2.2.2 椭圆的几何性质

1．掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a 、b 、c 的几何意义． (重点)

2．会用椭圆的几何意义解决相关问题．(难点

)

[基础²初探]

教材整理1 椭圆的简单几何性质

阅读教材P 43～P 44第5自然段，完成下列问题.

【答案】 a 2＋b

2＝1(a ＞b ＞0) －a ≤x ≤a 且－b ≤y ≤b －b ≤x ≤b 且－a ≤y ≤a 2b 2a 2c 坐标轴 原点

1．椭圆x 281＋y 245＝1的长轴长为( )

A ．81

B ．9

C ．18

D ．45

【解析】 由标准方程知a ＝9，故长轴长2a ＝18.

【答案】 C

2．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为

( )

A.12

B ．2

C ．14

D ．4 【解析】 方程化为x 2＋y 2

1m

＝1，长轴长为2m ，短轴长为2，由题意，2m ＝2³2，∴m ＝14

. 【答案】 C

教材整理2 离心率

阅读教材P 44“离心率”～P 44“例1”，完成下列问题．

1．定义：椭圆的焦距与长轴长的比________叫做椭圆的________．

【答案】 e ＝c a 离心率

2．性质：离心率e 的范围是________．当e 越趋近于1时，椭圆________；当e 越趋近于________时，椭圆就越趋近于圆．

【答案】 (0,1) 越扁 0

1．椭圆x 216＋y 28

＝1的离心率为________． 【解析】 ∵a 2＝16，b 2＝8，

∴e ＝1－816＝22

. 【答案】

22 2．已知椭圆的两焦点为F 1、F 2，A 为椭圆上一点，且AF 1→²AF 2→＝0，∠AF 2F 1＝60°，则

该椭圆的离心率为________．

【解析】 ∵AF 1→²AF 2→＝0，

∴AF 1⊥AF 2，且∠AF 2F 1＝60°.

设|F 1F 2|＝2c ，

∴|AF 1|＝3c ，|AF 2|＝c . 由椭圆定义知：3c ＋c ＝2a ，即(3＋1)c ＝2a .

∴e ＝c a ＝23＋1＝3－1. 【答案】 3－1

[质疑²手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________

[小组合作型]

(3,0)，则椭圆的标准方程为( )

A.x 29＋y 216

＝1 B ．x 225＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D ．x 216＋y 2

9＝1 【精彩点拨】 根据椭圆的几何性质解题．

【自主解答】 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋2b ＝18，c ＝3，

a 2＝

b 2＋

c 2，

解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝4. 因为椭圆的焦点在x 轴上，

所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216

＝1. 【答案】 B

1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．

2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a 与b ，正确利用a 2＝b 2＋c 2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍．

[再练一题]

1．已知椭圆方程为9x 2＋16y 2＝144，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．

【解】 已知方程化成标准方程为x 216＋y 29

＝1. ∴a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7.

∴椭圆的长轴长与短轴长分别为8和6，离心率e ＝c a ＝74

. 焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)；四个顶点的坐标为A 1(－4,0)，A 2(4,0)，B 1(0，－3)，B 2(0,3).

(1)椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63

； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.

【精彩点拨】 (1)椭圆的焦点位置确定吗？(2)基本量a 、b 、c 分别为多少？怎样求出？

【自主解答】 (1)若焦点在x 轴上，则a ＝3，

∵e ＝c

a ＝63

，∴c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3. ∴椭圆的方程为x 29＋y 2

3

＝1. 若焦点在y 轴上，则b ＝3， ∵e ＝c a ＝1－b 2a

2＝1－9a 2＝63

，解得a 2＝27. ∴椭圆的方程为y 227＋x 29

＝1. ∴所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.

(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)．

如图所示，△A 1FA 2为等腰直角三角形，

OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，

且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，

∴c ＝b ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝32，

故所求椭圆的方程为x 232＋y 216

＝1.

1．用几何性质求椭圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法．

2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出a 2，b 2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．

3．在求解a 2、b 2时常用方程(组)思想，通常由已知条件与关系式a 2＝b 2＋c 2，e ＝c a 等构造方程(组)加以求解．

[再练一题]

2．椭圆的长轴长为10，一焦点坐标为(4,0)，则它的标准方程为________．

【解析】 2a ＝10，c ＝4，∴a 2＝25，b 2＝a 2－c 2＝9.

焦点在x 轴上，故标准方程为x 225＋y 29

＝1. 【答案】 x 225＋y 29

＝1 [探究共研型]

探究 已知椭圆x 2a 2＋b

2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－c ，0)，A (－a,0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b

7，求椭圆的离心率e .

