线 ；当 时，y随着x的增大

平行的一条直线.设y kx b(k≠0)，则当 时，y随x的增大而 ；当 时， y随x的

而 ；当 时，y随着x的增大而 ；当 时，函数取最大值 ．

增大而 ．

上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以

k借助于函数图像、利用数形结

[4]反比例函数的图象与性质：函数y (k≠0)是双曲线，当x合的思想方法来解决问题． 每个象限中，y随x的增大而 ；当 时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y

随x的增大而 ．双曲线是轴对称图形，对称轴是直线y x与y x；又是中心对称图形，

对称中心是原点． 【例题选讲】

例1 已知A 2,y1 、B x2, 3 ，根据下列条件，求出A、B点坐标．

- 4 -

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：

[1]当a＞0时，函数y＝ax2＋bx

＋c图象开口方向 ；顶点坐标为 ，对称轴

[2]二次函数的三种表示方式：

（1）．一般式： ； （2）顶点式： （3）

交点式： ．说明：确定二此函数的关系式的一般方法是

待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：

①给出三点坐标可利用一般式来求；

②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．

③给出三点，其中两点为与x轴的两个交点(x1,0).(x2,0)时可利用交点式来求． 【例题选讲】

例1 求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）

应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？

2

例3 已知函数y x, 2 x a，其中a 2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．

- 5 -

例4 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1）； （2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2； （3）已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．

★ 专题六 二次函数的最值问题

【要点回顾】

1．二次函数y ax2 bx c (a 0)的最值．

二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当a 0时，函数在x

b

处取得最小值2a

b4ac b24ac b2

，无最大值；当a 0时，函数在x 处取得最大值，无最小值．

2a4a4a

2．二次函数（X为全体实数时）最大值或最小值的求法． 第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值； 第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 3．求二次函数在某一范围内的最值．

如：y ax2 bx c在m x n（其中m n）的最值． 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：x x0； 第二步：讨论：

[1]若a 0时求最小值或a 0时求最大值，需分三种情况讨论： ①对称轴小于m即x0 m，即对称轴在m x n的左侧； ②对称轴m x，即对称轴在m x n的内部； 0 n ③对称轴大于n即x0 n，即对称轴在m x n的右侧。 [2] 若a 0时求最大值或a 0时求最小值，需分两种情况讨论：

m n

，即对称轴在m x n的中点的左侧； 2m n

②对称轴x0 ，即对称轴在m x n的中点的右侧；

2

①对称轴x0

说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体

情况，参考例4。

【例题选讲】

例1求下列函数的最大值或最小值．

（1）y 2x2 3x 5； （2）y x2 3x 4．

例2当1 x 2时，求函数y x2

x 1的最大值和最小值．

例3当x 0时，求函数y x(2 x)的取值范围．

例4当t x t 1时，求函数y

12x2 x 5

2

的最小值(其中t为常数)． 分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．

解：函数y

12x2 x 5

2

的对称轴为x 1．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即t 1时：当x t时，y125

min 2t t 2

；

(2) 当对称轴在所给范围之间．即t 1 t 1 0 t 1时： 当x 1时，

y125m 2 i1 1 n

2

3； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即t 1 1 t 0时：当x t 1时，

y1min

2(t 1)2 (t 1) 51

2 2

t2 3．

12

2t 3,t 0综上所述：y

3,0 t 1

15

2

t2 t 2,t 1

例5当0 x 2时，求函数y x2

2ax 1的最大值。

- 6 -

● 各专题参考答案 ●

专题一数与式的运算参考答案

例1 （1）解法1：由x 2 0，得x 2；

①若x 2，不等式可变为x 2 1，即x 3； ②若x 2，不等式可变为 (x 2) 1，即

a3 b3 c3 3abc ②，把②代入①得原式=

x 2 1，解得：x 1．综上所述，原不等式的解为1 x 3．

解法2： x 2表示x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离，所以不等式x 2 1的几何意义即为x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离小于1，观察数轴可知坐标为x的点在

