信号与系统徐天成第3版

第3章习题答案

3-1 已知周期矩形脉冲信号的重复频率

f 5 kHz，脉宽 20 s，幅度E 10V，如图题

3-1所示。用可变中心频率的选频回路能否从该周期矩形脉冲信号中选取出5，12，20，50，80及100 kHz频率分量来？要求画出图题3-1所示信号的频谱图。

图 题3-1

解：f 5kHz， 20μs，E 10V，T1

1

200 s， 1 2 f 104 f

频谱图为

从频谱图看出，可选出5、20、80kHz的频率分量。

3-3 求图题3-3 所示周期锯齿信号指数形式的傅里叶级数，并大致画出频谱图。

图 题3-3

解： f(t)在一个周期（0，T1）内的表达式为： f(t)

E

(t T1) T1

1T11T1EjE jn 1t

Fn f(t)edt (t T1)e jn 1tdt

T10T10T12n

(n 1, 2, 3 )

1T11T1EEF0 f(t)dt (t T1)dt

T10T10T12

傅氏级数为：

EjEj 1tjE j 1tjEj2 1tjE j2 1t

f(t) e e e e

22 2 4 4

Fn

E2n

(n 0) 2

(n 1, 2, 3 ) n

(n 0) 2

3-4 求图题3-4 所示半波余弦信号的傅里叶级数，若E 10 V, 度谱。

f 10 kHz，大致画出幅

图 题3-4

解：由于f(t)是偶函数，所以展开式中只有余弦分量，故傅氏级数中bn 0，另由图可知f(t)有直流分量， f(

t)在一个周期（

TT

，）内的表达式为： 22

T1

Ecos tt 1 2 4

f(t) 其中： 1

TT1

0t 1 4121141Ea0 T1f(t)dt T1Ecos 1tdt

T1 2T1 4

T

T

221241 jn 1t

an cn T1f(t)edt T1Ecos 1t e jn 1tdt

T1 2T1 4

TT

n 1n 1 sin sin E 2E1n cos n 1n 1 n2 12 221Ea1 c1 T1f(t)e j 1tdt

T1 22

T

n 3,5,7

所以，f(t)的三角形式的傅里叶级数为：

f(t)

E

E2E2Ecos 1t cos2 1t cos4 1t 23 15

2E15

3-6 利用信号f (t)的对称性，定性判断图题3-6中各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量。

图 题3-6

解： (a) f(t)为偶函数及奇谐函数，傅氏级数中只包含奇次谐波的余弦分量。 (b) f(t)为奇函数及奇谐函数，傅氏级数中只包含奇次谐波的正弦分量。 (c) f(t)为偶谐函数，而且若将直流分量（1/2）去除后为奇函数，所以傅氏级数中只包含直流以及偶次谐波的正弦分量。

(d) f(t)为奇函数，傅氏级数中只包含正弦分量。

(e) f(t)为偶函数及偶谐函数，傅氏级数中只包含直流以及偶次谐波的余弦分量。 (f) f(t)为奇谐函数，傅氏级数中只包含奇次谐波分量。

3-7 已知周期函数f (t)前四分之一周期的波形如图题3-7所示。根据下列各种情况的要求画出f(t)在一个周期(0 t T)的波形。 （1）f (t)是偶函数，只含有直流分量和偶次谐波分量； （2）f (t)是偶函数，只含有奇次谐波分量；

（3）f (t)是偶函数，含有直流分量、偶次和奇次谐波分量。

图 题3-7

T T

解：（1）由f( t) f(t)画出f(t)在 ,0 内的波形，由f(t)在 ,0 内的波形及

4 4 TT T T

f(t)是偶谐函数，它在 , 内的波形与它在 ,0 内的波形相同，它在 ,T 内

42 4 2

T

的波形与它在 0, 内的波形相同。根据上述分析可画出f(t)在 0,T 内的波形。按上

2

述类似的方法可画出（2）和（3）。

（2）

（3）

3-8 求图题3-8 所示半波余弦脉冲的傅里叶变换，并画出频谱图。

图 题3-8

解法一：按定义求

F(j )

f(t)e

j t

dt 2 Ecos

2

t e j tdt

由于f(t)是偶函数，所以

F(j ) Ecostcos tdt 2 2Ecostcos tdt

0 2

2

E

2E cos( )t cos( )t dt Sa( ) Sa( ) 0 22222

E E

Sa + Sa 2 2 2 2

cos 2E 2 化简得：F(j ) 2

1

解法二：利用卷积定理求 设：f1(t) cos

t,

f2(t) E u(t ) u(t )

