DSE 金牌数学专题系列经典专题系列

初中数学中考特殊四边形证明及计算

一．解答题

1．（1）如图①，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．

求证：AE=CF．

（2）如图②，将▱ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I．

求证：EI=FG．

考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．

分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OA=OC，又由平行线的性质，可得∠1=∠2，继而利用ASA，即可证得△AOE≌△COF，则可证得AE=CF．

（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，继而可证

得△A1IE≌△CGF，即可证得EI=FG．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，OA=OC，

∴∠1=∠2，

在△AOE和△COF中，

，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，由（1）得AE=CF，

由折叠的性质可得：AE=A1E，∠A1=∠A，∠B1=∠B，

∴A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠5=∠3，∠4=∠6，

∴∠5=∠6，在△A1IE与△CGF中，

，∴△A1IE≌△CGF（AAS），∴EI=FG．

点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．

2．在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC 于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB．

请直接应用上述信息解决下列问题：

当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证

明．

考点：平行四边形的性质．

专题：探究型．

分析：在图2中，因为四边形PEAF为平行四边形，所以PE=AF，又三角形FDC为等腰三角形，所以FD=PF+PD=FC，即PE+PD+PF=AC=AB，在图3中，PE=AF可证，FD=PF﹣PD=CF，即PF﹣

PD+PE=AC=AB．

解答：解：图2结论：PD+PE+PF=AB．

证明：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，

∵PE∥AC，PF∥AB，

∴四边形AEPF是平行四边形，

∵MN∥BC，PF∥AB

∴四边形BDPM是平行四边形，

∴AE=PF，∠EPM=∠ANM=∠C，

∵AB=AC，

∴∠EMP=∠B，

∴∠EMP=∠EPM，

∴PE=EM，

∴PE+PF=AE+EM=AM．

∵四边形BDPM是平行四边形，

∴MB=PD．

∴PD+PE+PF=MB+AM=AB，

即PD+PE+PF=AB．

图3结论：PE+PF﹣PD=AB．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质，难易程度适中，读懂信息，把握规律是解题的关键．

3．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．

（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD；

（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；

（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

专题：证明题．

分析：（1）根据△ABC和△AED是等边三角形，D是BC的中点，ED∥CF，求证△ABD≌△CAF，进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；

（2）在（1）的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比；

（3）根据ED∥FC，结合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，

进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=DC．

解答：

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，且∠BAD=∠BAC=30°，

∵△AED是等边三角形，

∴AD=AE，∠ADE=60°，

∴∠EDB=90°﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，

∵ED∥CF，

∴∠FCB=∠EDB=30°，∵∠ACB=60°，∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=30°，

∴∠ACF=∠BAD=30°，在△ABD和△CAF中，

，

∴△ABD≌△CAF（ASA），∴AD=CF，∵AD=ED，

∴ED=CF，又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=CD．

（2）解：△AEF和△ABC的面积比为：1：4；

（3）解：成立．

理由如下：∵ED∥FC，

∴∠EDB=∠FCB，

∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB

∴∠AFC=∠BDA，

在△ABD和△CAF中，

∴△ABD≌△CAF（AAS），

∴AD=FC，

∵AD=ED，

∴ED=CF，

又∵ED∥CF，

∴四边形EDCF是平行四边形，

∴EF=DC．

点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握．此题涉及到的知识点较多，综合性较强，难度较大．

4．如图，在菱形ABCD中，AB=10，∠BAD=60度．点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动；设点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）．

（1）点N为BC边上任意一点，在点M移动过程中，线段MN是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分并说明理由；

（2）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动，在什么时刻，梯形ABNM的面积最大并求出面积的最大值；

（3）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒a（a≥2）个单位长的速度沿着射线BC方向（可以超越C点）移动，过点M作MP∥AB，交BC于点P．当△MPN≌△ABC时，设△MPN与菱形ABCD重叠部分的面积为S，求出用t表示S的关系式，井求当S=0时的值．

