——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学第二章参数方程二第一课时椭圆

的参数方程优化练习

______年______月______日

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[课时作业]

[A组基础巩固]

1．椭圆(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对

应的θ＝( )

A．π B.π

2

C．2π D.π

解析：∵点(－a,0)中x＝－a，∴－a＝acos θ，∴cos θ＝－1，∴θ＝π.

答案：A

2．椭圆(θ为参数)的离心率为( )

A. B.3

5

C. D.9

25

解析：椭圆方程为＋＝1，可知a＝5，b＝4，∴c＝＝3，∴e＝＝.

答案：B

3．椭圆(φ为参数)的焦点坐标为( )

A．(0,0)，(0，－8) B．(0,0)，(－8,0)

C．(0,0)，(0,8) D．(0,0)，(8,0)

解析：椭圆中心(4,0)，a＝5，b＝3，c＝4，故焦点坐标为

(0,0)(8,0)，应选D.

答案：D

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4．已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t ＝，点O为原点，则直线OM的倾斜角α为( )

A. B.π

6

C. D.5π

6

解析：M点的坐标为(2,2)，tan α＝，α＝.

答案：A

5．若P(x，y)是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点，则x＋y的最

大值为( )

A．2 B．4

C.＋D．2 2

解析：椭圆为＋＝1，设P(cos θ，2sin θ)，x＋y＝cos θ＋

sin θ＝2sin≤2.

答案：D

6．椭圆(θ为参数)的焦距为________．

解析：∵a＝5，b＝2，c＝＝，∴2c＝2 .

∴焦距为2.

答案：221

7．实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则2x＋y的最大值是________．解析：因为实数x，y满足3x2＋4y2＝12，

所以设x＝2cos α，y＝sin α，则

2x＋y＝4cos α＋3sin α＝5sin(α＋φ)，

其中sin φ＝，cos φ＝.

当sin(α＋φ)＝1时，2x＋y有最大值为5.

3 / 7

4 / 7 答案：5

8．已知椭圆的参数方程为(φ为参数)，点M 在椭圆上，对应的参数φ＝，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．

解析：当φ＝时，⎩⎪⎨⎪⎧ x＝2cos π3＝1，y＝4sin π3＝23，

故点M 的坐标为(1,2)．

所以直线OM 的斜率为2.

答案：2 3

9．椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和是6，焦距是2，求椭圆的参数方程．

解析：由题意，设椭圆的方程为＋＝1，

则a ＝3，c ＝，∴b＝2，

∴椭圆的普通方程为＋＝1，化为参数方程得(φ为参数)．

10．如图，由椭圆＋＝1上的点M 向x 轴作垂线，交

x 轴于点N ，设P 是MN 的中点，求点P 的轨迹方程．

解析：椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)，

∴设M(2cos θ，3sin θ)，P(x ，y)，则N(2cos θ，0)．

∴⎩⎪⎨⎪⎧ x＝2cos θ＋2cos θ2＝2cos θ，y＝3sin θ2，

消去θ，得＋＝1，即为点P 的轨迹方程．

[B 组 能力提升]

5 / 7 1．两条曲线的参数方程分别是(θ为参数)和(t 为参数)，则其交点个数为( )

A ．0

B ．1

C ．0或1

D ．2 解析：由⎩⎨⎧ x＝cos2θ－1，y＝2＋sin2θ，

得x ＋y －1＝0(－1≤x≤0,1≤y≤2)，

由得＋＝1.

如图所示，可知两曲线交点有1个．

答案：B

2．直线＋＝1与椭圆＋＝1相交于A ，B 两点，该椭圆上点P 使得△PAB 的面积等于4，这样的点P 共有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

解析：如图，|AB|＝5，

12|AB|·h＝4，h ＝. 设点P 的坐标为(4cos φ，3sin φ)，代入

3x ＋4y －12＝0中，

φ＋cos φ

5

＝，

⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4－1＝， 当sin －1＝时，sin ＝＞1，此时无解；

当sin －1＝－时，sin ＝，此时有2解．∴应选B.

6 /

7 答案：B

3．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C1：(t 为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.

解析：曲线C1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C2的普通方程为＋＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为，故曲线＋＝1也经过这个点，代入解得a ＝(舍去－)．

答案：32

4．已知椭圆的参数方程为(t 为参数)，点M 、N 在椭圆上，对应参数分别为，，则直线MN 的斜率为________．

解析：当t ＝时，⎩⎪⎨⎪⎧ x＝2cos π3＝1，

y＝4sin π3＝23，

即M(1,2)，同理N(，2)．

kMN ＝＝－2.

答案：－2

5．已知直线l ：x －y ＋9＝0和椭圆C ：(θ为参数)．

(1)求椭圆C 的两焦点F1，F2的坐标；

(2)求以F1，F2为焦点且与直线l 有公共点M 的椭圆中长轴最短的椭圆的方程．

解析：(1)由椭圆的参数方程消去参数θ得椭圆的普通方程为＋＝1，

所以a2＝12，b2＝3，c2＝a2－b2＝9.

所以c ＝3.

故F1(－3,0)，F2(3,0)．

(2)因为2a＝|MF1|＋|MF2|，

所以只需在直线l：x－y＋9＝0上找到点M使得|MF1|＋|MF2|最

小即可．

点F1(－3,0)关于直线l的对称点是F1′ (－9,6)，所以M为

F2F1′与直线l的交点，则

|MF1|＋|MF2|＝|MF1′|＋|MF2|＝|F1′F2|

＝＝6，故a＝3.

又c＝3，b2＝a2－c2＝36.

此时椭圆方程为＋＝1.

6.如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)和定点A(0，

b)，B(0，－b)，C是椭圆上的动点，求△ABC的

垂心H的轨迹．

解析：由椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)知，椭圆的参数方程为(φ为

参数)，

所以椭圆上的动点C的坐标设为(acos φ，bsin φ)，

所以直线AC的斜率为kAC＝，A C边上的垂线的方程为y＋b＝－x，①

直线BC的斜率为kBC＝，BC边上的垂线的方程为y－b＝－x，

②

由方程①②相乘消去φ可得y2－b2＝x2，即x2＋y2＝b2，又点C

不能与A、B重合，所以y≠±b，

故H点的轨迹方程为x2＋y2＝b2，去掉点(0，b)和点(0，－b)．

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