河北衡水中学2013～2014学年度上学期五调考试 高三年级数学(文科)试卷

河北衡水中学2013～2014学年度上学期五调考试

高三年级数学（文科）试卷

本试卷分为第I卷（选择题）第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：（每小题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．设i是虚数单位，则复数

i

的虚部是( ) －1＋i

i11iA. B．－ C. D．－ 2222

2.已知命题p: x R,x 2 lgx，命题q: x R,x2 0，则( ) A.命题p q是假命题 B.命题p q是真命题

C.命题p ( q)是真命题 D.命题p ( q)是假命题

3.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）,该几何体的体积为（ ）m3．

A．

7

3

B．

997

C． D.

224

4．以下四个命题：其中真命题为( )

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测， 这样的抽样是分层抽样；

②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；

＝0.2x＋12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加 ③在回归直线方程y

0.2个单位；

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④对分类变量X与Y，它们的随机变量K的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握 程度越大．

A．①④ B．②④ C．①③ D．②③ 5．程序框图如图所示：

2

如果上述程序运行的结果S＝1320，那么判断框中应填入( ) A．K＜10? B．K≤10? C．K＜9? D．K≤11? 6.已知y A.

x2 1则cos(

B.

2

)等于（ ） 3

C.

4

53 54 5

D.

3 5

7. 已知菱形ABCD的边长为4， ABC 150，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（ ）

B. 1 C. D. 8686

x2y2

8. 已知双曲线C1：2 2 1(a>0，b>0)的焦距是实轴长的2倍.若抛物线C2：x2 2py(p>0)

ab

A. 1

的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（ ） 33222

A．x＝．x＝y C．x＝8y

33

*

D．x＝16y

2

9. 已知an＝log(n＋1)(n＋2)(n∈N)．我们把使乘积a1·a2·a3· ·an为整数的数n叫做“优数”，则在区间(1,2004)内的所有优数的和为( ) A．1024

2

B．2003 C．2026

2

D．2048

10. 能够把圆O:x y 16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的 “和谐函数”,下列函数不是圆O的“和谐函数”的是（ ） ．．

5 xxx x

C．f(x) tan D．f(x) e e 5 x2

11.已知向量a，b，c满足|a| |b| a b 2，(a c) (b 2c) 0，则|b c|的最小值为（ ）

3

A．f(x) 4x x B．f(x) 1n

A．

1

B

．． D． 222

2

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x3mx2 (m n)x 1

12．已知函数f(x) 的两个极值点分别为x1,x2，且x1 0,()1

32

，x2 (1, )，

点P(m,n)表示的平面区域为D，若函数y loga(x 4)(a 1)的图像上存在区域D内的点，则实数

a的取值范围是（ ）

+ ）（1,3）A. C. [3， D. （1,3] B. （3，+ ）

第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）

二、填空题（每小题5分，共20分. 每小题的答案填在答题纸的相应位置） 13.如图是甲、乙两名篮球运动员2013年赛季每场比赛得分的 茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和为 . 14.在 ABC中，已知内角A

3

，边BC

则 ABC的面积S的最大值为 ．

15.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是AC1、A1B1的中点．点P在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P所构成的轨迹的周长等于 ． 16.已知数列{an}满足a1

1aa

,an 1 an n 1n(n 2)，则该数列的通项公式an _________． 2n(n 1)

三、解答题（共70分。解答应写在答卷纸的相应位置，并写出必要的文字说明、推理过程） 17. （本小题满分12分）函数f(x) Asin( x

)把函数f(x)的图像向右平移

个单位，再向下平移1个单位，得到函数y g(x)的图像. 4

（1）若直线y m与函数g(x)图像在x [0,]时有两个公共点，其横坐标分别为x1,x2，

2

求g(x1 x2)的值；

、C的对边分别为a、b、c，且（2）已知 ABC内角A、B

c 3,g(C) 0.若向量m (1,sinA)与n (2,sinB)共线，

求a、b的值．

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18. （本小题满分12分）2013年9月20日是第25个全国爱牙日。某区卫生部门成立了调查小组，调查 “常吃零食与患龋齿的关系”，对该区六年级800名学生进行检查，按患龋齿和不患龋齿分类，得汇总数据：不常吃零食且不患龋齿的学生有60名，常吃零食但不患龋齿的学生有100名，不常吃零食但患龋齿的学生有140名.

（1）能否在犯错概率不超过0.001的前提下，认为该区学生的常吃零食与患龋齿有关系？ （2）4名区卫生部门的工作人员随机分成两组，每组2人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理.求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率.

n(ad bc)2

附：k

(a b)(c d)(a c)(b d)

2

19. （本小题满分12分）如图，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC

边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B． （1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由； （2）求棱锥E-DFC的体积；

（3）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出

如果不存在，请说明理由

.

BP

的值； BC

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20. （本小题满分12分）已知函数f(x) ax xlnx．

（1）当a 1时，函数f(x)的图像在点P(1,f(1))处的切线方程； （2）当a 0时，解不等式f(x) 0；

（1， ）（3）当a 1时,对x ,直线y k(x 1)恒在函数y f(x)的图像下方.求整数k的最大值.

