2.2.2 椭圆的几何性质

1．掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a 、b 、c 的几何意义． (重点)

2．会用椭圆的几何意义解决相关问题．(难点

)

[基础²初探]

教材整理1 椭圆的简单几何性质

阅读教材P 43～P 44第5自然段，完成下列问题.

【答案】 a 2＋b

2＝1(a ＞b ＞0) －a ≤x ≤a 且－b ≤y ≤b －b ≤x ≤b 且－a ≤y ≤a 2b 2a 2c 坐标轴 原点

1．椭圆x 281＋y 245＝1的长轴长为( )

A ．81

B ．9

C ．18

D ．45

【解析】 由标准方程知a ＝9，故长轴长2a ＝18.

【答案】 C

2．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为

( )

A.12

B ．2

C ．14

D ．4 【解析】 方程化为x 2＋y 2

1m

＝1，长轴长为2m ，短轴长为2，由题意，2m ＝2³2，∴m ＝14

. 【答案】 C

教材整理2 离心率

阅读教材P 44“离心率”～P 44“例1”，完成下列问题．

1．定义：椭圆的焦距与长轴长的比________叫做椭圆的________．

【答案】 e ＝c a 离心率

2．性质：离心率e 的范围是________．当e 越趋近于1时，椭圆________；当e 越趋近于________时，椭圆就越趋近于圆．

【答案】 (0,1) 越扁 0

1．椭圆x 216＋y 28

＝1的离心率为________． 【解析】 ∵a 2＝16，b 2＝8，

∴e ＝1－816＝22

. 【答案】

22 2．已知椭圆的两焦点为F 1、F 2，A 为椭圆上一点，且AF 1→²AF 2→＝0，∠AF 2F 1＝60°，则

该椭圆的离心率为________．

【解析】 ∵AF 1→²AF 2→＝0，

∴AF 1⊥AF 2，且∠AF 2F 1＝60°.

设|F 1F 2|＝2c ，

∴|AF 1|＝3c ，|AF 2|＝c . 由椭圆定义知：3c ＋c ＝2a ，即(3＋1)c ＝2a .

∴e ＝c a ＝23＋1＝3－1. 【答案】 3－1

[质疑²手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________

[小组合作型]

(3,0)，则椭圆的标准方程为( )

A.x 29＋y 216

＝1 B ．x 225＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D ．x 216＋y 2

9＝1 【精彩点拨】 根据椭圆的几何性质解题．

【自主解答】 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋2b ＝18，c ＝3，

a 2＝

b 2＋

c 2，

解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝4. 因为椭圆的焦点在x 轴上，

所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216

＝1. 【答案】 B

1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．

2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a 与b ，正确利用a 2＝b 2＋c 2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍．

[再练一题]

1．已知椭圆方程为9x 2＋16y 2＝144，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．

【解】 已知方程化成标准方程为x 216＋y 29

＝1. ∴a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7.

∴椭圆的长轴长与短轴长分别为8和6，离心率e ＝c a ＝74

. 焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)；四个顶点的坐标为A 1(－4,0)，A 2(4,0)，B 1(0，－3)，B 2(0,3).

(1)椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63

； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.

【精彩点拨】 (1)椭圆的焦点位置确定吗？(2)基本量a 、b 、c 分别为多少？怎样求出？

【自主解答】 (1)若焦点在x 轴上，则a ＝3，

∵e ＝c

a ＝63

，∴c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3. ∴椭圆的方程为x 29＋y 2

3

＝1. 若焦点在y 轴上，则b ＝3， ∵e ＝c a ＝1－b 2a

2＝1－9a 2＝63

，解得a 2＝27. ∴椭圆的方程为y 227＋x 29

＝1. ∴所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.

(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)．

如图所示，△A 1FA 2为等腰直角三角形，

OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，

且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，

∴c ＝b ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝32，

故所求椭圆的方程为x 232＋y 216

＝1.

1．用几何性质求椭圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法．

2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出a 2，b 2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．

3．在求解a 2、b 2时常用方程(组)思想，通常由已知条件与关系式a 2＝b 2＋c 2，e ＝c a 等构造方程(组)加以求解．

[再练一题]

2．椭圆的长轴长为10，一焦点坐标为(4,0)，则它的标准方程为________．

【解析】 2a ＝10，c ＝4，∴a 2＝25，b 2＝a 2－c 2＝9.

焦点在x 轴上，故标准方程为x 225＋y 29

＝1. 【答案】 x 225＋y 29

＝1 [探究共研型]

探究 已知椭圆x 2a 2＋b

2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－c ，0)，A (－a,0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离 …… 此处隐藏：6636字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……