考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的性质．

专题：压轴题．

分析：（1）菱形被分割成面积相等的两部分，那么分成的两个梯形的面积相等，而两个梯形的高相等，只需上下底的和相等即可．

（2）易得菱形的高，那么用t表示出梯形的面积，用t的最值即可求得梯形的最大面积．

（3）易得△MNP的面积为菱形面积的一半，求得不重合部分的面积，让菱形面积的一半减去即可．

解答：解：（1）设：BN=a，CN=10﹣a（0≤a≤10）

因为，点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动，点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）

所以，AM=1×t=t （0≤t≤10），MD=10﹣t （0≤t≤10）．

所以，梯形AMNB 的面积=（AM+BN ）×菱形高÷2=（t+a ）×菱形高÷2；

梯形MNCD 的面积=（MD+NC ）×菱形高÷2=[（10﹣t ）+（10﹣a ）]×菱形高÷2

当梯形AMNB 的面积=梯形MNCD 的面积时，

即t+a=10，（0≤t≤10），（0≤a≤10）

所以，当t+a=10，（0≤t≤10），（0≤a≤10）时，可出现线段MN 一定可以将菱形分割成面积相等的两

部分．

（2）点N 从点B 以每秒2个单位长的速度沿着BC 边向点C

移动，设点N 移动的时间为t ，可知

0≤t≤5，

因为AB=10，∠BAD=60°，所以菱形高=5，

AM=1×t=t ，BN=2×t=2t ．

所以梯形ABNM 的面积=（AM+BN ）×菱形高÷2=3t×5

×=t （0≤t≤5）．

所以当t=5时，梯形ABNM 的面积最大，其数值为．

（3）当△MPN ≌△ABC 时，

则△ABC 的面积=△MPN 的面积，则△MPN 的面积为菱形面积的一半为25

；

因为要全等必有MN ∥AC ，

∴N 在C 点外，所以不重合处面积为×（at ﹣10）2× ∴重合处为S=25﹣，

当S=0时，即PM 在CD 上，

∴a=2．

点评： 本题考查了菱形以及相应的三角函数的性质，注意使用两条平行线间的距离相等等条件．

5．如图，在下列矩形ABCD 中，已知：AB=a ，BC=b （a ＜b ），假定顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形，现给出（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个命题：

命题（Ⅰ）：图①中，若AH=BG=AB ，则四边形ABGH 是矩形ABCD 的内接菱形；

命题（Ⅱ）：图②中，若点E 、F 、G 和H 分别是AB 、BC 、CD 和DE 的中点，则四边形EFGH 是矩形ABCD 的内接菱形；

命题（Ⅲ）：图③中，若EF 垂直平分对角线AC ，变BC 于点E ，交AD 于点F ，交AC 于点O ，则四边形AECF 是矩形ABCD 的内接菱形．

请解决下列问题：

（1）命题（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）都是真命题吗？请你在其中选择一个，并证明它是真命题或假命题；

（2）画出一个新的矩形内接菱形（即与你在（1）中所确认的，但不全等的内接菱形）．

（3）试探究比较图①，②，③中的四边形ABGH 、EFGH 、AECF 的面积大小关系．

考点： 菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；三角形中位线定理；矩形

的性质；命题与定理．

分析：（1）①先证明是平行四边形，再根据一组邻边相等证明；

②根据三角形中位线定理得到四条边都相等；

③先根据三角形全等证明是平行四边形，再根据对角线互相垂直证明是菱形；

（2）先作一条对角线，在作出它的垂直平分线分别与矩形的边相交，连接四个交点即可．

（3）分别表示出三个菱形的面积，根据边的关系即可得出图（1）图（2）的面积都小于图（3）的面积；根据a与b的大小关系，分a＞2b，a=2b和a＜2b三种情况讨论．

