§2集合的基本关系

课时目标 1.理解集合之间包含与相等的含义.2.能识别给定集合的子集、真子集，并能判断给定集合间的关系．

1．子集的概念

对于两个集合A与B，如果集合A中的________元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，我们就说集合A______集合B，或集合B______集合A，记作______(或B⊇A)，这时我们说集合A是集合B的子集．

2．Venn图

我们常用封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．

3．集合A与集合B相等

对于两个集合A与B，如果集合A中的__________元素都是集合B中的元素，同时集合B中的__________元素都是集合A中的元素，就说集合A与集合B相等，记作______．4．真子集

对于两个集合A与B，如果________，并且________，就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)．

5．子集的有关性质

(1)任何一个集合是它本身的子集，即______．

(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么____________________________________．

(3)空集是任何集合的______，即∅____A.

一、选择题

1．集合P＝{x|y＝x＋1}，集合Q＝{y|y＝x－1}，则P与Q的关系是()

A．P＝Q B．P Q

C．P Q D．P∩Q＝∅

2．下列集合中，不同于另外三个集合的是()

A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0}

C．{x＝1} D．{1}

3．对于集合A、B，“A⊆B不成立”的含义是()

A．B是A的子集

B．A中的元素都不是B中的元素

C．A中至少有一个元素不属于B

D．B中至少有一个元素不属于A

4．下列命题：

①空集没有子集；

②任何集合至少有两个子集；

③空集是任何集合的真子集；

④若∅A，则A≠∅.

其中正确的个数是()

A．0 B．1 C．2 D．3

5．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是()

A．S P M B．S＝P M

C．S P＝M D．P＝M S

题号12345 6

答案

二、填空题

7．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是________．(填序号)

①M＝{π}，N＝{3.141 59}；

②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；

③M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}；

④M＝{1，3，π}，N＝{π，1，|－3|}．

8．已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A B，则实数a的取值范围是________．9．已知集合A{2,3,7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．三、解答题

10．若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B⊆A，求实数a的取值范围．11．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若B⊆A，求实数m的取值范围．

能力提升

12．已知集合A,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．

13．已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．

1．子集概念的多角度理解

(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即由任意x∈A能推出x∈B.

(2)不能把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B.

拓展当A不是B的子集时，我们记作“A B”(或B A)．

2．对元素与集合、集合与集合关系的分析与拓展

(1)元素与集合之间的关系是从属关系，这种关系用符号“∈”或“∉”表示．

(2)集合与集合之间的关系有包含关系，相等关系，其中包含关系有：含于(⊆)、包含(⊇)、真包含于()、真包含()等，用这些符号时要注意方向，如A⊆B与B⊇A是相同的．

§2集合的基本关系

知识梳理

1．任何一个包含于包含A⊆B 3.任何一个任何一个A＝B

4．A⊆B A≠B 5.(1)A⊆A(2)A⊆C(3)子集⊆

作业设计

1．B[∵P＝{x|y＝x＋1}＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y≥0}，

∴P Q.]

2．C[由集合的含义知{x|x＝1}＝{y|(y－1)2＝0}＝{1}，

而集合{x＝1}表示由方程x＝1组成的集合，故选C.]

3．C

4．B [只有④正确．]

5．B [由N ＝{－1,0}，知N M ，故选B.]

6．C [运用整数的性质方便求解．集合M 、P 表示成被3整除余1的整数集，集合S 表示成被6整除余1的整数集．]

7．④

解析 只有④中M 和N 的元素相等，故答案为④.

8．a ≥2

解析 在数轴上表示出两个集合，可得a ≥2.

9．6

解析 (1)若A 中有且只有1个奇数，则A ＝{2,3}或{2,7}或{3}或{7}；(2)若A 中没有奇数，则A ＝{2}或∅.

10．解 A ＝{－3,2}．对于x 2＋x ＋a ＝0，

(1)当Δ＝1－4a <0，即a >14

时，B ＝∅，B ⊆A 成立； (2)当Δ＝1－4a ＝0，即a ＝14时，B ＝{－12

}，B ⊆A 不成立； (3)当Δ＝1－4a >0，即a <14

时，若B ⊆A 成立， 则B ＝{－3,2}

∴a ＝－3×2＝－6.

综上：a 的取值范围为a >14

或a ＝－6. 11．解 ∵B ⊆A ，

∴①若B ＝∅，

则m ＋1>2m －1，∴m <2.

②若B ≠∅，将两集合在数轴上表示，如图所示．

要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，

2m －1≤5，

解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ≥－3，

m ≤3，∴2≤m ≤3.

由①、②，可知m ≤3.

∴实数m 的取值范围是m ≤3.

12．6

解析 A 可以为∅，{2}，{3}，{7}，{2,3}，{2,7}．

13．解 (1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .

(2)当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a }．

又∵B ＝{x |－1<x <1}，A ⊆B ， ∴⎩⎨⎧ 1a ≥－1，

2a ≤1，

∴a ≥2. (3)当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a }． ∵A ⊆B ，∴⎩⎨⎧

2a ≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2. 综上所述，a ＝0或a ≥2或a ≤－2.