信号系统习题解答3版-第三章
时间：2025-04-03
信号与系统徐天成第3版
第3章习题答案
3-1 已知周期矩形脉冲信号的重复频率
f 5 kHz，脉宽 20 s，幅度E 10V，如图题
3-1所示。用可变中心频率的选频回路能否从该周期矩形脉冲信号中选取出5，12，20，50，80及100 kHz频率分量来？要求画出图题3-1所示信号的频谱图。
图 题3-1
解：f 5kHz， 20μs，E 10V，T1
1
200 s， 1 2 f 104 f
频谱图为
从频谱图看出，可选出5、20、80kHz的频率分量。
3-3 求图题3-3 所示周期锯齿信号指数形式的傅里叶级数，并大致画出频谱图。
图 题3-3
解： f(t)在一个周期（0，T1）内的表达式为： f(t)
E
(t T1) T1
1T11T1EjE jn 1t
Fn f(t)edt (t T1)e jn 1tdt
T10T10T12n
(n 1, 2, 3 )
1T11T1EEF0 f(t)dt (t T1)dt
T10T10T12
傅氏级数为：
EjEj 1tjE j 1tjEj2 1tjE j2 1t
f(t) e e e e
22 2 4 4
Fn
E2n
(n 0) 2
(n 1, 2, 3 ) n
(n 0) 2
3-4 求图题3-4 所示半波余弦信号的傅里叶级数，若E 10 V, 度谱。
f 10 kHz，大致画出幅
图 题3-4
解：由于f(t)是偶函数，所以展开式中只有余弦分量，故傅氏级数中bn 0，另由图可知f(t)有直流分量， f(
t)在一个周期（
TT
，）内的表达式为： 22
T1
Ecos tt 1 2 4
f(t) 其中： 1
TT1
0t 1 4121141Ea0 T1f(t)dt T1Ecos 1tdt
T1 2T1 4
T
T
221241 jn 1t
an cn T1f(t)edt T1Ecos 1t e jn 1tdt
T1 2T1 4
TT
n 1n 1 sin sin E 2E1n cos n 1n 1 n2 12 221Ea1 c1 T1f(t)e j 1tdt
T1 22
T
n 3,5,7
所以，f(t)的三角形式的傅里叶级数为：
f(t)
E
E2E2Ecos 1t cos2 1t cos4 1t 23 15
2E15
3-6 利用信号f (t)的对称性，定性判断图题3-6中各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量。
图 题3-6
解： (a) f(t)为偶函数及奇谐函数，傅氏级数中只包含奇次谐波的余弦分量。 (b) f(t)为奇函数及奇谐函数，傅氏级数中只包含奇次谐波的正弦分量。 (c) f(t)为偶谐函数，而且若将直流分量（1/2）去除后为奇函数，所以傅氏级数中只包含直流以及偶次谐波的正弦分量。
(d) f(t)为奇函数，傅氏级数中只包含正弦分量。
(e) f(t)为偶函数及偶谐函数，傅氏级数中只包含直流以及偶次谐波的余弦分量。 (f) f(t)为奇谐函数，傅氏级数中只包含奇次谐波分量。
3-7 已知周期函数f (t)前四分之一周期的波形如图题3-7所示。根据下列各种情况的要求画出f(t)在一个周期(0 t T)的波形。 （1）f (t)是偶函数，只含有直流分量和偶次谐波分量； （2）f (t)是偶函数，只含有奇次谐波分量；
（3）f (t)是偶函数，含有直流分量、偶次和奇次谐波分量。
图 题3-7
T T
解：（1）由f( t) f(t)画出f(t)在 ,0 内的波形，由f(t)在 ,0 内的波形及
4 4 TT T T
f(t)是偶谐函数，它在 , 内的波形与它在 ,0 内的波形相同，它在 ,T 内
42 4 2
T
的波形与它在 0, 内的波形相同。根据上述分析可画出f(t)在 0,T 内的波形。按上
2
述类似的方法可画出（2）和（3）。
（2）
（3）
3-8 求图题3-8 所示半波余弦脉冲的傅里叶变换，并画出频谱图。
图 题3-8
解法一：按定义求
F(j )
f(t)e
j t
dt 2 Ecos
2
t e j tdt
由于f(t)是偶函数，所以
F(j ) Ecostcos tdt 2 2Ecostcos tdt
0 2
2
E
2E cos( )t cos( )t dt Sa( ) Sa( ) 0 22222
E E
Sa + Sa 2 2 2 2
cos 2E 2 化简得：F(j ) 2
1
解法二：利用卷积定理求 设：f1(t) cos
t,
f2(t) E u(t ) u(t )
22
1
F1(j ) F2(j ) 2
则 f(t) f1(t) f2(t)，于是F(j )
而F1(j ) ( ) ( ) ，F2(j ) E Sa
2故F(j )
1 ( ) ( ) E Sa 2 2E Sa +2
E
Sa 2 2
2
F(j )的频谱是将矩形脉冲的频谱E Sa
21
分别向左、右移动（幅度乘以）后
2
叠加的结果。
3-10 求图题3-10所示F(j )的傅里叶逆变换f(t)。
图 题3-10
j t0
F(j ) Ae解：（a）
( 0 0)
1Aj(t t0) 0 j(t t0) 0
d e e
2 j(t t0)
1f(t)
2
0
0
Ae
j t0
e
j t
A 0
Sa 0(t t0)
j
Ae2( 0 0)
F(j ) （b）j
Ae2(0 )
0
0 jj A 0 0t 0t1 0
2j t2j t
f(t) sinSa 0Aeed 0Aeed
2 22
A
(cos 0t 1) t
3-13 求函数Sa( ct)的傅里叶变换。
解：利用对偶性求
t
EG(t) E Sa()E Sa ) 2EG( ) 2E G (因为，所以
22
)
t 2
Sa() G ( )
2
令 c
2
(ct )，则 Sa
c
G2 c ( )
即：F
Sa( ct)
c
u( c) u( c)
3-15 对图题3-15所示波形，若已知F f1(t) F1(j )，利用傅里叶变换的性质求图中f …… 此处隐藏：3301字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……
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