线性代数同济大学第六版

§4.4 向量空间一、向量空间的概念定义: 设V为n维向量的集合, 如果集合V非空, 且 集合V对于加法及乘数两种运算封闭, 那么就称集合V 为向量空间. 说明1. 集合V对于加法及乘数两种运算封闭是指: 若 , V, 则 + V; 若 V, R, 则 V. 说明2. 所有n维实向量的集合是一个向量空间, 记 作Rn.

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例1: 判别下列集合是否为向量空间, V1 ={ x = (0, x2, x3, · · · , xn)T | x2, x3, · · · , xn R }.解: V1是向量空间. 因为对于V1的任意两个元素 =(0, a2, a3, · · · , an)T, =(0, b2, b3, · · · , bn)T V1, R, 有

+ =(0, a2+b2, a3+b3, · · · , an+bn)T V1, =(0, a2, a3, · · · , an)T V1.

例2: 判别下列集合是否为向量空间, V2 ={ x = (1, x2, x3, · · · , xn)T | x2, x3, · · · , xn R }. 解: V1不是向量空间. 因为, 对 =(1, a2, a3, · · · , an)T V2, 2 R, 则有 2 =(2, · · , 2an)T V2 . 2 2a2, 2a3, ·

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例3: 设a, b为两个已知的n维向量, 集合 V={ x= a+ b | , R },

试判断集合V是否为向量空间. 解: V是一个向量空间. 因为, 对 x1 = 1a + 1b, x2 = 2a + 2b V, x1+x2 = ( 1+ 2)a + ( 1+ 2 )b V, 则有, kx1 = (k 1) a + (k 1) b V, 这个向量空间称为由向量a, b所生成的向量空间.一般地, 由向量组a1, a2, · · · , am所生成的向量空间 为: V={ x= 1a1+ 2a2+· · · + mam | 1, 2, · · · , m R },

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例4: 设向量组a1, a2, · · · , am与b1, b2, · · · , bs等价, 记 V1={ x= 1a1+ 2a2+· · · + mam | 1, 2, · · · , m R }, V2={ x= 1b1+ 2b2+· · · + sbs | 1, 2, · · · , s R }, 试证V1=V2.证明: 对任意x V1, 则x可由a1, a2, · · · , am线性表示,

因向量组a1, a2, · · · , am可由b1, b2, · · · , bs线性表示, 故x 可由b1, b2, · · · , bs线性表示. 所以x V2. 因此, V1 V2.由向量组a1, a2, · · · , am与b1, b2, · · · , bs等价的条件, 类似地可证, V2 V1.

从而, V1=V2.

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二、子空间定义: 设有向量空间V1及V2, 若有V1 V2. 则称V1 是V2的子空间. 实例: 设V是由n维向量所组成的向量空间, 显然 V Rn, 所以V总是Rn的子空间.

三、向量空间的基与维数定义: 设V是向量空间, 如果有r 个向量 1, 2, · · · , r V, 满足 (1) 1, 2, · · · , r 线性无关; (2) V中任一向量都可由 1, 2, · · · , r 线性表示. 则称向量组 1, 2, · · · , r为向量空间V的一个基, 称整数 r 为向量空间V的维数, 并称V为r 维向量空间.

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说明1: 只含有零向量的向量空间称为0维向量空 间, 因此它没有基. 说明2: 若把向量空间V看作向量组, 那末V的基就 是向量组V的最大无关组, V的维数就是向量组的秩. 说明3: 若向量组 1, 2, · · · , r 是向量空间V的一个 基, 则V可

表示为 V={ x= 1 1 + 2 2+· · · + r r | 1, 2, · · · , r R },

2 2 1 1 4 A (a1 , a2 , a3 ) 2 1 2 , B (b1 , b2 ) 0 3 , 1 2 2 4 2 验证a1, a2, a3是R3的一个基, 并把b1, b2用这个基线性表 示.

例5: 设矩阵

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解: 要证a1, a2, a3是R3的一个基, 只需证a1, a2, a3线 性无关. 在此情况下又只需证A E. b1 x11a1 x 21a 2 x 31a 3 设 , b2 x12 a1 x 22 a 2 x 32 a 3 x11 x12 即 (b1, b2) = (a1, a2, a3) x21 x22 , 记作B=AX. x31 x32 对矩阵(A|B)施行初等行变换, 若A能变为E, 则a1, a2, a3为R3的一个基, 且A当变为E时, B就变为X=A-1B. 2 2 1 1 4 r1 r2 r3 1 1 1 1 3 ( A | B) 2 1 2 0 3 ~ 2 1 2 0 3 1 2 2 4 2 r 3 1 2 2 4 2 1 r2 2r1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 r r 3 2 0 3 0 2 3 0 3 0 2 3 ~ r3+r1 ~ 0 0 3 3 2 0 3 3 5 5

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1 1 1 1 3 r2 ( 3) 2 ~ 0 1 0 3 1 r 3 3 2 0 0 1 1 3 1 0 0 初等行变换 即 ( A | B) ~ 0 1 0 0 0 1

~ r –r1

r1 r23

且

2 4 3 3 因此有A E, 2 1 故 a 1, a 2, a 3 是 3 3的一个基, R 2 1 3 2 4 1 (b1, b2) = (a1, a2, a3) 2 3 . 3 3 2

2 1 0 0 3 0 1 0 2 3 0 0 1 1

4 3 1 2 3

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四、小结1. 向量空间的概念: 向量集合对加法及数乘两种运算封闭; 由向量组生成的向量空间. 2. 子空间的概念. 3. 向量空间的基和维数: 求向量空间基和维数的方法.

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思考题设V={ x = (a, b)T | a, b R+ }, 定义加法与数乘运算 如下: 加法: (a, b) (c, d) = (a+c, bd), 数乘: k (a, b) = ( lna, bk ), k R. 问V是否向量空间? 为什么?

思考题解答V不是向量空间. 虽然V对加法封闭(因为两个正实数的和与积还是 正实数). 但V对数乘不封闭. 例如V中的元素(1, b)对任意实数k, k (1, b) = ( ln1, bk) = (0, bk) V.