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

选修4－1：几何证明选讲 22．（本小题满分10分）

已知AB为半圆O

的直径，AB 4，

C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD， 过点A作AD CD于D，交圆于点E，DE 1． （Ⅰ）求证：AC平分 BAD； （Ⅱ）求BC的长．

选修4 - 4：坐标系与参数方程选讲

x

23.（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为 （ 为参数）。

y

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以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P(,

2

)，直线l的极坐标方程

为

2cos( )

6

（1）判断点P与直线l的位置关系，说明理由；

（2）设直线l与曲线C的两个交点为A、B，求|PA| |PB|的值.

选修4 - 5：不等式选讲

24. （本小题满分10分）已知函数f(x) |x 1| （1）解不等式f(x) f(x 4) 8;

（2）若|a| 1,|b| 1,a 0.求证：f(ab) |a|f().

2013～2014学年度上学期五调考试 高三年级数学（文科）试卷 参考答案 BCCDA CADCD BB13.

2ba

n

3n 1

17. 解析：（1）由函数f(x)的图象，T 4(

又2

7 2 ) ，得 2， 123

3

,

3

，所以f(x) sin(2x

3

) 2分

) 1 4分

6

2 3

) 6分 由函数图像的对称性，有

g(x1 x2) g(f(

4

∴由图像变换，得g(x) f(x

) 1 sin(2x

∵ m与n共线，∴ sinB 2sinA 0．

由正弦定理7分

9分 ∵ c 3 ② 11分

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12分

18. 解：（1）由题意可得列联表：

不常吃零常吃零总食 食 计 不患龋齿 60 100 160 患龋齿 140 500 640 总计

200

600

800

因为k2

800(60 500 100 140)2

160 640 200 600

16.667 10.828。 所以能在犯错率不超过0.001的前提下,为该区学生常吃零食与患龋齿有关系。 （2）设其他工作人员为丙和丁，4人分组的所有情况如下表

小组 1 2 3 4 5 收集数甲乙

甲丙

甲丁

乙丙

乙丁

据

处理数丙丁

乙丁

乙丙

甲丁

甲丙

据

分组的情况总有6中，工作人员甲负责收集数据且工作人员乙负责处理数据占两种，所以工作人员甲负责收集数据且工作人员处理数据的概率是P

26 13

。 19. 解：（1）AB∥平面DEF，理由如下：

如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF∥AB， 又AB 平面DEF，EF 平面DEF．∴AB∥平面DEF．

（2）∵AD⊥CD，BD⊥CD，将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B． ∴AD⊥BD ∴AD⊥平面BCD

取CD的中点M，这时EM∥AD ∴EM⊥平面BCD，EM=1，

6 丙丁甲乙

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113

VE-DFC (S ABC) EM

343

（3）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE

证明如下：在线段BC上取点P．使BP=BC/3， 过P作PQ⊥CD于Q， ∵AD⊥平面BCD ∴PQ⊥平面ACD

∴DQ=DC/3=2√3/3， ∴tan∠DAQ=DQ/AD═（2√3/3）/2=√3/3， ∴∠DAQ=30° 在等边△ADE中，∠DAQ=30° ∴AQ⊥DE ∵PQ⊥平面ACD ∴AP⊥DE．AQ∩AP=A ∴DE⊥平面APQ， ∴AP⊥DE． 此时BP=BC/3， ∴BP/BC=1/3． 20. 解：（1）

，当

时．切线y 1 2(x 1), y 2x 1 2分

（2）f(x) 0 a lnx 0, x (0,e a) 4分 （3）当x 时,直线y k(x 1)恒在函数y f(x)的图像下方，得 （1， ）问题等价于k 当 令

时，令

，

f(x)

对任意x 1恒成立. 5分

x 1

，

，

故在上是增函数

由于h(3) 1 ln3 0,h(4) 2 ln4 0 所以存在

，使得h(x0) x0 2 lnx0 0．

）时，h(x) 0， 则x (1,x0)时，h(x) 0；x (x0，

）时，g (x) 0 即x (1,x0)时，g (x) 0；x (x0，

知 ）在(1,x0)递减，(x0，递增

10分

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因为CD为半圆的切线，所以OC CD，又因为AD CD，所以OC∥AD，

所以 OCA CAD， OAC CAD，所以AC平分 BAD． 4 （Ⅱ）由（Ⅰ）知BC CE， 6分

连结CE，因为ABCE四点共圆， B CED，所以cosB cos CED， 所以

DECB

，所以BC 2． 10分 CEAB

23.解：（1）直线l:2 cos(

) cos sin 6

直线l y 点P(0,)在直线l上。 5

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1 x t 2

（2）直线l

的参数方程为 （t为参数），

y x2y2

1 曲线C的直角坐标方程为

515

将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，

有3( t) 12

2

2

) 15, t2 2t 8 0，

设两根为t1,t2， PA PB t1t2 t1t2 8 8 10

－2x－2，x＜－3，

－3≤x≤1， 24.解：（Ⅰ）f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝ 4，

2x＋2，x＞1．

当x＜－3时，由－2x－2≥8，解得x≤－5； 当－3≤x≤1时，f(x)≤8不成立；

当x＞1时，由2x＋2≥8，解得x≥3． 4分 所以不等式f(x)≤4的解集为{x|x≤－5，或x≥3}． b

（Ⅱ）f(ab)＞|a|f()，即|ab－1|＞|a－b|．

5分 6分

a

因为|a|＜1，|b|＜1， 所以|ab－1|－|a－b|

22

2

2

＝(ab－2ab＋1)－(a－2ab＋b) ＝(a－1)(b－1)＞0，

所以|ab－1|＞|a－b|．故所证不等式成立．

…………10分

2

2

22