第六节 数的开方与二次根式

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1. (2018·辽宁抚顺中考)二次根式1－x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( )

A 、x≥1

B 、x≤1

C 、x ＞1

D 、x ＜1

2、(2018·浙江杭州中考)下列计算正确的是( ) A.22＝2 B.22＝±2 C.42＝2 D.42＝±2

3、(2018·云南曲靖中考)下列二次根式中能与23合并的是( ) A.8 B.13 C.18 D.9

4、(2018·江苏泰州中考)下列运算正确的是( )

A.2＋3＝ 5

B.18＝2 3

C.2·3＝ 5

D.2÷12

＝2 5、(2018·重庆中考A 卷)估计(230－24)·

16的值应在( ) A 、1和2之间 B 、2和3之间

C 、3和4之间

D 、4和5之间

6、式子x －2x －3

有意义的条件是__________________、

7、(2018·山东潍坊中考)用教材中的计算器进行计算，开机后依次按下

，把显示结果输入右侧的程序中，则输出的结果是______.

8、(2018·广东广州中考)如图，数轴上点A 表示的数为a ，化简：a ＋a 2－4a ＋4＝______、

9、(2017·四川德阳中考)计算：(25－2)0＋|2－5|＋(－1)2 017－13×45. 10、(2018·浙江台州模拟)已知x ＝2－1，求x 2＋3x －1的值、

11、已知y ＝2x －5＋5－2x －3，则2xy 的值为( )

A 、－15

B 、15

C 、－152

D .152

12、如果一个三角形的三边长分别为1，k ，4，那么化简|2k －5|－k 2－12k ＋36的结果是( )

A 、3k －11

B 、k ＋1

C 、1

D 、11－3k

13、已知a ，b 分别是6－13的整数部分和小数部分，那么2a －b 的值是

( )

A 、3－13

B 、4－13 C.13 D 、2＋13

14、若关于x 的方程－2x ＋m 2 017－x ＋4 020＝0存在整数解，则正整数m 的所有取值的和为________.

15、已知|a －2 017|＋a －2 018＝a ，则a －2 0172的值是______________、

16、已知a ＝1－3，b ＝1＋3，求2a 2＋2b 2－3ab －a ＋b 的值、

17、请在方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，且三边长分别为2，25，412

. (1)求△ABC 的面积；

(2)求出最长边上的高、

18、(2019·创新题)小明在学习《二次根式》后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋22＝(1＋2)2.善于思考的小明进行了以下探索：

设a ＋b 2＝(m ＋n 2)2(其中a ，b ，m ，n 均为整数)，则有a ＋b 2＝m 2＋2n 2＋2mn 2.

∴a＝m 2＋2n 2，b ＝2mn.这样小明就找到了一种把类似a ＋2b 的式子化为平方式的方法、

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)当a ，b ，m ，n 均为正整数时，若a ＋b 3＝(m ＋n 3)2，用含m ，n 的式子分别表示a ，b ，得a ＝________，b ＝________；

(2)利用所探索的结论，找一组正整数a ，b ，m ，n 填空：

________＋________3＝(________＋________3)2；

(3)若a ＋43＝(m ＋n 3)2，且a ，m ，n 均为正整数，求a 的值、

19、阅读下列材料，回答有关问题：

在实数这章中，遇到过2，3，9，12，a 这样的式子，我们把这样的式

子叫做二次根式，根号下的数叫做被开方数、如果一个二次根式的被开方数中

有的因数能开得尽方，可以利用a·b＝a·b(a≥0，b≥0)；a

b

＝

a

b

(a≥0，b>0)将这些因数开出来，从而将二次根式化简、当一个二次根式的被开方数中不含开得尽方的因数或者被开方数中不含有分母时，这样的二次根式

叫做最简二次根式，例如，1

3

化成最简二次根式是

3

3

，27化成最简二次根式

是33，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二

次根式叫做同类二次根式，如上面的例子中的1

3

和27就是同类二次根式、

(1)请判断下列各式中，哪些是同类二次根式？

2，75，18，1

50

，

1

27

， 3.

(2)二次根式中的同类二次根式可以像整式中的同类项一样合并，请计算：

2＋75－18－1

50

＋

1

27

－ 3.

20、在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如5

3

，

2

3

，

2

3＋1

一样的式

子，其实我们还可以将其进一步化简：5

3

＝

5×3

3×3

＝

5

3

3，

2

3

＝

2×3

3×3

＝

6 3，

2

3＋1

＝

2×（3－1）

（3＋1）

＝

2（3－1）

（3）2－12

＝3－1，

2

3＋1

还可以用以下方法

化简：

2

3＋1

＝

3－1

3＋1

＝

（3）2－12

3＋1

＝

（3＋1）（3－1）

3＋1

＝3－1.

以上这种化简的方法叫做分母有理化、

(1)请化简25＋3＝________； (2)若a 是2的小数部分则3a

＝________； (3)矩形的面积为35＋1，一边长为5－2，则它的周长为________；

(4)化简21＋5＋25＋9＋29＋13＋…＋24n －3＋4n ＋1

.

参考答案

【基础训练】

1、B 2.A 3.B 4.D 5.B

6、x≥2且x≠3 7.7 8.2 9、解：原式＝1＋5－2－1－5＝－2.

10、解：∵x＝2－1，∴x＋1＝2，

∴(x＋1)2＝(2)2＝2，

即x 2＋2x ＋1＝2，

∴x 2＋2x ＝1，

∴x 2＋3x －1＝x 2＋2x ＋x －1＝1＋x －1＝2－1.

【拔高训练】

11、A 12.A 13.C 14.15 15.2 018 16、解：∵a＝1－3，b ＝1＋3，

∴a－b ＝(1－3)－(1＋3)＝－23，

ab ＝(1－3)(1＋3)＝－2，

∴2a 2＋2b 2－3ab －a ＋b ＝2(a －b)2－(a －b)＋ab ＝2(－23)2－(－23)＋(－2)

＝22＋2 3.

17、解：画图如图所示、

(1)S △ABC ＝2.

(2)最长边上的高为25 5. 18、解：(1)∵a＋b 3＝(m ＋n 3)2，

∴a＋b 3＝m 2＋3n 2＋2mn 3，

∴a＝m 2＋3n 2，b ＝2mn.

(2)答案不唯一，如：设m ＝1，n ＝1，

∴a＝m 2＋3n 2＝4，b ＝2mn ＝2.

(3)由题意，得：

a ＝m 2＋3n 2，

b ＝2mn

∵4＝2mn ，且m ，n 为正整数，

∴m＝2，n ＝1或m ＝1，n ＝2，

∴a＝22＋3×12＝7或a ＝12＋3×22＝13.

19、解：(1)75＝53，18＝32，

150＝210，127＝39， ∴2，18，150是同类二次根式；75，127

，3是同类二次根式、 (2)原式＝2＋53－32－210＋39－3＝－21210＋3739

. 【培优训练】

20、解：(1)5－ 3

(2)32＋3

(3)30＋16 5

(4)原式＝2（5－1）5－1＋2（9－5）9－5

＋ 2（13－9）13－9

＋…＋ 2（4n ＋1－4n －3）（4n ＋1）－（4n －3）

＝5－1＋9－5＋13－9＋…＋4n ＋1－4n －32

＝4n ＋1－12

.