专题五 立体几何

第 2讲

空间中的平行与垂直主干知识梳理

热点分类突破

真题与押题

1.以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的 基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定 理对命题的真假进行判断，属基础题. 2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与考 情 面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱 解 柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考 读

查，难度中等.3

主干知识梳理 1.线面平行与垂直的判定定理、性质定理

线面平 行的判

定定理线面平 行的性 质定理

a∥ b b α a∥α a α

a∥ α a β a∥b α∩β=b

线面垂 a α,b α 直的判

定定理线面垂 直的性

a∩b=O l⊥α l⊥a,l⊥b

a⊥ α a∥b b⊥ α

质定理

2.面面平行与垂直的判定定理、性质定理

面面垂直的判 定定理 面面垂 直的性

a⊥ α α⊥β a β α⊥β α∩β=c a α a⊥ c

质定理

a ⊥ β

面面平行的判 定定理

面面平行的性

α∥β a∥α,b∥α

a β b β a∩b=O

α∥β α∩γ=a a∥b β∩γ=b

质定理

提醒 使用有关平行、垂直的判定定理时，要注意 其具备的条件，缺一不可.

3.平行关系及垂直关系的转化

热点分类突破

热点一 热点二 热点三

空间线面位置关系的判定平行、垂直关系的证明 图形的折叠问题

热点一

空间线面位置关系的判定

例1

(1) 设 a , b 表示直线， α , β , γ 表示不同的平)

面，则下列命题中正确的是(

A.若a⊥α且a⊥b,则b∥αB.若γ⊥α且γ⊥β,则α∥β思维启迪 判断空间线面关系的基本 思路：利用定理或结论；借 助实物模型作出肯定或否定.

C.若a∥α且a∥β,则α∥βD.若γ∥α且γ∥β,则α∥β

解析

A:应该是b∥α或b α;

B:如果是墙角出发的三个面就不符合题意； C:α∩β=m,若a∥m时，满足a∥α,a∥β,但是 α∥β不正确，所以选D. 答案 D

(2)平面α∥平面β的一个充分条件是(A.存在一条直线a,a∥α,a∥β B.存在一条直线a,a α,a∥β

)

C.存在两条平行直线a,b,a α,b β,a∥β,b∥α D.存在两条异面直线a,b,a α,b β,a∥β,b∥α

解析

若 α∩β = l , a∥l , a α , a β ,则 a∥α ,

a∥β,故排除A.若α∩β=l,a α,a∥l,则a∥β,故排除B.

若 α∩β = l , a α , a∥l , b β , b∥l , 则 a∥β ,b∥α,故排除C.故选D. 答案 D

解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主 要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种 情况，以及空间线

面垂直、平行关系的判定定理思 和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、 维 升 长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意 华

平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中 .

变式训练1

对于平面α,β,γ和直线a,b,m,n,下列命题中真命 题是( ) A.若a⊥m,a⊥n,m α,n α,则a⊥α B.若α⊥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a∥b C.若a∥b,b α,则a∥α

D.若a β,b β,a∥α,b∥α,则β∥α

解析

A中：由线面垂直的判定定理知，还需m与n

相交才能得a⊥α,故A错. C中：由线面平行的判定定理，还需知a α,故C错 . D中：由面面平行的判定定理知，还需a与b相交才 能得β∥α,故D错.所以选B. 答案 B