解答：解：（1）都是真命题；

若选（Ⅰ）证明如下：

∵矩形ABCD，

∴AD∥BC，

∵AH=BG，

∴四边形ABGH是平行四边形，

∴AB=HG，

∴AB=HG=AH=BG，

∴四边形ABGH是菱形；

若选（Ⅱ），证明如下：

∵矩形ABCD，

∴AB=CD，AD=BC，

∠A=∠B=∠C=∠D=90°，

∵E、F、G、H是中点，

∴AE=BE=CG=DG，AH=HD=BF=FC，

∴△AEH≌△BEF≌△DGH≌△GCF，

∴EF=FG=GH=HE，

∴四边形EFGH是菱形；

若选（Ⅲ），证明如下

∵EF垂直平分AC，

∴FA=FC，EA=EC，

又∵矩形ABCD，

∴AD∥BC，

∴∠FAC=∠ECA，

在△AOF和△COE中，

，

∴△ADF≌△COE（SAS）

∴AF=CE，

∴AF=FC=CE=EA，

∴四边形AECF是菱形；

（2）如图4所示：AH=CF，EG垂直平分对角线FH，四边形HEFG是菱形；

（3）S ABGH=a2 ，

S EFGH=ab，

S 菱形AECF=，

∵﹣a 2==＞0（b ＞a ）

∴S 菱形AECF ＞S ABGH ．

∵﹣ab===＞0，

∴S 菱形AECF ＞S EFGH ．

∵a

2

﹣ab=a （a ﹣b ）

∴当a ＞b ，即0＜b ＜2a 时，S 菱形ABGH ＞S 菱形EFGH ；

当a=b ，即b=2a 时，S 菱形ABGH =S 菱形EFGH ；

当a ＜b ，即b ＞a 时，S 菱形ABGH ＜S 菱形EFGH ．

综上所述：

当O ＜b ＜2a 时，S EFGH ＜S ABGH ＜S 菱形AECF ．

当b=2a 时，S EFGH =S ABGH ＜S 菱形AECF ．

当b ＞2a 时 S ABGH ＜S EFGH ＜S 菱形AECF ．

点评： 本题主要考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质以及矩形的性质

等知识点．注意第（3）题需要分类讨论，以防错解．

6．在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 的延长线于点F ，以EC 、CF 为邻边作平行四边形ECFG ．

（1）如图1，证明平行四边形ECFG 为菱形；

（2）如图2，若∠ABC=90°，M 是EF 的中点，求∠BDM 的度数；

（3）如图3，若∠ABC=120°，请直接写出∠BDG 的度数．

考点： 菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质；正方形的判

定与性质．

分析： （1）平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE ，根据

等角对等边可得CE=CF ，再有条件四边形ECFG 是平行四边形，可得四边形ECFG 为菱形；

（2）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM=BM，∠DMC=∠BME，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到∠BDM的度数；

（3）分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形．由AD∥BC 及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案．

解答：解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠DAF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，

∴∠CEF=∠CFE，

∴CE=CF，

又∵四边形ECFG是平行四边形，

∴四边形ECFG为菱形．

（2）如图，连接BM，MC，

∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是矩形，

又由（1）可知四边形ECFG为菱形，

∠ECF=90°，

∴四边形ECFG为正方形．

∵∠BAF=∠DAF，

∴BE=AB=DC，

∵M为EF中点，

∴∠CEM=∠ECM=45°，

∴∠BEM=∠DCM=135°，

在△BME和△DMC中，

∵，

∴△BME≌△DMC（SAS），

∴MB=MD，

∠DMC=∠BME．

∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，

∴△BMD是等腰直角三角形，

∴∠BDM=45°；

（3）∠BDG=60°，

延长AB、FG交于H，连接HD．

∵AD∥GF，AB∥DF，

∴四边形AHFD为平行四边形，

∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD，

∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°，

∴△DAF为等腰三角形，

∴AD=DF，

∴平行四边形AHFD为菱形，

∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形，

∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°，

∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，

∴BH=GF，

在△BHD与△GFD中，

∵，

∴△BHD≌△GFD（SAS），

∴∠BDH=∠GDF

∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°．

点评：此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地

选择方法．

7．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若点D在线段BC上，以AD为边长作正方形ADEF，如图1，易证：∠AFC=∠ACB+∠DAC；