坐标为3的点的左侧，在坐标为1的点的右侧．所以原不等式的解为1 x 3． 解法3：x 2 1 1 x 2 1 1 x 3，所以原不等式的解为1 x 3．

（2）解法一：由x 1 0，得x 1；由x 3 0，得x 3； ①若x 1，不等式可变为 (x 1) (x 3) 4，即 2x 4＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若1 x 2，不等式可变为(x 1) (x 3) 4，即1＞4，∴不存在满足条件的x；

③若x 3，不等式可变为(x 1) (x 3) 4，即2x 4＞4， 解得x＞4．又x≥3，∴x＞4． 综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4．

解法二：如图，x 表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－

3abc

3 abc

例5解：（1

）原式

6 (x 1) (x 2) 2x 3 (x 2)

（2）原式=|x 1| |x

2|

(x 1) (x 2) 1 (1 x 2)

说明：

|a|的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．

1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|所以，不等式x 1 x 3＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧． 所以原不等式的解为x＜0，或x＞

4． 例2（1）解：=[x (

)

] (x)

() () 2x(x 2x

x

4

3

2

|x－3| |x－1|

（3）原式

ab（4）

原式

=

(22

例6

解

：x 7 y 7 x y 14,xy 1 2

2 3原式=(x y)(x2 xy y2) (x y)[(x y)2 3xy] 14(142 3) 2702

说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量． 【巩固练习】

1．

4 x 3 2． 4

4

4

2

原式

3． 3或2 2

22

22

4．3

13

2222

13

222

11

2 () 33

5． x

y z 2xy 2xz 2yz 6． 1 3,

2

,

3 43821

x x 339

说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．

13131313

m n

52125824222336

（3）原式=(a 4)(a 4a 4) (a) 4 a 64

（2）原式=(m) (n)

（4）原式=(x y)(x xy y) [(x y)(x xy y)] (x y) x 2xy y

2

2

22

2

2

2

3

32

6

3

3

6

专题二因式分解答案

66

例1分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现a b，可看着是(a) (b)或(a) (b)．

解：(1) 3ab 81b 3b(a 27b) 3b(a 3b)(a 3ab 9b)．

(2) a ab a(a b) a(a b)(a b) a(a b)(a ab b)(a b)(a ab b)

7

6

6

6

3

3

3

3

2

2

2

2

3

4

3

3

2

2

32

32

23

23

1

3 例3解：x 3x 1 0 x 0 x x

1211122

原式=(x )(x 1 2) (x )[(x ) 3] 3(3 3) 18

xxxx

例4解：a b c 0, a b c,b c a,c a b

2

a(a b)(a b)(a2 ab b2)(a2 ab b2)

例2（1）分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．

解：ab(c d) (a b)cd abc abd acd bcd (abc acd) (bcd abd)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

ac(bc ad) bd(bc ad) (bc ad)(ac bd)

（2）分析：先将系数2提出后，得到x 2xy y 4z，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式． 解：

- 7 -

2

2

2

b ca ca ba( a)b( b)c( c)a2 b2 c2

b c ① 原式=a bcacabbcacababc

33223

a b (a b)[(a b) 3ab] c(c 3ab) c 3abc

2x2 4xy 2y2 8z2 2(x2 2xy y2 4z2) 2[(x y)2 (2z)2] 2(x y 2z)(x y 2z)

例5 解： x3 3x2 4 (x3 1) (3x2 3) (x 1)(x2 x 1) 3(x 1)(x 1) (x 1)[(x2 x 1) 3(x 1)] (x 1)(x2 4x 4) (x 1)(x 2)2

【巩固练习】

1．(1)(bc ad)(ac bd);(2)(x 4m 2n)(x 2n);(3)(x2 4x 8)(x2 4x 8);

1． A； 2．A； 3．p 1,q 3； 4．a 3,b 3,c 0； 5． m 1 (1)当k 3时，方程为3x 1 0，有实根；(2) 当k 3时， 0也有实根．6．(1) k

3

且k 1； 4

(2)

k 7．

专题四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数参考答案

例1 解：(1)因为A、B关于x轴对称，它们横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以x2 2，y1 3，则A 2,3 、B 2, 3 ．

