一元二次方程的应用——

面积问题

一、基础回顾： 基础回顾： 1.一根20m长的铁丝围成一个矩形，若一边长为 2m,则另一边长为______m ,所围成的矩形的面 积为______平方米，若设一边长是x m,,则另 一边长为______m ,若围成的矩形的面积为24 平 方米，则所得的方程是__________________ , x的值是______。 2.一块正方形的铁皮，四周截去一个边长为2cm 的小正方形后，做成一个底面积为64cm的无盖容 器，设正方形的铁片的边长为xcm,则可列方程 __________________。

有一块矩形铁皮, 100㎝ 50㎝ 例1: 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝, 在它的四角各切去一个正方形, 在它的四角各切去一个正方形,然后将四 周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒, 周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒, 如果要制作的方盒的底面积为3600 平方 如果要制作的方盒的底面积为 3600平方 3600 厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形? 厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形?50㎝ 50㎝ 100㎝ 100㎝

解:设切去的小正方形的边长为xcm.依 题意可列方程 (100-2x)(50-2x)=3600 整理得 x2-75x+350=0 分解为 (x-70)(x-5)=0 x=70, x=5 ∵当x=70时(50-2x)<0,∴x=5 答：切去的小正方形的边长为5cm.

米长的墙为一边， 例2:某农户利用 米长的墙为一边，用39 :某农户利用25米长的墙为一边 米长的铁丝网当三边，围成了一个面积为99 米长的铁丝网当三边，围成了一个面积为 m2 的长方形鸡场，(1)求鸡场的长和宽各是 的长方形鸡场， 求鸡场的长和宽各是 多少？ 怎样围能使鸡场面积最大 多少？(2)怎样围能使鸡场面积最大 ？ :设垂直于墙壁的一边长为 解:设垂直于墙壁的一边长为 x 米，则平行于墙壁的一边 长为( - ) 长为(39-2x)米。根据题 意得: 意得x

25米 米

x

准备在一块长32米 宽 例3:某校为了美化校园,准备在一块长 米,宽 某校为了美化校园 准备在一块长 20米的长方形场地上修筑若干条等宽的道路 米的长方形场地上修筑若干条等宽的道路, 米的长方形场地上修筑若干条等宽的道路 余下部分作草坪,草坪面积为540米 余下部分作草坪 草坪面积为540米2,现在有位 草坪面积 学生设计了一种方案,根据设计方案列出方程 学生设计了一种方案 根据设计方案列出方程, 根据设计方案列出方程 求图中道路的宽是多少? 求图中道路的宽是多少

分析： 分析：此题的相等关系是矩 形面积减去道路面积等于 540米 540米2。 解法一、 解法一、 如 设道路的宽为x 图，设道路的宽为x米， 32x 米2 则横向的路面面积为

(1)

,

纵向的路面面积为 所列方程是不是 32×20-(32x+20x)=540

20x 米2 。

?

注意： 注意：这

两个面积的重叠部分是 x2 米 图中道路面积不是 (32x+20x)平方米 平方米

正确的方程是： 正确的方程是：

化简得， 化简得，x 52 x + 100 = 0,2

32 × 20 ( 32 x + 20 x x 2 ) = 540( x 2)( x 50) = 0

x1 = 2, x2 = 50

x=50超出了原矩形的长和宽 应舍去， 超出了原矩形的长和宽， 其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去， 所以x=2 x=2。 所以x=2。

答：所求道路的宽为2米。 所求道路的宽为2

解法二： 解法二： 我们利用“图形经过移动， 我们利用“图形经过移动， 它的面积大小不会改变”的道理， 它的面积大小不会改变”的道理， 把纵、横两条路移动一下， 把纵、横两条路移动一下，使列 方程容易些( 方程容易些(目的是求出路面的 至于实际施工， 宽，至于实际施工，仍可按原图 的位置修路) 的位置修路)

解法二 如图，设路宽为x 如图，设路宽为x米 草坪矩形的长(横向) 草坪矩形的长(横向)为 (32-x)米 (2) 。 32-x)米 (20-x) x)米 草坪矩形的宽(纵向) 草坪矩形的宽(纵向)为 (20-。 米 相等关系是：草坪长×草坪宽=540 =540米 相等关系是：草坪长×草坪宽=540米2 即 ( 32 x )( 20 x ) = 540. 2 x 化简得： 化简得： 52 x + 100 = 0, x1 = 50, x2 = 2x=50超出了原矩形的长和宽 应舍去. 超出了原矩形的长和宽， 其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.所以 x=2。 所求道路的宽为2 x=2。 答：所求道路的宽为2米。