（1）若点D在BC延长线上，其他条件不变，写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系，并结合图2给出证明；（2）若点D在CB延长线上，其他条件不变，直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式．

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

专题：几何综合题．

分析：（1）∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系为：∠AFC=∠ACB﹣∠DAC，理由为：由四边形ADEF为正方形，得到AD=AF，且∠FAD为直角，得到∠BAC=∠FAD，等式左右两边都加上∠CAD得到

∠BAD=∠CAF，再由AB=AC，AD=AF，利用SAS可得出三角形ABD与三角形ACF全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB，又∠ACB为三角形ACD的外角，利用外角的性质得到

∠ACB=∠ADB+∠DAC，变形后等量代换即可得证；

（2）∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式是∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°，可以根据∠DAF=∠BAC=90°，等号两边都减去∠BAF，可得出∠DAB=∠FAC，再由AD=AF，AB=AC，利用SAS证明三角形ABD 与三角形AFC全等，由全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB，根据三角形ADC的内角和为

180°，等量代换可得证．

解答： 解：（1）关系：∠AFC=∠ACB ﹣∠DAC ，…（2分）

证明：∵四边形ADEF 为正方形，

∴AD=AF ，∠FAD=90°，

∵∠BAC=90°，∠FAD=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠FAD+∠CAD ，即∠BAD=∠CAF ，…（3分）

在△ABD 和△ACF 中，

，

∴△ABD ≌△ACF （

SAS ），…（4分）

∴∠AFC=∠ADB ，

∵∠ACB 是△ACD 的一个外角，

∴∠ACB=∠ADB+∠DAC ，…（5分）

∴∠ADB=∠ACB ﹣∠DAC ，

∵∠ADB=∠AFC ，

∴∠AFC=∠ACB ﹣∠DAC ；…（6分）

（2）∠AFC 、∠ACB 、∠DAC 满足的关系式为：∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°，…（8分）

证明：∵四边形ADEF 为正方形，

∴∠DAF=90°，AD=AF ，

又∠BAC=90°，

∴∠DAF=∠BAC ，

∴∠DAF ﹣∠BAF=∠BAC ﹣∠BAF ，即∠DAB=∠FAC ，

在△ABD 和△ACF 中，

，

∴△ABD ≌△ACF （SAS ），

∴∠ADB=∠AFC ，

在△ADC 中，∠ADB+∠ACB+∠DAC=180°，

则∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°．

点评： 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，以及三角形的外角性质，

熟练掌握判定及性质是解本题的关键．

8．已知四边形ABCD 是正方形，O 为正方形对角线的交点，一动点P 从B 开始，沿射线BC 运动，连接DP ，作CN ⊥DP 于点M ，且交直线AB 于点N ，连接OP ，ON ．（当P 在线段BC 上时，如图1：当P 在BC 的延长线上时，如图2）

（1）请从图1，图2中任选一图证明下面结论：①BN=CP ；②OP=ON ，且OP ⊥ON ；

（2）设AB=4，BP=x ，试确定以O 、P 、B 、N 为顶点的四边形的面积y 与x 的函数关系．

考点：正方形的性质；分段函数；三角形的面积；全等三角形的判定与性质．

专题：代数几何综合题．

分析：（1）根据正方形的性质得出DC=BC，∠DCB=∠CBN=90°，求出∠CPD=∠DCN=∠CNB，证△DCP≌△CBN，求出CP=BN，证△OBN≌△OCP，推出ON=OP，∠BON=∠COP，求出∠PON=∠COB 即可；

（2）同法可证图2时，OP=ON，OP⊥ON，图1中，S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP，代入求出即可；图2中，S四边形OBNP=S△POB+S△PBN，代入求出即可．

