中国领先的中小学教育品牌

精锐教育网站：http:// - 1 - 精锐教育· 教学管理部

浦东新区2011学年度第二学期高考预测

高三数学（理科）

一、填空题

1．抛物线x y 42=的焦点坐标是 ．

2．复数i

z +=11

（其中i 是虚数单位），则z = ． 3．向量(3,4)a = 在向量(1,0)b =

方向上的投影为 ．

4．若集合2

{560}A x x x =-+≤，集合},02{Z a ax x B ∈=-=，且A B ⊆，则实数a = ．

5．已知三个球的表面积之比是3:2:1，则这三个球的体积之比为 ．

6．在△ABC 中，若1=b ,3=c , 3

2π

=

∠C ,则ABC S ∆= ．

7．在极坐标系中，点(2,)2

A π关于直线:cos 1l ρθ=的对称点到极点的距离是 ．

8．甲、乙、丙三位旅行者体验城市生活，从地铁某站上车，分别从前方10个地铁站中随机选择一个地铁站下车，则甲、乙、丙三人不在同一站下车有 种方法（用数字作答）．

9．执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P= ．

精锐教育网站：http:// - 2 - 精锐教育· 教学管理部

11．已知数列{}*()n a n N ∈，首项156

a =，若二次方程2110n n a x a x +--=的根α、β且满足331

ααββ++=，则数列{}n a 的前n 项和n S = ．

12．毕业生小王参加人才招聘会，分别向A 、B 两个公司投递个人简历.假定小王得到A 公司面试的概率 为

13

，得到B 公司面试的概率为p ，且两个公司是否让其面试是独立的。记ξ为小王得到面试的公司个数. 若0=ξ时的概率1(0)2P ξ==，则随机变量ξ的数学期望()E ξ= ．

13．手机产业的发展催生了网络新字“孖”.某学生准备在计算机上作出其对应的图像，其中(2,2)A ，如图所示.在作曲线段AB 时，该学生想把函数]2,0[,21∈=

x x y 的图像作适当变换，得到该段函数的曲线.请写出曲线段AB 在[23]x ∈，上对应的函数解析式 ．

14．在证明恒等式2222*1123(1)(21)(N )6

n n n n n ++++=++∈ 时，可利用组合数表示2n ，即221*12(N )n n n C C n +=-∈推得.类似地，在推导恒等式33332*(1)123[](N )2

n n n n +++++=∈ 时，也可以利用组合数表示3n 推得.则3n = ．

二、选择题（本大题满分20分） 15．已知非零向量a 、b ，“函数2()()f x ax b =+

为偶函数”是“a b ⊥ ”的（ ）

A ．充分非必要条件;

B ．必要非充分条件;

C ．充要条件;

D ．既非充分也非必要条件．

16．设1z 、2z 为复数，下列命题一定成立的是（ ）

A ．如果02221=+z z ，那么021==z z ;

B ．如果21z z =，那么21z z ±=

C ．如果a z ≤1，a 是正实数，那么a z a ≤≤-1;

中国领先的中小学教育品牌

精锐教育网站：http:// - 3 - 精锐教育· 教学管理部 D ．如果a z =1，a 是正实数，那么211a z z =⋅．

17．若双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和双曲线22

2222222

:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦点相同，且12a a >给出下列四个结论：

①22221221a a b b -=-； ②1221

a b a b >； ③双曲线1C 与双曲线2C 一定没有公共点；

④2121b b a a +>+；

其中所有正确的结论序号是（ ）

A ． ①②;

B ．①③;

C ．②③;

D ． ①④．

18．已知函数12,02()122,12

x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，且1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=，1,2,3,n = .则满足方程()n f x x =的根的个数为（ ）．

A ．2n 个;

B ．22n 个;

C ．2n 个;

D ．2(21)n -个

三、解答题

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

已知函数x x x x f 2

cos 2cos sin 2)(+=，

（1）求函数)(x f 的单调递增区间； （2）将函数)(x f y =图像向右平移4

π个单位后，得到函数)(x g y =的图像，求方程1)(=x g 的解．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，BC BA ⊥．

（1）若1BB BA =，求证：⊥1AB 平面BC A 1；

（2）若21===BB BC BA ，M 是棱BC 上的一动点.试确定点M 的位

置，使点M 到平面C B A 11的距离等于

22．

中国领先的中小学教育品牌

精锐教育网站：http:// - 4 - 精锐教育· 教学管理部 21．（本大题满分14分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满5分，第3小题满5分. 已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x ，左右焦点分别为21,F F ，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形，直线l 经过点2F ，倾斜角为︒45，与椭圆交于B A ,两点．

（1）若22|21=F F ｜，求椭圆方程；

（2）对（1）中椭圆，求1ABF ∆的面积；

（3）M 是椭圆上任意一点，若存在实数μλ,，使得μλ+=，试确定μλ,的关系式．

22．（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满6分.

