用C语言求解N阶线性矩阵方程Ax=b的简单解法

一、描述问题：

题目：求解线性方程组Ax=b，写成函数。其中，A为n×n的N阶矩阵，x为需要求解的n元未知数组成的未知矩阵，b

为n

个常数组成的常数矩阵。即

运行程序时的具体实例为：

转化为矩阵形式（为检验程序的可靠性，特意选取初对角线元素为0的矩阵方程组）即为：

二、分析问题并找出解决问题的步骤：

由高等代数知识可知，解高阶线性方程组有逆矩阵求解法、增广矩阵求解法等，而在计算机C语言中，有高斯列主消元法、LU分解法、雅克比迭代法等解法。

为了与所学的高等代数知识相一致，选择使用“高斯简单迭代消元法”，与高等代数中的“增广矩阵求解法”相一致。以下简述高斯消元法的原理：

算法基本原理：

首先，为了能够求解N阶线性方程组（N由用户输入），所以需要定义一个大于N维的数组a[dim+1][dim+1]（dim为设定的最大维数，防止计算量溢出），当用户输入的阶数N超过设定值时提示重启程序重新输入。

进而，要判断方程组是否有解，无解提示重启程序重新输入，有解的话要判断是有无数不定解还是只有唯一一组解，在计算中，只有当原方程组有且只有一组解时算法才有意义，而运

用高等代数的知识，只有当系数矩阵对应的行列式 |A|≠0 时，原方程组才有唯一解，所以输入系数矩阵后要计算该系数矩阵的行列式 |A|（定义了getresult(n)函数计算），当行列式 |A|=0 时同样应提示重启程序重新输入， |A|≠0 时原方程组必然有且仅有唯一一组解。

判断出方程组有且仅有唯一一组解后，开始将系数矩阵和常数矩阵（合并即为增广矩阵）进行初等行变换（以 a11 为基元开始，将第j列上j行以下的所有元素化为0），使系数矩阵转化为上三角矩阵。这里要考虑到一种特殊情况，即交换到第j-1列后，第j行第j列元素 ajj=0 ，那此时不能再以 ajj 为基元。

当变换到第j列时，从j行j列的元素 ajj 以下的各元素中选取第一个不为0的元素，通过第三类初等行变换即交换两行将其交换到 ajj 的位置上，然后再进行消元过程。交换系数矩阵中的两行，相当于两个方程的位置交换了。

再由高斯消元法，将第j列元素除 ajj 外第j行以下的其他元素通过第二种初等行变换化为0，这样，就能使系数矩阵通过这样的行变换化为一个上三角矩阵，即

，

当系数矩阵A进行初等行变换时，常数矩阵也要进行对应的初等行变换，即此

时

那么有

接下来，进行“反代”，由 可求出 出 ，再往上代入 即可求 以此类推，即可从 xn推到 xn-1 ，再推到xn-2 直至 x1 。至此，未知矩阵x的所有元素就全部求出，即求出了原方程组有且仅有的唯一一组解。

基本原理示意图：

三、编写程序

1. #include<stdio.h>

2. #include<stdlib.h>

3. #include<math.h>

4. #define dim 10 //定义最大的维数10，为防止计算

值溢出

5. double a[dim+1][dim+1],b[dim+1],x[dim+1]; //定义双精度数组

6. double temp;

7. double getarray(int n); //定义输入矩阵元素的函数

8. double showarray(int n); //定义输出化简系数矩阵过程的函

数

9. int n,i,j,k,p,q;

10. double main()

11. {

12.

13. printf("请输入系数矩阵的阶数n(n<10):");

14. scanf("%d",&n);

15. /*判断矩阵阶数是否超过界定值*/

16. if(n>dim)

17. {

18. printf("错误：元数超过初设定的值%d，请重启程序重新输入\n",dim);

19. exit(0);

20. }

21.

22. /*输入系数矩阵和常数矩阵（即增广矩阵）的元素*/

23. getarray(n);

24.