解答：（1）证明：如图1，

∵正方形ABCD，

∴OC=OB，DC=BC，∠DCB=∠CBA=90°，∠OCB=∠OBA=45°，∠DOC=90°，DC∥AB，

∵DP⊥CN，

∴∠CMD=∠DOC=90°，

∴∠BCN+∠CPD=90°，∠PCN+∠DCN=90°，

∴∠CPD=∠CNB，

∵DC∥AB，

∴∠DCN=∠CNB=∠CPD，

∵在△DCP和△CBN中

，

∴△DCP≌△CBN，

∴CP=BN，

∵在△OBN和△OCP中

，

∴△OBN≌△OCP，

∴ON=OP，∠BON=∠COP，

∴∠BON+∠BOP=∠COP+∠BOP，

即∠NOP=∠BOC=90°，

∴ON⊥OP，

即ON=OP，ON⊥OP．

（2）解：∵AB=4，四边形ABCD是正方形，

∴O到BC边的距离是2，

图1中，S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP，

=×（4﹣x）×2+×x×2，

=4（0＜x＜4），

图2中，S四边形OBNP=S△POB+S△PBN

=×x×2+×（x﹣4）×x

=x2﹣x（x＞4），

即以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是：．

点评： 本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，分段函数等知识点的应用，解（1）小题的关键

是能运用性质进行推理，解（2）的关键是求出符合条件的所有情况，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意：证明过程类似．

9．如图，四边形ABCD 是正方形，点E ，K 分别在BC ，AB 上，点G 在BA 的延长线上，且CE=BK=AG ．

（1）求证：①DE=DG ； ②DE ⊥DG

（

2）尺规作图：以线段DE ，DG 为边作出正方形DEFG （要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（3）连接（2）中的KF ，猜想并写出四边形CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：

（4）当时，请直接写出的值．

考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；作图—复杂作图．

分析： （1）由已知证明DE 、DG 所在的三角形全等，再通过等量代换证明DE ⊥DG ；

（2）根据正方形的性质分别以点G 、E 为圆心以DG 为半径画弧交点F ，得到正方形DEFG ；

（3）由已知首先证四边形CKGD 是平行四边形，然后证明四边形CEFK 为平行四边形；

（4）由已知表示出的值．

解答： （1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，

∴DC=DA ，∠DCE=∠DAG=90°．

又∵CE=AG ，

∴△DCE ≌△DAG ，

∴DE=DG ，

∠EDC=∠GDA ，

又∵∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠ADE+∠GDA=90°

∴DE ⊥DG ．

（2）解：如图．

（3）解：四边形CEFK 为平行四边形．

证明：设CK 、DE 相交于M 点

∵四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形，

∴AB ∥CD ，AB=CD ，EF=DG ，EF ∥DG ，

∵BK=AG ，

∴KG=AB=CD ，

∴四边形CKGD 是平行四边形，

∴CK=DG=EF ，CK ∥DG ，

∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°，

∴∠KME+∠DEF=180°，

∴CK ∥EF ，

∴四边形CEFK 为平行四边形．

（4）解：∵，

∴设CE=x ，CB=nx ，

∴CD=nx ，

∴DE 2=CE 2+CD 2=n 2x 2+x 2=（n 2

+1）x 2，

∵BC 2=n 2x 2，

∴==．

点评： 此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图，解题的关

键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂．

10．如图，点P 是正方形ABCD 对角线AC 上一动点，点E 在射线BC 上，且PB=PE ，连接PD ，O 为AC 中点．

（1）如图1，当点P 在线段AO 上时，试猜想PE 与PD 的数量关系和位置关系，不用说明理由；

（2）如图2，当点P 在线段OC 上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；

（3）如图3，当点P 在AC 的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．

考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

分析： （1）根据点P 在线段AO 上时，利用三角形的全等判定可以得出PE ⊥PD ，PE=PD ；

（2）利用三角形全等得出，BP=PD ，由PB=PE ，得出PE=PD ，要证PE ⊥PD ；从三方面分析，当点E

在线段BC 上（E 与B 、C 不重合）时，当点E 与点C 重合时，点P 恰好在AC 中点处，当点E 在BC

的延长线上时，分别分析即可得出；

（3）利用PE=PB 得出P 点在BE 的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质只要以P 为圆心，PB 为半