(2)因为A、B关于y轴对称，它们横坐标互为相反数，纵坐标相同，所以，x2 2，y1 3，则A 2, 3 、B 2, 3 ．

(3)因为A、B关于原点对称，它们的横纵坐标都互为相反数，所以x2 2，y1 3，则

(4)(x 1)(x 3)(x 7);(5)(x 2y)2(x 2y)．

282．；

312122

3．(x x 1) (x 3x 1) x 4x x(x 4)

22

12122

其他情况如下：(x x 1) (x x) x 1 (x 1)(x 1)；

2211

(x2 3x 1) (x2 x) x2 2x 1 (x 1)2. 22

4．a3 a2c b2c abc b3 (a2 ab b2)(a b c)

专题三一元二次方程根与系数的关系习题答案

A 2,3 、B 2, 3 ．

例2分析：因为直线过第一、三象限，所以可知k>0，又因为b＝2，所以直线与y轴交于（0，2），即可知OB＝2，而ΔAOB的面积为2，由此可推算出OA＝2，而直线过第二象限，所以A点坐标为（－2，0），由A、B两点坐标可求出此一次函数的表达式。

又解：∵B是直线y＝kx＋2与y轴交点，∴B（0，2），∴OB＝2，

11

例1解：∵ ( 2) 4 3 k 4 12k，∴(1) 4 12k 0 k ； (2) 4 12k 0 k ；

33

11

(3) 4 12k 0 k ；(4)4 12k 0 k ．

33

22

例2解：可以把所给方程看作为关于x的方程，整理得：x (y 2)x y y 1 0

2

又

1

AO BO 2， AO 2 2

y kx 2， A( 2，0)把x1 2，y1 0代入y kx 2中得k 1过第二象限，， y x 2

S AOB

由于x是实数，所以上述方程有实数根，因此： [ (y 2)] 4(y y 1) 3y 0 y 0，代入原方程得：x 2x 1 0 x 1．综上知：x 1,y 0 例3解：由题意，根据根与系数的关系得：x1 x2 2,x1x2 2007

(1) x1 x2 (x1 x2) 2x1x2 ( 2) 2( 2007) 4018

2

2

2

2

2

222

【巩固练习】

4)或P(81)，．1． B 2． D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)． 3．（1）k 8．（2）点P的坐标是P(2，

专题五二次函数参考答案

例1 解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x＝－1；顶点坐标为(－1，4)；

当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；

当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小； 采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点

B11x1 x2 22

x1x2x1x2 20072007

(3) (x1 5)(x2 5) x1x2 5(x1 x2) 25 2007 5( 2) 25 1972

(2)

(4) |x1 x2|

和

C(

说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：x12 x22 (x1 x2)2 2x1x2，

11x1 x2，(x1 x2)2 (x1 x2)2

4x1x2，|x1 x2|

x1x2x1x2

理体现了整体思想． 【巩固练习】

- 8 -

与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．

说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确． 例2 分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x

的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值． 解：由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx＋（B），将x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有

70 130k b,

解得 k＝－1，b＝200．∴ y＝－x＋200．

50 150k b,

设每天的利润为z（元），则z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000＝－(x－160)2＋1600， ∴当x＝160时，z取最大值1600．

答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．

例3 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论． 解：（1）当a＝－2时，函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；

（2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a2；

（3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0；

（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a2；当x＝0时，函数取最小值y＝0．

距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．∴a＝－求的二次函数为y＝－

11

，或a＝．所以，所22

11

(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2． 22

说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶

点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．

（3）解：设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得

22 a b c

解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8． 8 c

8 4a 2b c

【巩固练习】

②

说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．

例4（1）分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a． 解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为

2

，∴ 1 a(3 2) 1，解得a＝－2． y a(x 2)2 1(a 0)，∵二次函数的图像经过点（3，－1）

2

∴二次函数的解析式为y 2(x 2) 1，即y＝－2x2＋8x－7．

1．（1）D （2）C （3）D 2．（1）y＝x2＋x－2 （2）y＝－x2＋2x＋3

3．（1）y 2x2 2x 1．（2）y 4(x 1)2 3 4x2 8x 1． （3）y

11252112

（4）y x 3 2 x 3x (x 3)(x 5) x2 x 3．

222555

4．当长为6m，宽为3m时，矩形的面积最大．

说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二

次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．

（2） 分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．

解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，

x, 0 x 2,

4 x, 2 x 4,

5．（1）函数f（x）的解析式为y

x 4, 4 x 6, 8 x, 6 x 8.