22

1

F1(j ) F2(j ) 2

则 f(t) f1(t) f2(t)，于是F(j )

而F1(j ) ( ) ( ) ，F2(j ) E Sa

2故F(j )

1 ( ) ( ) E Sa 2 2E Sa +2

E

Sa 2 2

2

F(j )的频谱是将矩形脉冲的频谱E Sa

21

分别向左、右移动（幅度乘以）后

2

叠加的结果。

3-10 求图题3-10所示F(j )的傅里叶逆变换f(t)。

图 题3-10

j t0

F(j ) Ae解：（a）

( 0 0)

1Aj(t t0) 0 j(t t0) 0

d e e

2 j(t t0)

1f(t)

2

0

0

Ae

j t0

e

j t

A 0

Sa 0(t t0)

j

Ae2( 0 0)

F(j ) （b）j

Ae2(0 )

0

0 jj A 0 0t 0t1 0

2j t2j t

f(t) sinSa 0Aeed 0Aeed

2 22

A

(cos 0t 1) t

3-13 求函数Sa( ct)的傅里叶变换。

解：利用对偶性求

t

EG(t) E Sa()E Sa ) 2EG( ) 2E G (因为，所以

22

)

t 2

Sa() G ( )

2

令 c

2

(ct )，则 Sa

c

G2 c ( )

即：F

Sa( ct)

c

u( c) u( c)

3-15 对图题3-15所示波形，若已知F f1(t) F1(j )，利用傅里叶变换的性质求图中f2(t),f3(t)和f4(t)的傅里叶变换。

图 题3-15

解：已知F f1(t) F1(j )

f2(t) f1(t T)， F2(j ) F1(j ) ej T f3(t) f1( t)， F3(j ) F1( j )

f4(t) f1[ (t T)] f3(t T) F4(j ) F1( j )e j T

3-21 已知三角脉冲信号f1(t)如图题3-21(a)所示。试利用有关性质求图题3-21(b)中的

f2(t) f1 t cos 0t的傅里叶变换F2(j )。

2

图 题3-21

解：设F f1(t) F1(j )

j

则F f1(t ) F1(j )e

2

E 2

Sa 2 4

2

F12(j )

1

而F f2(t) F f1(t )cos 0t F12 j( 0) F12 j( 0) =

2 2

j1

F1 j( 0) e2

( 0)

2

F1 j( 0) e

j

( 0)

2

E 4

2 0

e Sa

4

j0

2

0 Sa2 e

4

j02

e

j

2

3-23 利用傅里叶变换的微分与积分特性，求图题3-23所示信号的傅里叶变换。

图 题3-23

解：（3） 3(t)

df3(t)

4 u(t 1) u(t 2) dt

3

j

3(j ) 4Sa e2

2 f3( ) 3,

f3( ) 1

4Sa 3

(j )2e j2 2 ( ) F3(j ) 3 f3( ) f3( ) ( ) j j

3-25 若已知F f(t) F(j )，利用傅里叶变换的性质求下列信号的傅里叶变换。

df(t)t(t 2)f(t)（2） （4） （5）f(1 t) dt

dF(j )

解：（2）F (t 2)f(t) F tf(t) 2f(t) j 2F(j )

d

（4）F t

d j F(j ) df(t) dF(j )

