第3讲 等比数列及其前n项和

一、选择题

1.2＋1与2－1两数的等比中项是( )

A．1 B．－1 C．±1

1

D.

2

解析 设等比中项为x，

则x＝2＋2－1)＝1，即x＝±1. 答案 C

2．设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是( )． A．X＋Z＝2Y C．Y＝XY

22

B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)

D．Y(Y－X)＝X(Z－X)

解析 (特例法)取等比数列1,2,4，令n＝1得X＝1，Y＝3，Z＝7代入验算，选D. 答案 D

3．已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝( )． A．2

1B. 2

1

C．2或

2

D．3

解析 ∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq， 化简得，2q2－5q＋2＝0，由题意知，q>1.∴q＝2. 答案 A

4．在正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和．若a1＝1，a2a6＝8，则S8＝

( )．

A．8 B．2＋1) D．15(1－2)

1－q8

2，∴S8＝＝2＋1)．

1－q

C．2－1) 解析

26

∵a2a6＝a4＝8，∴a21q＝8，∴q答案 B

5．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5A．4

B．5

n－2

1

，则实数t的值为( )． 5

4

C.

5

1 D.5

114 4 2

解析 ∵a1＝S1＝t－，a2＝S2－S1＝，a3＝S3－S2＝4t，∴由{an}是等比数列知 t

555 5

11 ＝ － ·4t，显然t≠0，所以t＝5.

55

答案 B

6．在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值为 ( )． 1 2

3

2

C．1

D．－

32

π

解析 因为a3a4a5＝3π＝a34，所以a4＝3. 3

π7πlog3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7)＝log3a7所以sin(log3a1＋log3a24＝7log33＝33＋…＋log3a7)＝答案 B 二、填空题

7．设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．

解析 设a2＝t，则1≤t≤q≤t＋1≤q≤t＋2≤q，由于t≥1，所以q≥max{tt＋1，3

2

3

3

. 2

t＋2}故q的最小值是3.

33

3

答案

8．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.

解析 由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1， 所以数列{an}的通项公式an＝4答案 4

n－1

n－1

.

9．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的实数x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，1

若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是________．

21 21 13 解析 由已知可得a1＝f(1)＝，a2＝f(2)＝[f(1)]2＝ ，a＝f(3)＝f(2)·f(1)＝[f(1)]＝3 2 2 2

3

1 n

，…，an＝f(n)＝[f(1)]n＝ 2 ，

112 13 1n ∴Sn＝＋ ＋＋…＋ 22 2 2

1 1n 1－ 2 2 1n＝1－ 2， 1

1－21

∵n∈N*≤Sn<1.

21

答案 21

1

10．等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，给出下列四个命题：①数列 2an

n n－1

为等比数列；②若a2＋a12＝2，则S13＝13；③Sn＝nan－；④若d>0，则Sn一定

2有最大值．

其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．

1an＋1211d 1 解析 ＝ a－a＝是一个非零常数，因此数列an 是＋n1n222 1 an 2

13 a1＋a13 13 a2＋a12

等比数列，①正确．对于②，S13＝＝13，因此②正确．对于③，

22n n－1 n n－1 n n－1

注意到Sn＝na1＋d＝n[an－(n－1)d]＝nan－d，因此③正确．对

222n n－1

于④，Sn＝na1＋d，d>0时，Sn不存在最大值，因此④不正确．综上所述，其中

2正确命题的序号是①②③. 答案 ①②③ 三、解答题

11

11．已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝331－an

(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝；

2

(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．

1111－1－n3 3 31 1n－111－an

解 (1)证明 因为an＝× n，Sn＝，所以Sn＝3 3 3122

1－3(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－公式为bn＝－

nn＋

2

.所以{bn}的通项

nn＋

2

12．已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn

＝n.

(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{bn}的通项公式． (1)证明 ∵an＋Sn＝n， ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1，

① ②

②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，

∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1， a＋－11∴. an－12

∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1. 111∴a1＝，∴c1＝－，公比q＝.

222

11

∴{cn}的等比数列．

221 1 n－1

1 n， －(2)解 由(1)可知cn＝ ＝－ 2 2 2 1 n

∴an＝cn＋1＝1－ 2 .

1n 1n－1 ∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－ 2－ 1－ 2 1 n－1 1 n 1 n＝ 2 － 2 ＝ 2 .

1 n1

又b1＝a1bn＝ 2 . 2

13．已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3. (1)若a＝1，求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}唯一，求a的值．

解 (1)设数列{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)． 即q2－4q＋2＝0，解得q1＝22，q2＝2－2. 所以数列{an}的通项公式为an＝(22)n

－1

或an＝(2－2)n1.

－

(2)设数列{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0(*)， 由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程(*)有两个不同的实根． 由数列{an}唯一，知方程(*)必有一根为0， 1代入(*)得a＝3

14．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，n∈N*. (1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列．

(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.

解 (1)∵点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上， ∴an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1(n>1，且n∈N*)．

∴an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，∴an＋1＝4an(n>1，n∈N*)，a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t＋1， ∴当t＝1时，a2＝4a1，数列{an}是等比数列．

(2)在(1)的结论下，a－

n＋1＝4an，an＋1＝4n，bn＝log4an＋1＝n，cn＝an＋bn＝4n1＋n，

∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－

1＋n)

＝(1＋4＋42＋…＋4n－

1)＋(1＋2＋3＋…＋n)

＝4n－1 1＋n n32