12a2 4a2

4a，由于二次函数图象的顶点展开，得 y＝ax＋2ax－3a， 顶点的纵坐标为

4a

1123

到x轴的距离2，∴|－4a|＝2，即a＝ ．所以，二次函数的表达式为y＝x x ，或y＝－

222

123x x ． 22

2

（2）函数y的图像如图所示

（3）由函数图像可知，函数y的取值范围是0＜y≤2．

专题六二次函数的最值问题参考答案

22

例1分析：由于函数y 2x 3x 5和y x 3x 4的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 解：（1）因为二次函数y 2x2 3x 5中的二次项系数2＞0，所以抛物线y 2x2 3x 5有最低点，

分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点

到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．

解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x＝－1．又顶点到x轴的

- 9 -

3349

即函数有最小值．因为y 2x2 3x 5=2(x )2 ，所以当x 时，函数y 2x2 3x 5有

448

49

最小值是 ．

8

2

（2）因为二次函数y x 3x 4中的二次项系数-1＜0，所以抛物线y x2 3x 4有最高点，

即函数有最大值．因为y x

2 3x 4= (x

32253

) ，所以当x 时，函数y x2 3x 4242

有最大值

25． 4

例2解：作出函数的图象．当x 1时，ymin 1，当x 2时，ymax 5．

说明：二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．

根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

33

x 2x 3 0 2x 3 0 x 3

或 或 1 x 解：(1) 解法(一)原不等式可化为： 22

2 x 1 0 x 1 0 x 1 x 1

3

解法(二) 原不等式可化为：(2x 3)(x 1) 0 1 x ．

2

(3x 5)(x 2) 01 3x 53x 5

3 0 0 0 (2) 解：原不等式可化为： x 2x 2x 2 x 2 0

5

x 2或x

3

说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0．

(2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：

x 2 0 x 2 01

3 或

x 2 3(x 2) 1 3(x 2) 1

【巩固练习】

例3解：作出函数y x(2 x) x2 2x在x

0内的图象．

可以看出：当x 1时，ymin 1，无最大值．所以，当x 0时，函数的取值范围是y 1． 例5解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(x 30)元，那么m件的销售利润为y m(x 30)，又m 162 3x． y (x 30)(162 3x) 3x2 252x 4860,30 x 54 (2) 由(1)知对称轴为x 42，位于x的范围内，另抛物线开口向下

1

x 0 (2) 3 x 6 (3)x 1 (4)x 3； 2

11

2．(1)x 1或x 1 (2)x 或x 3 (3)x 2或x 0 (4)x ；

22

1．(1)

3．(1) 无解 (2) 全体实数 4．(1)当m 2时，x 5．m

1 m1 m

；(2)当m 2时，x ；(3) 当m 2时，x取全体实数． m 2m 2

当x 42时，ymax 3 422 252 42 4860 432

当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．

【巩固练习】

1

； 6．k 5 7．a 5或a 1． 2

31l22

1．4 14或2， 2．m 3．a 2,b 2． 4．a 或a 1．

2416

5．当t 0时，ymax 2 2t，此时x 1；当t 0时，ymax 2 2t，此时x 1．

专题七不等式答案

例2解：(1) 不等式可化为(x 2)(x 4) 0∴ 不等式的解是 2 x 4

127

0．

24

k 0 k 0 k 0

例3解：显然k 0不合题意，于是： 2 k 1 22

k 1或k 1 ( 2) 4k 0 k 1 0

2

(2) 不等式可化为(x 2) 0 ∴ 不等式的解是x 2；(3) 不等式可化为(x )

例4分析：(1) 类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解． (2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数．

- 10 -