j F(j ) d d dt

（5）F f(1 t) F f (t 1) F( j )e j

3-29 根据附录B中给出的频谱公式，粗略地估计图题3-29所示各脉冲的频带宽度Bf(图中时间单位为 s)。

图 题3 -29

1

MHz，即250KHz 41

（b）若时间单位为 s，则频带为MHz，即250KHz

4

解：（a）若时间单位为 s，则频带为

（d）若时间单位为 s，则频带为1 MHz （f）频若时间单位为 s，则带为

3-32 周期矩形脉冲信号f (t)如图题3-32所示。

（1）求f (t)的指数形式的傅里叶级数，并画出频谱图Fn； （2）求f (t)的傅里叶变换F(j )，并画出频谱图F(j )。

1

MHz，即500KHz 2

图 题3-32

解： (1) F0(j ) E Sa

2

2Sa

Fn

F0(j )F(j )11 n

0 Sa n 1 Sa

T1 n 4 n22 2

1

2

(t) 指数形式的傅里叶级数为：f

n

Fe

n

jn 1t

1 n

Sa 2n 2

j2t

e

n

频谱图如下图所示，图中： 1

2

（2）F f(t) 2

n

Fn ( n 1) 2

n

2

1

Sa n 1 ( n 1) 2n

n Sa 2n

3-33 求下列函数的拉氏变换，设L[f(t)] F(s)。 （1）(1 2t)e （6）e解：（1）

t

a

t

（4）e

(t )

cos

0t

tf() a

t

e 3t e 5t

（8）

t

(1 2t)e

(t a)

12s 31 ( t 2) 22

s 1(s 1)(s 1)s

a

t

（4） e

cos 0t eecos 0t

e

a

s 1s

( cos t )02222

(s 1) 0s 0

（6） e

t

a

t1t

f() aF(a(s )) aF(as 1) ( f() aF(as)) aaa

（8）

e

3t

et

5t

s

11 s 5 ( )d ln 3 5s 3

3-35 求下列函数的拉氏变换，注意阶跃函数的跳变时间。

t

（1）f(t) eu(t 2)

(t 2)

u(t 2) （2）f(t) e

(t 2)

u(t) （3）f(t) e

解：（1）

t

f(t) eu(t 2) eeF(s) ee

2

(t 2) 2

2s

t 2 (t 2)

u(t 2)

1e

s 1s 1

2s

2s( 1)

e ut2 2)(te) e (（） f

（3）

u(t 2)

F(s) e

f(t) e

2s

1e

s 1s 1

u(t) eeu(t)

2

2

t

(t 2)

e21

F(s) e

s 1s 1

3-39 求下列函数的单边拉普拉斯逆变换。

3s

（3）(s 4)(s 2)

解：（3）

s 3e s

（4）(s 1)3(s 2) （7）4s(s2 1)

3s6 3 4t 2t

(6e 3e)u(t)

(s 4)(s 2)s 4s 2

（4）

s 3ABCD

332

s 1s 2 (s 1)(s 2)(s 1)(s 1)

where A (s 1)

3

s 3

|s 1 2;3

(s 1)(s 2)

d s 3 13

B (s 1)| 1; |s 1 32s 1

ds (s 1)(s 2) (s 2) s 313

(s 1)| | 1; s 133s 1

(s 1)(s 2) (s 2)

s 3

D (s 2)|s 2 13

(s 1)(s 2)1d

C

2ds2

2 t 2t

u(t) f(t) (t t 1)e e

2

（7）

e ABs C s

2 e 2

4s(s 1) ss 1

11

| ; s 02

44s(s 1)

2

2

s

where A s

1Bs Cs 1 4Bs 4C1

so F1(s) 2 ; 22

4ss 14s(s 1)4s(s 1)

1

so B , C 0

4

1

f(t) 1 cos(t 1) u(t 1)

4

3-40 试利用拉氏变换的时域卷积定理求下列拉氏变换F(s)的原函数f(t)。

（1）

12

(s a)

111

2解：

(s a)s as a

所以

f(t) e

at

u(t )

at

eu( )t

at

te (ut

3-43 分别求下列函数的逆变换之初值和终值。

10(s 2)s3 s2 2s 1（1）s(s 5) （3）

s2 2s 1

10(s 2)

解：（1）

s(s 5)

10(s 2)s

f(0) limsF(s) lim 10

s s s(s 5)

10(s 2)s

f( ) limsF(s) lim 4

s 0s 0s(s 5)

（3）

s s 2s 13s 2

s 1 2 2

s 2s 1s 2s 1

3s 2

f(0) limsF(s) lims2 3

s s s 2s 1

3s 2

f( ) limsF(s) lims2 0

s 0s 0s 2s 1

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