小结 列一元二次方程解应用题的步骤与 列一元二次方程解应用题的步骤与 列一元一次方程解应用题的步骤类似， 列一元一次方程解应用题的步骤类似， 即审、设、列、解、验、答. 即审、

这里要特别注意:在列一元二次方 在列一元二次方 程解应用题时， 程解应用题时，由于所得的根一 般有两个， 般有两个，所以要检验这两个根 是否符合实际问题的要求. 是否符合实际问题的要求.

练习1:一块长方形铁板，长是宽的 倍 练习 ：一块长方形铁板，长是宽的2倍， 如果在4个角上截去边长为 如果在 个角上截去边长为5cm的小正方 个角上截去边长为 的小正方 形，然后把四边折起来，做成一个没有 然后把四边折起来， 盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3, 盖的盒子，盒子的容积是 求铁板的长和宽. 求铁板的长和宽.

铁板的宽为xcm,则有长为 则有长为2xcm 解：设铁板的宽为xcm,则有长为2xcm 5(2x-10)(x-10)=3000

练习： 练习：2、用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2 20cm长的铁丝能否折成面积为30cm 长的铁丝能否折成面积为 的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能, 的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明 理由. 理由.设这个矩形的长为xcm,则宽为 解

:设这个矩形的长为 设这个矩形的长为 则宽为20 ( x) 2

20 x( x) = 30 即 x2-10x+30=0 2

cm,

这里a=1,b=-10,c=30, - 这里

∴ b2 4ac = ( 10)2 4 × 1× 30 = 20 < 0∴此方程无解. 此方程无解 长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形 的矩形. ∴用20cm长的铁丝不能折成面积为 长的铁丝不能折成面积为

练习： 练习：3.如图是宽为 米,长为 米的矩形耕地 要修筑 如图是宽为20米 长为 米的矩形耕地,要修筑 长为32米的矩形耕地 如图是宽为 同样宽的三条道路(两条纵向 一条横向,且互相垂 两条纵向,一条横向 同样宽的三条道路 两条纵向 一条横向 且互相垂 把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验 直),把耕地分成六块大小相等的试验地 要使试验 把耕地分成六块大小相等的试验地 地的面积为570平方米 问:道路宽为多少米 平方米,问 道路宽为多少米 道路宽为多少米? 地的面积为 平方米

解:设道路宽为x米，则 设道路宽为x

( 32 2 x )( 20 x ) = 570 化简得， 化简得， 2 36 x + 35 =

x ( x 35)( x 1) = 0 ∴ x = 35, x = 11 2

0

超出了原矩形的宽， 其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去 超出了原矩形的宽 应舍去. 道路的宽为1米 答:道路的宽为 米. 道路的宽为

练习： 练习：4.如图 长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外 如图,长方形 四周外 如图 长方形 围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为 围环绕着宽度相等的小路 已知小路的面积为 246m2,求小路的宽度 求小路的宽度. 求小路的宽度 A D

解:设小路宽为x米，则 设小路宽为x (20 + 2 x)(15 + 2 x) = 246 + 15 × 20 化简得， 化简得， x2 2

+ 35 x 123 = 0 ( x 3)(2 x + 41) = 0 41 ∴ x = 3(舍去)x = , 21 2

B

C

小路的宽为3米 答:小路的宽为 米. 小路的宽为

5、学校课外生物小组的实验园地是一块长40 米，宽 、学校课外生物小组的实验园地是一块长 26 米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两 米的矩形，为便于管理， 纵三条等宽的小道， 平方米， 纵三条等宽的小道，要使种植面积为 864 平方米， 求小道的宽？ 求小道的宽？ 设小道的宽为x 设小道的宽为 米。 根据题意得: 根据题意得 (40-2x)(26-x) = 864 - -x 2 46 x + 88 = 026 小道 40

( x 2)( x 44) = 0

26小道

x1 = 2

x 2 = 44不合题意，舍去) (不合题意，舍去)

40

小道的宽为2米 答：小道的宽为 米。