25. /*使对角线上的主元素不为0*/

26. for(j=1;j<=n-1;j++)

27. {

28. if(a[j][j]==0)

29. for(i=j+1;i<=n;i++)

30. {

31. if(a[i][j]!=0)

32. {

33. /*交换增广矩阵的第i行与第j行的所有元素*/

34. for(k=1;k<=n;k++)

35. {

36. a[i][k]+=a[j][k];

37. a[j][k]=a[i][k]-a[j][k];

38. a[i][k]-=a[j][k];

39. }

40. b[i]+=b[j];

41. b[j]=b[i]-b[j];

42. b[i]-=b[j];

43. }

44. continue; //找到第j列第一个不为0的元素即跳回第一层循

环

45. }

46. }

47. /*开始用高斯简单迭代消元法进行求解计算*/

48. for(j=1;j<=n-1;j++)

49. {

50. /*使系数矩阵转化为上三角矩阵，常数矩阵相应进行变换*/

51. for(i=j+1;i<=n;i++)

52. {

53. temp=a[i][j]/a[j][j];

54. b[i]=b[i]-temp*b[j];

55. for(k=1;k<=n;k++)

56. a[i][k]=a[i][k]-temp*a[j][k];

57. printf("\n通过初等行变换增广矩阵矩阵C化为：\n");

58. /*输出进行初等行变换的过程*/

59. printf("C=");

60. for(p=1;p<=n;p++)

61. {

62. for(q=1;q<=n;q++)

63. printf("\t%.3f",a[p][q]);

64. printf("\t%.3f\n",b[p]);

65. }

66. printf("\n");

67. }

68. }

69.

70. /*输出最终的增广矩阵C*/

71. showarray(n);

72.

73. /* 开始按顺序反代求解x[i](i=n,n-1,n-2,…,2,1)*/

74. x[n]=b[n]/a[n][n];

75. for(j=n-1;j>=1;j--)

76. {

77. x[j]=b[j];

78. for(k=n;k>=j+1;k--)

79. x[j]=x[j]-x[k]*a[j][k];

80. x[j]=x[j]/a[j][j];

81. }

82. printf("\n原方程组的唯一一组实数解为：\n");

83. for(j=1;j<=n;j++)

84. printf("x[%d]= %.3f\n",j,x[j]);

85. }

86.

87. /*定义矩阵输入函数getarray(n)并打印以作检查*/

88. double getarray(int n)

89. {

90. printf("\n请输入该矩阵各行的实数（以空格隔开）\n");

91. for(i=1;i<=n;i++)

92. {

93. printf("\n第%d行:\t",i);

94. for(j=1;j<=n;j++)

95. {

96. scanf("%lf",&a[i][j]);

97. printf("a[%d][%d]= %.3f",i,j,a[i][j]);

98. printf("\n");

99. }

100. }

101. printf("\nA=");

102. for(i=1;i<=n;i++)

103. {

104. for(j=1;j<=n;j++)

105. printf("\t%.3f",a[i][j]);

106. printf("\n");

107. }

108. printf("\n");

109. /*输入常数矩阵的各个数*/

110. for(i=1;i<=n;++i)

111. {

112. printf("请输入常数b[%d] = ",i);

113. scanf("%lf",&b[i]);

114. }

115. }

116.

117. /*定义增广矩阵C输出函数showarray(n)*/

118. double showarray(int n)

119. {

120. printf("\n通过初等行变换最终增广矩阵矩阵C化为：\n");

121. printf("C=");

122. for(i=1;i<=n;i++)

123. {

124. for(j=1;j<=n;j++)

125. printf("\t%.3f",a[i][j]);

126. printf("\t%.3f",b[i]);

127. printf("\n");

128. }

129.

130. temp=1;

131. for(i=1;i<=n;i++)

132. temp*=a[i][i];

133. printf("\n矩阵的行列式|A|=%f\n",temp);

134. /*判断原线性方程组是否有唯一解*/

135. if(temp==0)

136. {

137. printf("\n该方程组无唯一解，请重新启动程序输入\n");

138. exit(0);

139. }

140. }

复制代码

程序执行结果：

四、误差分析 由程序执行结果图可知，该

C语言程序所求得的该

N阶矩阵方程即

N维线性方程组的解为

即

由于程序中所有变量除了增广矩阵的角标以外都定义为double型，而double型变量的精确度是16位，所以程序运行过程中变量的有效数字至多有15位，而为了程序执行时界面的清爽，将每个变量的有效数字只取了小数点后3位，就运行的具体程序来说，这小数点的后三维数字均为有效数字，所以本程序的误差至多为0.001即小数点后三位。

而在该具体的5维线性方程组中，用克拉默法则计算出系数行列式 |A|=665，其精确解为

所以各个解均在误差范围内。