记数列{}

n a 的前n 项和为n S ．已知向量c o s s i n ,133n n a ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （*N n ∈）和,c o s s i n 33n n n b a ππ⎛⎫=- ⎪⎝

⎭ （*N n ∈）满足//a b ． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）求3n S ； （3）设2n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项的和为n T ．

23．（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.

已知函数D x x f y ∈=),(，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有)()(x f m T x f ⋅>+成立，则称函数)(x f 是D 上的m 级类增周期函数，周期为T .若恒有)()(x f m T x f ⋅=+成立，则称函数)(x f 是D 上的m 级类周期函数，周期为T ．

（1）已知函数ax x x f +-=2

)(是[)∞+,3上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围； （2）已知 1=T ，)(x f y =是[)∞+,0上m 级类周期函数，且)(x f y =是[)∞+,0上的单调递增函数，当[)1,0∈x 时，x

x f 2)(=，求实数m 的取值范围； （3）下面两个问题可以任选一个问题作答，问题（Ⅰ）6分，问题（Ⅱ）8分，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分．

（Ⅰ）已知当[]4,0∈x 时，函数x x x f 4)(2

-=，若)(x f 是[)∞+,0上周期为4的m 级类周期函数，且)(x f y =的值域为一个闭区间，求实数m 的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数k ，使函数kx x f cos )(=是R 上的周期为T 的T 级类周期函数，若存在，求出实数k 和T 的值，若不存在，说明理由．

中国领先的中小学教育品牌 精锐教育网站：http:// - 5 - 精锐教育· 教学管理部 浦东新区2011学年度第二学期高考预测

高三数学（理科）评分标准

一、填空题

1． )0,1(

2． 1

1

i 22+

3． 3

4． 0或1

5．

1:6． 43

7．

8． 990

9． 3

10．

11． 1

1

1()2223n

n

+-⋅

12． 7

12

13．

1

222y x =-+.

14． 31321*

121666()n n n n n C C C C C n N ++++-+∈或

二、选择题（本大题满分20分）

15．C ；

16．D ；

17．B ；

18．C ．

三、解答题

19．

解：（1）1)42sin(2)(++=π

x x f ， 由)(224222Z k k x k ∈+≤+≤-π

ππ

π

π得：

中国领先的中小学教育品牌

精锐教育网站：http:// - 6 - 精锐教育· 教学管理部 )(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+-8,83ππππk k )(Z k ∈； 解：（2）由已知，142sin 2)(+⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=πx x g ， 由1)(=x g ，得042sin 2=⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-πx ， 8

2ππ+=

∴k x ，)(Z k ∈．

20． 证明：（1）当1BB BA =，可知，B A AB 11⊥ .

又 BA BC ⊥，1BB BC ⊥，

且B BB BA =⋂1，

∴⊥BC 平面1ABB .

而⊂1AB 平面1ABB ，

∴BC AB ⊥1.

∴由⎪⎩⎪⎨⎧=⋂⊥⊥B BC B A BC A B A A 1

111B B ⊥⇒1B A 平面BC A 1.

解：（2）如图所示，建立空间直角坐标系，

可得有关点的坐标为()2,0,0C 、()0,2,0B 1、()0,2,2A 1、并设()h ,0,0M .

设平面C B A １１的法向量为(),,n u v w = ，则11B A ,B ⊥⊥C １.

()2,2,0B 1-=C ，()0,0,2B A 11-=， 且0B A ,0B 111=⋅=⋅C ，

⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=-∴0

02022u v w u w v ，取1=v ， 得平面C B A １１的一个法向量为()1,1,0=n

2=， 又()h -=,2,0MB 1 ，于是点M 到平面C B A １１的距离

12

22222100=⇒=-=-⨯+⨯==h h

h

d ，或3=h （舍） 所以，当点M 为棱BC 的中点时，点M 到平面C B A 11的距离等于

2

2．

中国领先的中小学教育品牌

精锐教育网站：http:// - 7 - 精锐教育· 教学管理部 21．

解：（1）由已知，可得2=

c ，b a 3=， ∵222c b a +=，∴3=a ，1=b ， ∴13

22

=+y x . 解：（2）设),(11y x A ，),(22y x B

，直线:l y x =，

代入椭圆方程得2430x x -+=

，122x x +=，1234

x x =，

12||x x -=

1212||||y y x x -=-=，

∴1

2S ∆=⨯= 解：（3）由已知椭圆方程为22233x y b += ①，

右焦点F

的坐标为,0)，

直线AB

所在直线方程为y x = ②，

由①②

得：22430x b -+=，

设11(,)A x y ，22(,)B x y

，则12x x +=，2

1234b x x =

，

设(,)M x y ，由OM OA OB λμ=+ 得，

12x x x λμ=+，12y y y λμ=+，

∵点M 在椭圆上，

∴2

2

21212()3()3x x y y b λμλμ+++=，

整理得：222222

211221212(3)(3)2(3)3x y x y x x y y b λμλμ+++++=，

212121211233()(2)432()60x x y y x x b b b x x b +=+=++= ③， 又点,A B 在椭圆上，故2221133x y b += ④，222

