高数答案(同济五版)

第11章

习题11 1

1. 写出下列级数的前五项: (1)∑1+n2;

n=11+n 解

∞

n=1∞

解

n=1∞

∑1+n=1+5+10+26+37+ .

解

ww

w.kh

∞

( 1)n 1

(3)∑n;

n=15

∞

( 1)n 111111

解 ∑= + + . 555555n=1

( 1)n 1111 1+1 . 解 ∑= +

5251256253125n=15

!. (4)∑nn

n=1n

∞

∞

解

n=1∞

∑nn=11+22+33+44+55+ . ∑nn=1+4+27+256+3125+ .

n!12

6

24

120

∞

n!

课

1 3 (2n 1)1315105945

∑2 4 2n=2+8+48+384+3840+ . n=1

1!2!

后

∞

3!

解

n=1

2. 写出下列级数的一般项:

daw

4!

5!

解

答

1 3 (2n 1)11 31 3 51 3 5 71 3 5 7 9

∑2 4 2n=2+2 4+2 4 6+2 4 6 8+2 4 6 8 10+ . n=1

案

∞

网

(2)∑

1 3 (2n 1)

;

2 4 2nn=1

.c

o

1+n3456

m

∑1+n2=1+12+1+22+1+32+1+42+1+52+ .

∞

1+n1+11+21+31+41+5

第11章

解 一般项为un=

nx2

2n!

.

n=1

解 因为

ww

w.kh

sn=( )+( )+( )+ +(+1 ) =(n+1 )→∞(n→∞), 所以级数发散.

1+ ; (2)1+1+1+ +

1 33 55 7(2n 1)(2n+1)

解 因为

1 sn=1+1+1+ +

1 33 55 7(2n 1)(2n+1)

=11 1+11 1+1(1 1+ +11 1 21323525722n 12n+1

=11 1+1 1+1 1+ +1 1

21335572n 12n+1

=1(1 1→1(n→∞),

22n+12

所以级数收敛.

课

(1)∑(+1 );

∞

daw

后

2345aaaa (4) + + . 3579

n+1

解 一般项为un=( 1)n 1a.

2n+1

3. 根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性:

答

案

.co

2

(3)x+x+xx+x+ ;

网

m

(1)1+1+1+1+ ;

357

解 一般项为un=1.

2n 1

(2)2 3+4 5+6 ;

12345

解 一般项为un=( 1)n 1n+1.

n

第11章

(3)sinπ+sin2π+sin3π+ sinnπ+ .

6666

解 sn=sinπ+sin2π+sin3π+ sinnπ

6666 =

=

=

(cosπ cos2n+1).

12122sin121

w.kh

∞

因为limcos2n+1不存在, 所以limsn不存在, 因而该级数发散.

12n→∞n→∞

4. 判定下列级数的收敛性:

23n888n8 (1) + + +( 1)+ ; 9999

8

解 这是一个等比级数, 公比为q= 8, 于是|q|=<1, 所以此级数收敛.

99

(2)1+1+1+ +1+ ;

3693n

解 此级数是发散的, 这是因为如此级数收敛, 则级数 =∑1=3(1+1+1+ +1+ )

3693nn=1n也收敛, 矛盾.

(3)+++ ++ ;

3ww

解 因为级数的一般项un=1=3n→1≠0(n→∞),

所以由级数收敛的必要条件可知, 此级数发散.

23n3333 (4)+2+3+ +n+ ; 2222

解 这是一个等比级数, 公比q=3>1, 所以此级数发散.

2

1+1+ +(1+1+ . (5)(1+1+(1+1+(

23232323da

w

1

课

后

答

案

.co

π cos3π+(cos3π cos5π+ +(cos2n 1 cos2n+1)]

1212121212122sin121

网

m

(2sinπsinπ+2sinπsin2π+ +2sinπsinnπ

1261261262sin121

第11章

∞

1 解 因为∑n和∑1都是收敛的等比级数, 所以级数 n23n=1n=1

∞

∞

n=1

∑(2+3=(2+3+(2+3+(2+3+ +(2+3+

1111111111

ww

w.kh

daw

课

后

答

案

.co

网

m

是收敛的.

第11章

习题11 2

1. 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收 敛性:

(1)1+++ +

11351+ ; (2n 1)

(2)1+

1+2+1+3+ +1+n+ ; 1+221+321+n2

(3)

1

∞2(n+1)(n+4)n=lim=1, 而级数∑1收敛, 解 因为lim

n→∞n→∞n+5n+4n=1nn2

ww

w.kh

故所给级数收敛. (4)sin

π+sinπ+sinπ+ +sinπ+ ;

2

2

2

2

sinπsinπ∞

=πlim=π, 而级数∑1n收敛, 解 因为lim

n→∞n→∞n=1222

故所给级数收敛. (5)∑

∞

1(a>0). n

n=11+a

解 因为

0 0<a<11

nan=l= 1a=1,

lim=lim2n→∞n→∞1+an

an 1 a>1

课

后

答

1+1+ +1+ ;

2 53 6(n+1)(n+4)

da

w

故所给级数发散.

案

网

∞

nn1+1+1 解 因为un=>=, 而级数∑1发散, 1+nn+nnn=1n

.c

o

1

∞

1=, 而级数∑1发散, 故所给级数发散. 解 因为lim

2n→∞n=1nn

m

第11章

∞

11而当a>1时级数∑收敛, 当0<a≤1时级数∑发散, n=1an=1a

∞

所以级数∑

1当a>1时收敛, 当0<a≤1时发散. n=11+a

∞

2. 用比值审敛法判定下列级数的收敛性:

23n

3333 (1)+++ +n+ ; 1 22 223 23n 2

3n. 因为

解 级数的一般项为un=

n 2n

u(n+1)23n

解 因为lim=lim=lim1(n+12=1<1,

3n→∞3n→∞unnn→∞3n

ww

w.kh

所以级数收敛.

∞

n2 n! (3)∑n; n=1n

un+12n+1 (n+1)!nnnn=2<1,

解 因为lim =2lim(=lim

en→∞(n+1)2 n!n→∞n+1n→∞un

所以级数收敛. (3)∑ntan

n=1

∞

2

π.

n+1

ππ(+1)tannu1+n 解 因为lim=lim=lim =1<1,

2n→∞unn→∞n→∞nntan22

所以级数收敛.

课

后 …… 此处隐藏：6430字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……