径画弧即可得出E 点位置，利用（2）中证明思路即可得出答案．

解答： 解：（1）当点P 在线段AO 上时，

在△ABP和△ADP中，

∴△ABP≌△ADP，

∴BP=DP，

∵PB=PE，

∴PE=PD，

过点P做PM⊥CD，于点M，作PN⊥BC，于点N，

∵PB=PE，PN⊥BE，

∴BN=NE，

∵BN=DM，

∴DM=NE，

在Rt△PNE与Rt△PMD中，

∵PD=PE，NE=DM，

∴Rt△PNE≌Rt△PMD，

∴∠DPM=∠EPN，

∵∠MPN=90°，

∴∠DPE=90°，

故PE⊥PD，

PE与PD的数量关系和位置关系分别为：PE=PD，PE⊥PD；

（2）∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，

∴BA=DA，∠BAP=∠DAP=45°，

∵PA=PA，

∴△BAP≌△DAP（SAS），

∴PB=PD，

又∵PB=PE，

∴PE=PD．

（i）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD．（ii）当点E在BC的延长线上时，如图．

∵△ADP≌△ABP，

∴∠ABP=∠ADP，

∴∠CDP=∠CBP，

∵BP=PE，

∴∠CBP=∠PEC，

∴∠PEC=∠PDC，

∵∠1=∠2，

∴∠DPE=∠DCE=90°，

∴PE⊥PD．

综合（i）（ii），PE⊥PD；

（3）同理即可得出：PE⊥PD，PD=PE．

点评：此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质和尺规作图等知识，此题涉及到分类讨论思想，这是数学中常用思想同学们应有意识的应用．

巩固训练：

1．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AE⊥BD，

CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接AF，CE．

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）若∠BAD的平分线与FC的延长线交于点G，则△ACG是等腰三角形吗？并说明理由．

考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；矩形的性质．

专题：证明题；几何综合题；探究型．

分析：（1）根据矩形的性质可知：AB=CD，∠ABE=∠CDF，∠AEB=∠CFD=90°，得到△ABE≌△CDF，所以AE∥CF，AE=CF，可证四边形AECF为平行四边形；

（2）因为AE∥FG，得到∠G=∠GAE．利用AG平分∠BAD，得到∠BAG=∠DAG，从而求得

∠ODA=∠DAO．所以∠CAG=∠G，可得△CAG是等腰三角形．

解答：（1）证明：∵矩形ABCD，

∴AB∥CD，AB=CD．

∴∠ABE=∠CDF，又∠AEB=∠CFD=90°，

∴AE∥CF，

∴△ABE≌△CDF，

∴AE=CF．

∴四边形AECF为平行四边形．

（2）解：△ACG是等腰三角形．

理由如下：∵AE∥FG，

∴∠G=∠GAE．

∵AG平分∠BAD，

∴∠BAG=∠DAG．

又OA=AC=BD=OD，

∴∠ODA=∠DAO．

∵∠BAE与∠ABE互余，∠ADB与∠ABD互余，

∴∠BAE=∠ADE ．

∴∠BAE=∠DAO ，

∴∠EAG=∠CAG ，∴∠CAG=∠G ， ∴△CAG 是等腰三角形．

点评： 本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等腰三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS 、SAS 、SSA

、HL ．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再

根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

2．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，延长BA 到点D ，使AD=AB ．连接DE ，DF ．

（1）求证：AF 与DE 互相平分；

（2）若BC=4，求DF 的长．

考点：

平行四边形的判定． 专题：

计算题；证明题． 分析：

（1）连接EF 、AE ，证四边形AEFD 是平行四边形即可． （2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相

等，求得AE 长即可．

解答：

（1）证明：连接EF ，AE ． ∵点E ，F 分别为BC ，AC 的中点，

∴EF ∥AB ，EF=AB ．

又∵AD=AB ，

∴EF=AD ．

又∵EF ∥AD ，

∴四边形AEFD 是平行四边形．

∴AF 与DE 互相平分．

（2）解：在Rt △ABC 中，

∵E 为BC 的中点，BC=4，

∴AE=BC=2．

又∵四边形AEFD 是平行四边形，

∴DF=AE=2．