【提示】 由A (－a,0)，B (0，b )，得直线AB 的斜率为k AB ＝b a ，

故AB 所在的直线方程为y －b ＝b a x ，

即bx －ay ＋ab ＝0.

又F 1(－c,0)，由点到直线的距离公式可得d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b 7

， ∴7²(a －c )＝a 2＋b 2.

又b 2＝a 2－c 2，

整理得8c 2－14ac ＋5a 2＝0，

即8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－14c a ＋5＝0.

∴8e 2－14e ＋5＝0.∴e ＝12或e ＝54

(舍去)． 综上可知，椭圆的离心率e ＝12

.

若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率．

【精彩点拨】 能否由已知条件构造关于c a 的方程．

【自主解答】 由题意得：2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2，

又∵a 2＝b 2＋c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋2ac ＋c 2，

即3a 2－2ac －5c 2＝0，∴3－2²c

a －5²⎝ ⎛⎭

⎪⎫c a 2＝0， 即5²⎝ ⎛⎭

⎪⎫c a 2＋2²c a －3＝0，∴e ＝c a ＝35.

求e 的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等式，具体如下：

(1)若已知a ，c 可直接代入e ＝c a 求得；

(2)若已知a ，b ，则使用e ＝1－b 2

a

2求解； (3)若已知b ，c ，则求a ，再利用(1)或(2)求解；

(4)若已知a ，b ，c 的关系，可转化为关于离心率e 的方程(不等式)求值(范围)．

[再练一题]

3．若过椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．

【解析】 由题意，△PF 1F 2为直角三角形，且∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 2|＝2|PF 1|. 设|PF 1|＝x ，则|PF 2|＝2x ，|F 1F 2|＝3x ，又|F 1F 2|＝2c ，所以x ＝2c 3. 即|PF 1|＝2c

3，|PF 2|＝4c 3

. 由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以

2c

3＋4c

3＝2a ，即e ＝c a ＝33. 【答案】

33 [构建²体系]

1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长与y 221＋x 2

9

＝1的短轴长相等，则( ) A ．a 2＝15，b 2＝16

B ．a 2＝9，b 2＝25

C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25

D ．a 2＝25，b 2＝9 【解析】 由题意得，椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1的焦点在x 轴上，且2a ＝10，a ＝5,2b ＝6，b ＝3，故a 2＝25，b 2＝9.

【答案】 D

2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12

，则C 的方程是 ( )

A.x 23＋y 24

＝1 B ．x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D ．x 24＋y 2

3＝1 【解析】 右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上，c ＝1.又离心率为c a

＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23

＝1. 【答案】 D

3．已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于________．

【解析】 根据题意得2b ＝6，a ＋c ＝9或a －c ＝9(舍去)． 所以a ＝5，c ＝4，故e ＝c a ＝45

. 【答案】 45

4．与椭圆9x 2＋4y 2

＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________.

【导学号：15460031】 【解析】 椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 2

9＝1，因此可设待求椭圆为x 2m ＋y 2

m ＋5＝1. 又b ＝25，故m ＝20，得x 220＋y 225

＝1. 【答案】 x 220＋y 2

25＝1 5．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)过点(3,0)，离心率e ＝63

； (2)焦距为8，在y 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直．

【解】 (1)当椭圆的焦点在x 轴上时，

因为a ＝3，e ＝63

，所以c ＝6，从而b 2＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆的标准方程为x 29＋y 23

＝1； 当椭圆的焦点在y 轴上时，因为b ＝3，e ＝63，

所以a 2－b 2a ＝63

，所以a 2＝27. 所以椭圆的标准方程为y 227＋x 29

＝1. 综上可知，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 2

9＝1. (2)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)，由已知，得c ＝4，b ＝4， 则a 2＝b 2＋c 2＝32，

故所求椭圆的标准方程为y 232＋x 216

＝1.

我还有这些不足：

(1)________________________________________________________

(2)________________________________________________________

我的课下提升方案：

(1)________________________________________________________

(2)________________________________________________________

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．焦点在x 轴上，短轴长为8，离心率为35

的椭圆的标准方程是( ) A.

x 2100＋y 236＝1 B ．x 2100＋y 264＝1 C.x 225＋y 216＝1 D ．x 225＋y 2

9＝1 【解析】 由题意知2b ＝8，得b ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16，又e ＝c a ＝35

，解得c ＝3，a ＝5，又焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 225＋y 216

＝1，故选C. 【答案】 C

2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )

A.12

B ．13 C.14 D ．22

【解析】 由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝12

. 【答案】 A 3．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k

＝1(0<k <9)的关系是( ) A ．有相等的焦距，相同的焦点

B ．有相等的焦距，不同的焦点

C ．有不等的焦距，不同的焦点

D ．以上都不对

【解析】 曲线x 225＋y 29＝1的焦距为2c ＝8，而曲线x 29－k ＋y 225－k

＝1(0＜k ＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.