2233x y b += ⑤，

由③④⑤式得221λμ+=．

22．

解（1）∵//a b

∴n a =cos sin 33n n ππ⎛⎫

+ ⎪⎝⎭cos sin 33n n π

π

⎛

⎫

- ⎪⎝⎭ =22cos sin 33n n π

π

- =2cos 3n π

中国领先的中小学教育品牌

精锐教育网站：http:// - 8 - 精锐教育· 教学管理部 ∴2cos

3

n n a π=； 解：（2）数列{}1111:,,1,,,1,2222n a ---- 为周期为3的周期数列且()323130N .k k k a a a k *--++=∈ 3123n n S a a a =+++

()()()12345632313n n n a a a a a a a a a --=+++++++++

1110.22n ⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭

解：（3）222cos .3

n n n n n b a π== 当()

3n k k N *=∈时， ∵ 32

313333231311222152.22k k k k k k k b b b -----⎛⎫⎛⎫++=-+-+⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∴ ()()()333335*********.77k k n n k T T -==+++=-=- 当()

31n k k N *=-∈时， ()312333133525252121.777

k n k k n k k k T T T b ++-++==-=--⋅=-=- 当()

32n k k N *=-∈时， 31323132313125125252.7277k k n k n k k k T T T b +-----+++⎛⎫==-=--⋅-=-=- ⎪⎝⎭

故()()()()()2521,

3,725,31,.725,32,

7n n n n n k T n k k N n k +*⎧-=⎪⎪+⎪=-=-∈⎨⎪⎪+-=-⎪⎩

23． 解：（1）由题意可知： )(2)1(x f x f >+，

即)(2)1()1(22ax x x a x +->+++-对一切[)∞+,3恒成立， ()1212

--<-x x a x ， ∵3x ≥ ∴1122---<x x x a ()1

212

---=x x ()121---=x x ， 令t x =-1，则[)∞+∈,2t ， t

t t g 2)(-=在[)∞+,2上单调递增，

中国领先的中小学教育品牌

精锐教育网站：http:// - 9 - 精锐教育· 教学管理部 ∴1)2()(min ==g t g ，

∴1<a .

解：（2）∵[)1,0∈x 时，x x f 2)(=，

∴当[)2,1∈x 时，12)1()(-⋅=-=x m x mf x f ，

当[)1,+∈n n x 时，)()2()1()(2n x f m x f m x mf x f n -==-=-= n x n m -⋅=2，

即[)1,+∈n n x 时，n x n m x f -⋅=2)(，*n N ∈，

∵)(x f 在[)∞+,0上单调递增，

∴0>m 且()1122

----⋅≥⋅n n n n n n m m ， 即2≥m .

解：（3）问题（Ⅰ）∵当[]4,0∈x 时，[]0,4-∈y ，且有)()4(x mf x f =+，

∴当[]4,44,x n n n Z ∈+∈时，

)4()4()(n x f m x mf x f n -==-= =()()[]

n x n x m n 4442---， 当10≤<m 时，[]0,4)(-∈x f ；

当01<<-m 时，[]m x f 4,4)(--∈；

当1-=m 时，[]4,4)(-∈x f ；

当1>m 时，(]0,)(∞-∈x f ；

当1-<m 时，()+∞∞-∈,)(x f ；

综上可知：01<≤-m 或10≤<m .

问题（Ⅱ）由已知，有)()(x Tf T x f =+对一切实数x 恒成立，

即kx T T x k cos )(cos =+对一切实数恒成立，

当0=k 时，1=T ；

当0≠k 时， ∵R x ∈，∴R kx ∈,R kT kx ∈+，于是[]1,1cos -∈kx ，

又∵[]1,1)cos(-∈+kT kx ，

故要使kx T T x k cos )(cos =+恒成立，只有1±=T ，

当1=T 时，kx k kx cos )cos(=+ 得到 πn k 2=，Z n ∈且0≠n ；

当1-=T 时，kx k kx cos )cos(-=- 得到 ππ+=-n k 2，

即π)12(+=n k ，Z n ∈；

综上可知：当1=T 时，πn k 2=，Z n ∈；

当1-=T 时，π)12(+=n k ，Z n ∈．