【步步高】2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第3讲 等比数列及其前n项和
时间:2025-04-02
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第3讲 等比数列及其前n项和
一、选择题
1.2+1与2-1两数的等比中项是( )
A.1 B.-1 C.±1
1
D.
2
解析 设等比中项为x,
则x=2+2-1)=1,即x=±1. 答案 C
2.设{an}是任意等比数列,它的前n项和,前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是( ). A.X+Z=2Y C.Y=XY
22
B.Y(Y-X)=Z(Z-X)
D.Y(Y-X)=X(Z-X)
解析 (特例法)取等比数列1,2,4,令n=1得X=1,Y=3,Z=7代入验算,选D. 答案 D
3.已知等比数列{an}为递增数列.若a1>0,且2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的公比q=( ). A.2
1B. 2
1
C.2或
2
D.3
解析 ∵2(an+an+2)=5an+1,∴2an+2anq2=5anq, 化简得,2q2-5q+2=0,由题意知,q>1.∴q=2. 答案 A
4.在正项等比数列{an}中,Sn是其前n项和.若a1=1,a2a6=8,则S8=
( ).
A.8 B.2+1) D.15(1-2)
1-q8
2,∴S8==2+1).
1-q
C.2-1) 解析
26
∵a2a6=a4=8,∴a21q=8,∴q答案 B
5.已知等比数列{an}的前n项和Sn=t·5A.4
B.5
n-2
1
,则实数t的值为( ). 5
4
C.
5
1 D.5
114 4 2
解析 ∵a1=S1=t-,a2=S2-S1=,a3=S3-S2=4t,∴由{an}是等比数列知 t
555 5
11 = - ·4t,显然t≠0,所以t=5.
55
答案 B
6.在由正数组成的等比数列{an}中,若a3a4a5=3π,则sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)的值为 ( ). 1 2
3
2
C.1
D.-
32
π
解析 因为a3a4a5=3π=a34,所以a4=3. 3
π7πlog3a1+log3a2+…+log3a7=log3(a1a2…a7)=log3a7所以sin(log3a1+log3a24=7log33=33+…+log3a7)=答案 B 二、填空题
7.设1=a1≤a2≤…≤a7,其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列,a2,a4,a6成公差为1的等差数列,则q的最小值是________.
解析 设a2=t,则1≤t≤q≤t+1≤q≤t+2≤q,由于t≥1,所以q≥max{tt+1,3
2
3
3
. 2
t+2}故q的最小值是3.
33
3
答案
8.在等比数列{an}中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式an=________.
解析 由题意知a1+4a1+16a1=21,解得a1=1, 所以数列{an}的通项公式an=4答案 4
n-1
n-1
.
9.设f(x)是定义在R上恒不为零的函数,且对任意的实数x,y∈R,都有f(x)·f(y)=f(x+y),1
若a1=,an=f(n)(n∈N*),则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是________.
21 21 13 解析 由已知可得a1=f(1)=,a2=f(2)=[f(1)]2= ,a=f(3)=f(2)·f(1)=[f(1)]=3 2 2 2
3
1 n
,…,an=f(n)=[f(1)]n= 2 ,
112 13 1n ∴Sn=+ ++…+ 22 2 2
1 1n 1- 2 2 1n=1- 2, 1
1-21
∵n∈N*≤Sn<1.
21
答案 21
1
10.等差数列{an}的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,给出下列四个命题:①数列 2an
n n-1
为等比数列;②若a2+a12=2,则S13=13;③Sn=nan-;④若d>0,则Sn一定
2有最大值.
其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号).
1an+1211d 1 解析 = a-a=是一个非零常数,因此数列an 是+n1n222 1 an 2
13 a1+a13 13 a2+a12
等比数列,①正确.对于②,S13==13,因此②正确.对于③,
22n n-1 n n-1 n n-1
注意到Sn=na1+d=n[an-(n-1)d]=nan-d,因此③正确.对
222n n-1
于④,Sn=na1+d,d>0时,Sn不存在最大值,因此④不正确.综上所述,其中
2正确命题的序号是①②③. 答案 ①②③ 三、解答题
11
11.已知等比数列{an}中,a1=,公比q=331-an
(1)Sn为{an}的前n项和,证明:Sn=;
2
(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式.
1111-1-n3 3 31 1n-111-an
解 (1)证明 因为an=× n,Sn=,所以Sn=3 3 3122
1-3(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-公式为bn=-
nn+
2
.所以{bn}的通项
nn+
2
12.已知数列{an}的前n项和为Sn,在数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且an+Sn
=n.
(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式. (1)证明 ∵an+Sn=n, ∴an+1+Sn+1=n+1,
① ②
②-①得an+1-an+an+1=1,
∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1, a+-11∴. an-12
∵首项c1=a1-1,又a1+a1=1. 111∴a1=,∴c1=-,公比q=.
222
11
∴{cn}的等比数列.
221 1 n-1
1 n, -(2)解 由(1)可知cn= =- 2 2 2 1 n
∴an=cn+1=1- 2 .
1n 1n-1 ∴当n≥2时,bn=an-an-1=1- 2- 1- 2 1 n-1 1 n 1 n= 2 - 2 = 2 .
1 n1
又b1=a1bn= 2 . 2
13.已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3. (1)若a=1,求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}唯一,求a的值.
解 (1)设数列{an}的公比为q,则b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2,由b1,b2,b3成等比数列得(2+q)2=2(3+q2). 即q2-4q+2=0,解得q1=22,q2=2-2. 所以数列{an}的通项公式为 …… 此处隐藏:1299字,全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……
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