高数导数与微分复习

高数导数与微分的复习题

第三章

习题课 导数与微分

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用导数定义求导(可导充要条件 可导充要条件) 一、用导数定义求导 可导充要条件 二、用求导法则求导 三、高阶导数求法 四、函数的微分

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一、用导数定义求导1.导数定义的等价形式 导数定义的等价形式点导数 f ′( x0 )f ( x0 + x) f ( x0 ) f ′( x0 ) = lim x→0 x

导函数 f ′(x)f ( x + x) f ( x) f ′( x) = lim x→0 xf ( x + h) f ( x) = lim h→0 h

= limh→0

f ( x0 + h) f ( x0 ) h

f ( x) f ( x0 ) = lim x→x0 x x0= lim y x→x0 x

f (t ) f ( x) = lim t →x t x

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【例1】设 f ( x) = x( x 1) x 100),求 f ′(1)和f ′(0). 】 ( 【解Ⅰ】—用导数定义 用导数定义f ( x) f (1) f ′(1) = lim ( = lim x( x 2) x 100) = 99! x→ 1 x→ 1 x 1

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【解Ⅱ】—用求导法则 用求导法则

先求导函数

f ′( x ) = [ x ( x 1) ( x 100)]′ = ( x 1)′[ x ( x 2) ( x 100)] + ( x 1)[ x ( x 2) ( x 100)]′ = x ( x 2) ( x 100) + ( x 1)[ x ( x 2) ( x 100)]′

故

f ′(1) = 1 ( 1)( 2) ( 99) = 99!

自己练习) 同理可求 f′ (0)(自己练习 自己练习上页 下页 返回 结束

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【例2】已知可导函数 (x)表示的曲线在 】已知可导函数f 表示的曲线在

f 2( x) 1 处的切线的斜率为1/2 ,求 lim 点(0,1) 处的切线的斜率为 x→0 x 分析】 【分析】 切线斜率 点导数 极限 导数定义f 2( x) 1 f ( x) 1 lim [ f ( x ) + 1] = lim 【解】 x → 0 x →0 x x f ( x ) f ( 0) [ f ( x ) + 1] = lim x →0 x 0= f ′(0) [ f ( 0) + 1]

1 = (1 + 1) = 1 2上页 下页 返回 结束

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二、用求导法则求导1.四则运算的求导法则 16组求导公式 四则运算的求导法则 组求导公式 2.反函数的求导法则 反函数的求导法则 3.复合函数的求导法则 复合函数的求导法则 4.隐函数求导法则 隐函数求导法则 5. 对数求导法(注意适用类型) 对数求导法(注意适用类型) 6.参数方程确定的函数求导法 参数方程确定的函数求导法 复习】 【复习】幂指函数的导数求法 方法Ⅰ 方法Ⅰ:化为 y = ev( x)ln u( x) 方法Ⅱ 对数求导法 方法Ⅱ:对数求导法.

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y = u( x)v( x) = ev( x)lnu( x)

y = u( x)v( x)复合函数链 式法则上页 下页 返回 结束

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【例7】求导数： = ln(ex + 1 + e2x ) 】求导数： y分析】 【分析】复合函数链式法则

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【解】 令y = f (u), u = ex + 1 + e2x , 1 ′ x (ex + 1 + e2 x )′ 则 y′ = yu u′ = x e + 1 + e2 x 1 2e2x = x (ex + ) = 2x 2x 2x e + 1+ e 2 1+ e关键】搞清每一部分的复合结构——用相应的导数公式 【关键】搞清每一部分的复合结构 用相应的导数公式

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束

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y 【例9】 设函数 = f ( x)由方程 y = x( x > 0, y > 0) 】x y

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d y , 所确定 求 2 . dx 分析】隐函数求导(幂指函数 幂指函数)——对数求导法 【分析】隐函数求导 幂指函数 对数求导法

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1 1 【解】 两边取对数 ln y = ln x , 即 y ln y = x ln x , x y ln x + 1 1 , ∴ y′ ln y + y y′ = ln x + 1, 即 y′ = ln y + 1 y 1 1 (ln y + 1) (ln x + 1) y′ x y ′′ = y (ln y + 1)2 2 2 y(ln y + 1) x (ln x + 1) = xy(ln y + 1) 3上页 下页 返回 结束

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【例10】 设y = x (sin x) 】

cos x

,求 y′.

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分析】含有幂指函数——对数求导法 【分析】含有幂指函数 对数求导法 【解】 等式两边取对数有

ln y = ln[ x (sin x )cos x ] = ln x + cos x ln sin x两边对 x取导数 有

y′ 1 1 = sin x ln sin x + cos x cos x y x sin x 2 cos x cos x 1 ) 即 y′ = x(sin x ) ( sin x ln sin x + x sin x上页 下页 返回 结束

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9/21 x = f ′(t ) 【例11】设 】 存在且不为零， , f ′′(t ) 存在且不为零， y = t f ′(t ) f (t )

dy d 2 y 求 ; 2 dx dx 分析】参数方程的求导， 【分析】参数方程的求导，特别注意高阶导数每次都要用参数方程求导公式. 要用参数方程求导公式. 参数方程求导公式 dy yt′ f ′( t ) + t f ′′( t ) f ′( t ) t f ′′( t ) = = = =t 【解】 f ′′( t ) dx xt′ f ′′( t )

d 2 y d dy 1 d 1 d dy dt ( ) = ( ) = 1 = (t ) 2 = dx dx dx dt dx dx dt dx f ′′( t ) dt 1 高阶导数 = ′′ ( y′ )′t f (t )上页 下页 返回 结束

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三、高阶导数求法直接法； 归纳法； 四则运算法； 间接法； ①直接法；②归纳法；③四则运算法；④间接法； 阶导数公式】 【常用 n 阶导数公式】

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(1) (a x )( n ) = a x ln n a (a > 0)

= k sin( kx + n ) 2 π ( n) n ( 3) (cos kx ) = k cos( kx + n ) 2 (4) ( xα )( n ) = α (α 1) (α n + 1) xα n ( 2) (sin kx )(n) n

π

(1′) (ex )(n) = ex

( n 1)! (5) (ln x ) = ( 1) xn 1 ( n) n n! (6) ( ) = ( 1) n+1 x x( n) n 1上页 下页 返回 结束

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4x2 1 (n) ,求 y . 【例12】 设y = 2 】 x 1分析】 阶导数——间接法 间接法. 【分析】n 阶导数 间接法

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【解】

4x2 1 4x2 4 + 3 3 1 1 y= 2 = ) = 4+ ( 2 x 1 x 1 2 x 1 x + 1n