【答案】 B

4．已知O 是坐标原点，F 是椭圆x 24＋y 23

＝1的一个焦点，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于M ，N 两点，则cos ∠MON 的值为( ) A.

513 B ．－513 C.21313

D ．－21313 【解析】 由题意，a 2＝4，b 2＝3，

故c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.

不妨设M (1，y 0)，N (1，－y 0)，所以124＋y 203

＝1， 解得y 0＝±32

， 所以|MN |＝3，|OM |＝|ON |＝12＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫322＝132. 由余弦定理知cos ∠MON ＝|OM |2＋|ON |2－|MN |22|OM ||ON |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1322－322³132³132＝－513

. 【答案】 B

5．如图2­2­4，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )

图2­2­4

A.15

B ．25 C.55 D ．255

【答案】 D

二、填空题

6．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C 、D 的椭圆的离心率为________．

【解析】 如图，AB ＝2c ＝4，∵点C 在椭圆上，∴CB ＋CA ＝2a ＝3＋5＝8，∴e ＝2c 2a ＝48

＝12.

【答案】 12

7．设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则k AB ²k OM ＝________.

【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点坐标M ⎝

⎛⎭

⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1， k OM ＝y 2＋y 1x 2＋x 1，k AB ²k OM ＝y 2

2－y 21x 22－x 2

1

， b 2x 2

1＋a 2y 21＝a 2b 2，b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b 2，

得b 2(x 2

2－x 21)＋a 2(y 22－y 21)＝0，即y 22－y 21x 22－x 21＝－b 2

a 2. 【答案】 －

b 2

a 2

8．已知P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22

＝1上的一个动点，则m 2＋n 2的取值范围是________． 【解析】 因为P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，所以m 2＋n 22

＝1，即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所以1≤2－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2.

【答案】 [1,2]

三、解答题

9．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55

的椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．

【解】 (1)∵c ＝9－4＝5，

∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)． 设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)． ∵e ＝c

a ＝55

，c ＝5，∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝20， ∴所求椭圆的方程为x 225＋y 2

20

＝1. (2)因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)， ∵2c ＝8，∴c ＝4，

又a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝20.

∴椭圆的方程为x 236＋y 2

20＝1. 10．设椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)与x 轴交于点A ，以OA 为边作等腰三角形OAP ，其顶点P 在椭圆上，且∠OPA ＝120°，求椭圆的离心率．

【解】 不妨设A (a,0)，点P 在第一象限内，由题意知，点P 的横坐标是a 2，设P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 2，y ，由点P 在椭圆上，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22a 2＋y 2

b 2＝1，y 2＝34

b 2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32b ，又∠OPA ＝120°，所以∠POA ＝30°，故tan ∠POA ＝32b a 2＝33，所以a ＝3b ，所以e ＝

c a ＝a 2－b 2a ＝ 3b 2－b 23b ＝223

.

[能力提升]

1．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( ) A.22 B ．2－1

C ．2－ 2

D ．2－12 【解析】 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)， 由题意得|PF 2|＝b 2

a

＝2c ， 即a 2－c 2

a

＝2c ， 得离心率e ＝2－1，故选B.

【答案】 B

2．“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12

”的( ) A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【解析】 椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12

， 当0<m <4时，

4－m 2＝12，得m ＝3， 当m >4时，m －4m

＝12，得m ＝163， 即“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12

”的充分不必要条件． 【答案】 A 3．已知椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是________．

【解析】 由AP →＝2PB →，得|AO |＝2|FO |(O 为坐标原点)，即a ＝2c ，

则离心率e ＝12.

【答案】 12

4．已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1的左、右顶点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .

(1)求点P 的坐标；

(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，且M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．

【解】 (1)由已知可得A (－6,0)，B (6,0)，F (4,0)，

设点P 的坐标是(x ，y )，

则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )．

由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x 236＋y 220

＝1， x ＋6 x －4 ＋y 2＝0，

则2x 2＋9x －18＝0，解得x ＝32

或x ＝－6. 由于y >0，所以只能取x ＝32，于是y ＝52

3. 所以点P 的坐标是⎝ ⎛⎭

⎪⎫32，523. (2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0.

设点M 的坐标是(m,0)，

则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，又B (6,0)， 于是|m ＋6|2

＝|m －6|， 又－6≤m ≤6，解得m ＝2，

设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，有

d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2

＝49⎝

⎛⎭⎪⎫x －922＋15， 由于－6≤x ≤6，所以当x ＝92时，d 取最小值为15.