2015高考数学(文)一轮总复习课件：2.2 函数的单调性与最值

第二章 §2.2 函数的单调性与最值

§2.2 函数的单调性与最值 最新考纲1. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2. 会运用图像理解和研究函数性质.

最新考纲 基础梳理

第 二 节

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基础梳理

1. 单调性(1)定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区 间D上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)) ,那么就说f(x)在区间D上是______________________ . 增函数(减函数) (2)单调区间：如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么说

函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间 __________________ .

(3)函数y=x+

a x

(a>0)在 (-∞,- a ),(

a ,+∞)上单调

递增

;

a 递减 在(- a,0),(0, a )上单调________;函数y=x+ (a<0)在___ x (-∞,0),(0,+∞) ________________ 上单调递增.2. 最值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：①对于任意 的x∈I,都有f(x)≤M(f(x)≥M);②存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么称M是函 最大(小)值 数y=f(x)的________________ .

拓展延伸1. 对函数单调性定义的理解

(1)函数的单调区间必须是定义域的子集.(2)定义的两种变式：x1-x2 f(x1)-f(x2) b]上是增函数； <0 f(x)在[a,b]上是减函数. x1-x2 ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 f(x)在[a,b]上是增函数；(x1-x2)[f(x1)

设任意x1,x2∈[a,b],那么：①

f(x1)-f(x2)

>0 f(x)在[a,

-f(x2)]<0 f(x)在[a,b]上是减函数.

2. 两个结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭

区间上单调时最值一定在端点取到；(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.

自主测评1. 判断下列命题是否正确. (1)函数y=在[0,+∞)上单调递减.

(2)所有函数在其定义域上均有单调性.(3)函数y=|x|是R上的增函数. (4)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1,+∞) . 解析： (1)错误.0不在函数y= 1 的定义域上，没有意义，y= 1 在(0,+∞)上为减函 数. x x

1(x是有理数), (2) 错误.并非所有函数在定义域上都有单调性，如函数 y= 0(x是无理数) 在其定义域R上就不具备单调性.

(3)错误.函数y=|x|在(-∞,0]上是减函数，在[0,+∞)上是增函数.

(4)错误.[1,+∞)是单调递增区间的子集.

2. (教材改编)下列区间是函数y= A. (-∞,+∞) B. (-1,2) 1 C. (-∞,-1) D. , 3 2 解析： 由y=1

1 x-1

的一个递减区间的是(

)

x-1 减，故选C.

的图像知，函数y=

1 x-1

在(-∞,-1)上

单调递

3. (教材改编)下列函数f(x)中满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1<x2时， 都有f(x1)>f(x2)的是( A. f(x)=1 x C. f(x)=e2

) B. f(x)=(x-1)2 D. f(x)=ln(x+1)

解析： 由题意知，A项f(x)在(0,+∞)上为减函数，B项 f(x)不单调，C项f(x)为 常数函数，D项f(x)在(0,+∞)上为增函数.故选A.

4.

(2013· 合肥月考)设(a,b),(c,d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a, b),x2∈(c,d),x1<x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系是 ( A. f(x1)<f(x2) B. f(x1)>f(x2) )

C. f(x1)=f(x2)

D. 不能确定

解析： x1,x2不在同一单调区间内，故无法比较 f(x1)与 f(x2)的大小.D正确。

5.

(2013· 佛山模拟)若函数y=ax与y=- 则y=ax2+bx在(0,+∞)上是( A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减 D. 先减后增 )

b x

在(0,+∞)上都是减函数，

解析： 由题意得a<0,b<0,∴对于y=ax2+bx,a<0时图像开口向下，对 称轴方程为x=-

b

2a

<0,∴y=ax2+bx在(0,+∞)上为减函数.选B。

题型分类 ·典例研析题型1 · 函数的单调性的判断例 1 试讨论函数 f(x)= 2 的单调性. x +1 x

思路点拨：

可采用定义法或导数法判断.

规范解答： 解法一：f(x)的定义域为 R,在定义域内任取 x1<x2,(x1-x2)(1-x1x2) 都有 f(x1)-f(x2)= 2 - = , 2 x1+1 x2 (x2 2+1 1+1)(x2+1)2 其中 x1-x2<0,x2 1+1>0,x2+1>0.(6 分)

x1

x2

①当x1,x2∈(-1,1)时，|x1|<1,|x2|<1,∴|x1x2|<1, 则x1x2<1,1-x1x2>0, f(x1)-f(x2)<0, f(x1)<f(x2), ∴f(x)为增函数.(8分) ②当x1,x2∈(-∞,-1]或x1,x2∈[1,+∞)时， 1-x1x2<0, f(x1)>f(x2),∴f(x)为减函数.(10分) 综上所述， f(x)在(-1,1)上是增函数，在(-∞,-1]和[1,+∞)

上是减函数.(12分)

x x2+1-x(x2+1)′ x2+1-2x2 1-x2 解法二：∵f′(x)= 2 = = , ′= 2+1)2 2+1)2 2+1)2 x + 1 ( x ( x ( x (6 分) ∴由 f′(x)>0 解得-1<x<1.由 f′(x)<0 解得 x<-1 或 x>1,(10 分) ∴f(x)在[-1,1]上是增函数，在(-∞,-1]和[1,+∞)上是减函数.(12 分)

易错警示： (1)函数的单调性是对某一个区间而言的. f(x)在区间A与B上都是 增(或减)函数，在A∪B上不一定单调；(2)单调性是函数在某一 区间上的性质，因此定义中的x1,x2在这一区间上具有任意性， 不能用特殊值代替.