分类讨论思想

在数学中,如果一个命题的条件或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法叫做分类讨论。

在数学学习中，我们不仅要分阶段学习知识，还要适时的总结一下数学思想方法。初中常见的数学思想有：分类讨论思想、数形结合思想、转化思想、方程思想等。分类讨论思想是大家在中学阶段需要掌握的重要思想方法。特别就中考而言，经常出现带有这种思想的考题。几乎可以这么说：“分类讨论一旦出现，就是中高档次题”。今天，我们就带着大家把初一一年常见的分类讨论问题大致整理一下。

在分类讨论的问题中有三个重要的注意事项。

1. 什么样的题会出现分类讨论思想--往往是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定，无法进行下一步”(如几何中，画图的不确定；代数中，出现字母系数等)。

2. 分类讨论需要注意什么----关键是“不重、不漏”，特别要注意分类标准的统一性。

3. 分类讨论中最容易错的是什么--总是有双重易错点“讨论有重漏，讨论之后不检验是否合题意”。

【例1】 解方程：|x-1|=2

分析：绝对值为2 的数有2个

解：x-1=2或x-1=-2, 则x=3或x=-1

说明 应该说，绝对值问题是我们在上学期最初见过的“难题”。其实归根究底，一般考察绝对值的问题有三。

1. 化简(如当a<0<b时，化简|a-1|+|b+1|+|a-b|)

处理方法：根据绝对值符号内的式子的正负性

2. 类似于“解方程”(如本题)

处理方法：注意解往往不只一个，需关注绝对值为正数的数有两个。

3. 使用绝对值的几何意义解题(如已知|x-1|<2，求x的取值范围) 处理方法：画数轴，|x-1|<2表示数轴上到表示1的点的距离小于2的点。

【例2】 试比较1+a与1-a的大小。

分析：常规的比较大小的方法有很多种，现阶段最常用的是作差法。两个数量的大小可以通过它们的差来判断：

①a>b即a-b>0 ②a=b即a-b=0 ③a<b即a-b<0 解：作差 (1+a)-(1-a)=2a

分类讨论：

①当a>0时，2a>0，即(1+a)-(1-a)>0，即1+a>1-a

②当a=0时，2a=0，即(1+a)-(1-a)=0，即1+a=1-a

③当a<0时，2a<0，即(1+a)-(1-a)<0，即1+a<1-a

答：当a>0时，1+a>1-a；当a=0时，1+a=1-a；当a<0时，1+a<1-a。

【例3】 已知线段AB长度为6cm，点C在直线AB上，且AC=2cm，求BC的长度。

分析：注意点C的位置不能确定。在直线上，与一个定点的距离为定值的点有两个。

处理方法：画一个示意图，往往能帮助理解。

解：如示意图，有两种情况。

如图1，点C在AB之间时，BC=AB-AC=6cm-2cm=4cm

如图2，点C在BA的延长线上时，BC=AB+AC=6cm+2cm=8cm

【例4】一张桌子有四个角，砍掉一只角后，还剩几个角？

解：5个或4个或3个。

【例5】已知△ABC周长为20cm，AB=AC，其中一边边长是另一边边长的2倍，BC长多少？

解：设AB=AC=x

①当AB=2BC时，BC=0.5x

据题意，列x+x+0.5x=20，解得x=8cm，则BC=0.5x=4cm

②当BC=2AB时，BC=2x

据题意，列x+x+2x=20，解得x=5cm，则BC=2x=10cm

检验：当AB=2BC时，三边长为8cm，8cm，4cm，可组成三角形； 当BC=2AB时，三边长为5cm，5cm，10cm，不可组成三角形，舍。 答：BC长为4cm。

【例6】 富城书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元，但不超过200元，一律打九折；③一次性购书超过200元，一律打八折。如果小明一次性购书 付款162元，那么小明所购书的价格为多少。

解：付款162元，由于162＞100，可确定享受了优惠。

因不确定是打九折还是打八折，所以分类。

99①∵200×=180＞162，∴162元可能享受了九折优惠，162÷=180（元）； 1010

88②∵200×=160＜162，∴162元可能享受了八折优惠，162÷=202.5（元） 1010

答：小明所购书的价格为180元或202.5元。

【例7】 三人分糖，每人都得整数块，乙比丙多得13块，甲所得的糖果数是

乙的2倍，已知糖果总数是一个小于50的质数，且它的各位数字之和为11，试求甲、乙、丙各分得几块糖？

分析： 1. 两个限制条件：整数、质数

2.一个常见说法：乙比丙多得13块，甲所得的糖果数是乙的2倍

3.一个常见不等式列法：糖果总数是小于50

解：设丙获得了x块粮果，则乙的糖果数为(x+13)块，甲的糖果数为2(x+13)， 根据题意，可列不等式 2(x+13)+(x+13)+x<50

整理这个不等式，解得x<11/4=2.75

由于糖果块数必为正整数，所以x=1或2

①当x=1时，x+13=14，2(x+13)=28

总块数1+14+28=43，为质数，但4+3=7≠11，则x=1应舍去；

②当x=2时，x+13=15，2(x+13)=30

总块数2+15+30=47，为质数4+7=11，合题意。

答：甲分得糖果数为30块，乙分得15块，丙分得2块。

练习题

1.解方程：（1）|x+4|=3 （2）a2 ( 3)2

2.|a|+a的值的情况讨论。

3. 如果a、b、c是非零有理数，求abc 的值 abc

4.比较a2-a+4与a2+3的大小

5.数轴上有A、B两点,若A点对应的数是-2,且A、B两点的距离为3,则点B对应的数为多少（画图表示）。

6.平面内有四点，经过两点可画多少条直线。

7.平面内有三条直线,它们可能有几个交点?

8. 已知∠A0B=120º，∠BOC=30º，则∠AOC为多少。

9.在一条直线上顺次取A、B、C三点，已知AB＝5cm，点O是线段AC的中点，且OB=1.5cm，求线段BC的长。

10. 已知△ABC周长为18cm，AB=AC，其中一边边长比另一边边长大3cm，BC长多少？

11. 在△ABC中，若AB=3，BC=1-2x，CA=8，求x的取值范围。

12. A、B两地相距480千米,一列慢车从A地开出,每小时行60千米,一列快车从B地开出,每小时行65千米,慢车先开出1小时,两车相向而行,慢车开出x小时后,两车相距100千米,则列方程为

甲班分两次共购买苹果70kg（第二次多于第一次），共付189元，则甲班第一次，第二次分别购买苹果多少千克。