数值计算方法上机实验报告

上 华北电力大学

机 实 验 报

课程名称：数值计算方法 专业班级： 学生姓名： 学 号： 指导教师：

告

数值计算方法上机实验报告

一、列主元素消去法求解线性方程组 1.程序框图 2.算法原理

为避免绝对值很小的元素作为主元，在每次消元之前增加一个选主元的过程，将绝对值大的元素交换到主对角线的位置。列主元素消元法是当变换到第k步时，从k列的akk及以下的各元素中选取绝对值最大的元素，然后通过二交换将其交换到akk的位置上。

3.输入输出变量

aij

为系数矩阵的各个系数

k表示到第k步消元 4.具体算例

输入增广矩阵为： 3

二、LU分解法求解线性方程组1 2 -3 8 2 1 3 22 3 2 1 28

解得：x1=6，x2=4，x3=2；

1.算法原理

应用高斯消去法解n阶线性方程Ax b经过n 1步消去后得出一个等价的上三角形方程组A(n)x b(n)，对上三角形方程组用逐步回代就可以求出解来。

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这个过程也可通过矩阵分解来实现。

将非奇异阵分解成一个下三角阵L和上三角阵U的乘积

A LU

称为对矩阵A的三角分解，又称LU分解。

Ly b

根据LU分解,将Ax b分解为 形式,简化了求解问题。

Ux y 2.程序框图 3.输入输出变量

aij为系数矩阵元素

bi为常数矩阵系数

lij,ui分别为下、上三角矩阵元素 j

k表示第k步消元 4.具体算例

输入增广矩阵 3 2 3 4 39 3 -2 2 14 4 2 3 43 解得： 6 5 3

三、拉格朗日插值

1.算法原理

设函数y f(x)在区间[a,b]上有节点

x0,x1,,,xn上的函数值，构造一个次数不超过n次

nn 1

1,n,p(x) ax ax a1x a0,使 P xi yi,i 0, nn 1的代数多项式。即n

次代数插值满足在n+1个节点上插值多项式P(x)和被插值函数f(x)相等，而且插值多项式P(x)的次数不超过n次。

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要求n阶插值多项式 ，可以通过求方程组的解 得到。但由于解线性代数方程组的计算量比较大，构造插值多项式时，仍用基函数构造。

希望能找到满足以下条件的n 次多项式 l i(x)

0,

li(xj)

1,

j ij i

(j 0,1, ,n)

然后令

P(x) li(x)yi

i 0

n

，则显然有P (xi) = yi 。

除xi 点外, 其余xj 都是li(x) 的根，可设

x li(x) A(

x )( x (xx) (xn x)i1x) i1

其中A为常数, 由li (xi)=1可得

A

li(x)

1

(xi x (xxx0)i i1)( i

i1

x )

(xi

n) x

(x x0) x( xi 1)x( xi 1 )x (xn)

(xi x0) (xi xi 1)(xi xi )1 (xi xn)

n

j 0j i

(x xj)(xi xj)

(i 0,1, ,n)

上式为拉格朗日基函数。

利用拉格朗日基函数式l i(x), 构造多

项式

P(x) li(x)yi

i 0

n

为拉格朗日插值多项式。

2.程序框图 3.输入输出变量 (xi,yi)为插值节点

t为累乘所得的基函数 y为函数的近似值 4.具体算例

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构造插值多项式，求f（0.49）和f（0.51）。 输出：f（0.49）=18.3687 f（0.51）=15.6188 。

四、最小二乘法的曲线拟合 1.算法原理

记向量的某种范数

e 0, 1, , n

T

，要求残差 i按某种度量标准为最小，即要求向量e

e

e

最小。例如，可要求e的1-范数

或 范数

e

最小。但为了

便于微分计算，通常用2-范数：

N

2

e2 i2 F xi f xi

i 0

i 0

2

N

为最小，这种要求误差平方和最小的拟合成为曲线拟合的最小二乘法。 2.程序框图 3.输入输出变量

(xi,yi)为插值节点，且共有n+1个插值节点

a0,a1,a2为为拟合的二次多项式的系数 计算

a0N a1 xi am xim yi

a0 xi a1 xi2 am xim 1 xiyi

a0 xim a1 xim 1 am xi2m ximyi

a0,a1,a2即解

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输出结果： a0=0.0785714 a1=0.625453 a2=-0.0026505 Y（5）=3

五、改进欧拉方法求解常微分方程的初值问题 1.算法原理

改进欧拉公式

(0) yn

1 yn hf(xn,yn)

h(0)

f(xn,yn) f(xn 1,yn 1) yn 1 yn 2

先用显式欧拉公式作预报算出yn 1，再将它带入隐式欧拉公式的右边算出yn 1，

这样得到改进欧拉公式。

可表示为嵌套格式：

h

yi 1 yi f(xi,yi) f xi 1,yi hf(xi,yi) 2平均化形式

(i 0,...,n 1)

yp=yn+hf(xn,yn)

yc=yn+hf(xn

1,yp)

yn 1=1(yp+yc) 2

2.程序框图 3.输入输出变量

x0为x的初值，y0为y的初值， h为步长，N为计算次数。

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y'=(3*x*x 4*y*y) Y(0)=5 0≤x≤10 h=0.1 N=100

解得0.1 5.52318 0.2 6.09783 0.3 6.73002 0.4 7.42636 0.5 8.19407 0.6 9.04107 0.7 9.97603 0.8 11.0085 0.9 12.149 1 13.409 1.1 14.8012 1.2 16.3398 1.3 18.0402 1.4 19.9194 1.5 21.9964 1.6 24.2919 1.7 26.8289 1.8 29.6329 1.9 32.7318 2 36.1567 2.1 39.9418 2.2 44.1249 2.3 48.7478 2.4 53.8566

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2.5 59.5024 2.6 65.7416 2.7 72.6364 2.8 80.2556 2.9 88.6753 3 97.9795 3.1 108.261 3.2 119.623 3.3 132.178 3.4 146.051 3.5 161.382 3.6 178.323 3.7 197.042 3.8 217.728 3.9 240.586 4 265.844 4.1 293.755 4.2 324.596 4.3 358.676 4.4 396.334 4.5 4 …… 此处隐藏：3545字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……