第四章 中值定理与导数的应用利用y=f(x)的导数(一阶导数、二阶导数)

来研究曲线y=f(x) 的性态(单调性；求函数的极值、最值；凹凸性，拐点，作函数图形) 理论基础——微分中值定理

§4. 1 中值定理 一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理及中值公式 三、柯西中值定理

一、罗尔定理观察与思考： 设连续光滑的曲线 y=f(x) 在端点 A、B 处的纵坐标 相等。y A C y=f ( x ) B

O a

x

b

x

提问：f (x)=?

罗尔定理： 如果函数y=f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且有f(a)=f(b),那么在(a, b)内至少在一点x , 使得f (x)=0。简要证明：(1)如果 f(x)=f(a) ,则 f (x) 0,定理的结 论显然成立的。 (2)如果有 x (a, b),使 f(x) f(a),不妨设 f(x) f(a), 则函数f(x)的最大值点 x 必在(a, b)内。于是 f ( x) f (x ) f (x)= f (x)= lim 0, x x x x f ( x) f (x ) f (x)= f (x)= lim 0, x x x x

因此必有f (x)=0。

罗尔定理： 如果函数y=f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且有f(a)=f(b),那么在(a, b)内至少在一点x , 使得f (x)=0。 应注意的问题： 如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论 就可能不成立。y A A B a O c b x f(x)不满足条件(2) y

BA

y

B

a O b x f(x)不满足条件(1)

a O b x f(x)不满足条件(3)

二、拉格朗日中值定理观察与思考： 设连续光滑的曲线y=f(x) 在端点A、B处的纵坐标不 相等。

提问： 直线AB的斜率k=?f (x)=?, f (h)=? f ( b ) f ( a ) =?

y

C1

y=f(x) C2

B

A O a x

答案：

f (b) f (a) k= , b a f (x)=f (h)= k, f(b) f(a)=f (x)(b a) 。

h

b

x

拉格朗日中值定理： 如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b) 内可导，那么在(a, b)内至少有一点x,使得 f(b) f(a)=f (x)(b a)。拉格朗日中值定理的几何意义：yC1

y=f(x)C2

B

A O a x

h

b

x

拉格朗日中值定理： 如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b) 内可导，那么在(a, b)内至少有一点x,使得 f(b) f(a)=f (x)(b a)。

f (b) f (a) 简要证明： 令 j(x)=f(x) f(a) (x a), b a 则函数j(x)在区间[a, b]上满足罗尔定理的条件， 于是至少存在一点x (a, b),使j (x)=0,即 f (b) f (a) j (x)=f (x) =0, b a 由此得 f(b) f(a)=f (x)(b a)。

拉格朗日中值定理： 如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b) 内可导，那么在(a, b)内至少有一点x,使得 f(b) f(a)=f (x)(b a)。拉格朗日中值公式： f(b) f(a)=f (x)(b a) , f(x Dx) f(x)=f (x qDx)Dx (0<q <1), Dy= f (x qDx)Dx (0<q <1)。

定理 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x) 在区间I上是一个

常数。 证明：在区间 I 上任取两点 x1 , x2(x1<x2) ,应用拉格 朗日中值定理，就得 f(x2) f(x1)=f (x)(x2 x1) (x1<x < x2)。 由假定，f (x)=0,所以f(x2) f(x1)=0,即 f(x2)=f(x1)。 因此 f(x)在区间I上是一个常数。

三、柯西中值定理函数f(x)及F(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b) 内可导，且F (x)在(a, b)内恒不为零，那么在(a, b)内至 少有一点x ,使等式f (b) f (a ) f (x ) = 。 F (b) F (a ) F (x )

§4.2 洛必达法则

一、未定式二、洛必达法则

“零比零”型未定式的定值法：“无穷比无穷”型未定式的定值法：

其它类型未定式的定值法：

一、未定式在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小量或 同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不存在， 0 这种极限称为未定式。这种类型的未定式记为 -或 -。 0 其它类型的未定式：0· 、 、00、1 、 0。 例如，下列极限都是未定式： x sin x ln x lim , lim n (n>0), 3 x 0 x x x lim xn ln x(n>0), lim (sec x tan x),x 0

x

1 lim x ,lim (1 x 0 x xx

2

1

lim (x a ) ),x

x

2

2 2 x

。

二、洛必达法则定理 如果函数f(x)与g(x)满足如下条件： (1)当x a时，函数极限都为零(或都为无穷大); (2)函数在点a的某去心邻域内都可导且g (x) 0; f ( x) (3) lim 存在(或为无穷大); x a g ( x) f ( x) f ( x) lim = lim 那么 。 x a g ( x) x a g ( x ) 说明： 在上述定理中，把x a换成x , 把条件(2)换成 (2)当|x|>N时f (x)及F (x)都存在且F (x) 0;

结论仍成立。

“零比零”型未定式的定值法：

sin ax 例 1.求lim (b 0)。 x 0 sin bx (sin ax) sin ax a cos ax a = lim = lim = 。 解： lim x 0 sin bx x 0 (sin bx) x 0 b cos bx bx 3 3x 2 例 2.求 lim 3 。 2 x 1 x x x 1 ( x 3 3x 2) x 3 3x 2 = lim 3 解： lim 3 2 x 1 x x x 1 x 1 ( x x 2 x 1) 3x 2 3 6x 3 = lim 2 = lim = 。 x 1 3 x 2 x 1 x 1 6 x 2 2

“零比零”型未定式的定值法：

x sin x 例 3.求 lim 。 3 x 0 x sin x 1 x sin x 1 cos x = lim = = lim 解： lim 。 3 2 x 0 6 x x 0 x 0 6 x 3x arctan x 例 4.求 lim 2 。 x 1 x 1 1 1 arctan arctan arctanx xx 2 22 2 22 x x x 1 1 x xx = 2 2 = = = lim lim lim 1 lim lim 2 = = lim lim lim = = = 1 1 1。 解： 解： 解：lim 。 。 2 2 2 x x x x x x x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x xx 2 x xx x xx22