2012年辽宁锦州中考数学

一．选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号填入下面的

表格中，每小题3分，共24分） 1．（2012辽宁锦州，1，3分） 3的倒数是（ ）

A．3 B． C．－3 D．－

【答案】B 2．（2012辽宁锦州，2，3分）下列各图，不是轴对称图形的是（ ）

1

3

13

【答案】A 3．（2012辽宁锦州，3，3分）下列运算正确的是（ ） A．a2+a5=a7 B．（－ab）3=－ab3 C．a8÷a2=a4 D．2a2·a=2a3 【答案】D 4．（2012

）

A．168cm,169cm B． 168cm,168cm C．172cm,169cm D．169cm,169cm 【答案】A 5．（2012辽宁锦州，5，3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AB+BC=8,将△ABC折叠，使得点A落在点B处，折痕DE分别与AB,BC交于点D,F，连接BF,则△BCF的周长是（ ）

A.8 B. 16 C.4 D.10 【答案】A 6．（2012辽宁锦州，6，3分）下列说法正确的是（ ） A．同位角相等 B．梯形对角线相等

C．等腰三角形两腰上的高相等

D．对角线相等且垂直的四边形是正方形 【答案】C

7．（2012辽宁锦州，7，3分）如图，反比例函数y 在同一直角坐标系内的图象可能是（ ）

k

k 0 与一次函数y=kx+b（k≠0）x

【答案】D 8．（2012辽宁锦州，8，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，把△ABC绕点A按顺时针旋转60°后得到△AB′C′，若AB=1，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）

A． B.

235

C. 2 D. 4 3

【答案】C

二．填空题（每小题3分，共24分） 9．（2012辽宁锦州，9，3分）计算：

1

【答案】

2

2 1 2 1 27 6sin60 =_____________.

10．（2012辽宁锦州，10，3分）函数y

1x 1

中，自变量x的取值范围是_____________.

【答案】x>1 11．（2012辽宁锦州，11，3分）万里长城和京杭大运河都是我国古代文明的伟大成就，其中纵贯南北的京杭大运河修建时长度大约是1 790 000米，是非常杰出的水利工程，将数据1 790 000米用科学记数法表示为_____________米. 【答案】1.79×109

1

1 x 0

12．（2012辽宁锦州，12，3分）不等式组 的解集是_____________. 2

3x 2 1

【答案】－1<x≤2

13．（2012辽宁锦州，13，3分）已知三角形的两条边长分别是7和3，第三边长为整数，则这个三角形的周长是偶数的概率是_____________.

25

【答案】

14．（2012辽宁锦州，14，3分）某品牌自行车进价是每辆800元，标价是每辆1200元，店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润不低于5%，则最多可打_______折。 【答案】7 15．（2012辽宁锦州，15，3分）如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3，DB=10，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，则线段EF的长度是

_____________.

【答案】6 16．（2012辽宁锦州，16，3分）如图正方形A1B1B2C1，A2B2B3C2，A3B3B4C3，…AnBnBn+1Cn，按如图所示放置，使点A1，A2，A3，…An在射线OA上，点B1，B2，B3，…Bn在射线OB上，若∠AOB=45°，OB1=1，图中阴影部分三角形面积由小到大依次记作S1，S2，S3，…Sn，则Sn

=_____________.

【答案】22n3（写成

－

4

n 1

2

或

2

2n 2

2

，符合题意的答案即可）

三．解答题（每小题8分，共16分） 17．（2012辽宁锦州，17，8分）先化简，再求值：

1x 2x 2

,其中x 3. 22

x xx 2x 1x 1

1x 2x 1

.【答案】解：原式=2………………………………2分 2

x 1x 1x 211=………………………………3分

xx 1x 11 x=………………………………5分 xx 11

= ………………………………6分

x

当x=时，原式=

1=

3

.………………………………8分 3

18．（2012辽宁锦州，18，8分）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都要在小正方形的顶点上。 （1）画出位似中心点O；

（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；

（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出

△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标。

【答案】（1）图中点O 为所求（可以不写出结论，在图中画出点O的正确位置即可）2分 （2）出△ABC与△A′B′C′的位似比等于2：1 ………………………………3分 （3）△A″B″C″为所求（可以不写结论，在图中画出△A″B″C″即可）………5分

A″（6，0），B″（3，－2），C″（4，－4）. ………………………………8分

四．解答题（每小题10分，共20分） 19．（2012辽宁锦州，19，10分）随着人们生活水平的提高，城市家庭私家车的拥有量越来越多，私家车给人们的生活带来很多方便面，同时也给城市的道路交通带来了很大压力，特别是节假日期间交通拥堵现象非常严重，为了缓解交通堵塞，尽量保持道路通畅，某市有关部门号召市民在节假日期间选择公共交通工具出行。为了了解市民的意见和态度，有关部门随机抽取了若干市民进行了调查，经过统计，整理，制作统计图如下，请回答下列问题：

（1）这次抽查的市民 的总人数是多少？

（2）分别求出持“赞成”态度，“无所谓”态度的市民人数以及持“无所谓”态度的人数占总人

数的百分比，并补全条形统计图和扇形统计图；

（3）若该市有18万人，请估计对这一问题持“赞成”态度的人数是多少？

【答案】解：150÷30%=500（人）

答：这次抽查的市民总人数是500人。………………………………2分 （2）持“赞成”态度的人数有：500×25%=125人………………………………3分 持“无所谓”态度的市民人数500－150－125=225人 持“无所谓”态度的人数占总人数的百分比225÷500=45%.………………………………5分 统计图补充如图所示：………………………………6分

（3）180 000×25%=15000（人）

答：估计对这一问题持“赞成”态度的人数是15000人.………………………………10分 20．（2012辽宁锦州，20，10分）某部队要进行一次急行军训练，路程为32km,出发一小时后，由特种兵组成的突击队才出发，结果比大部队提前20分钟到达目的地，已知突击小队的先进速度是大部队的1.5倍，求大部队的先进速度。（列方程解应用题）

【答案】解：设大部队前进的速度是x千米/小时，根据题意，得………………………4分 1小时20分钟=

4

小时 3

32324 ………………………5分 x1.5x3

解得x=8, ………………………8分

经检验，x=8是所列方程的解。………………………9分

答：大部队的前进的速度是8千米/小时. ………………………10分

五．解答题（每小题10分，共20分） 21．（2012辽宁锦州，21，10分）如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成五个扇形，五个扇形内部分分别标有数字1、2、3、4、5.若将转盘转动两次，每一次停止转动后，指针指向的扇形内的数字分别记为m,n.（当指针指在边界线时视为无效，重转）。从而确定一个点的坐标为A（m,n）.请用列表或者画树形图的方法求出所有可能得到的点A的

坐标，并求出点A在第一象限内的概率。

【答案】解法一：由题意可列表得

………………7分

由表可知所有可能得到的点A的坐标有25种，且每种结果的发生的可能性相同，其中在第一象限内的结果有9种。………………8分 所以P（点A在第一象限）=

9

.………………10分 25

解法二：根据题意画树状图如下：

………………7分

由树状图可知所有可能得到的点A的坐标有25种，且每种结果的发生的可能性相同，其中在第一象限内的结果有9种………………8分 所以P（点A在第一象限）=

9

.………………10分 25

22．（2012辽宁锦州，22，10分）如图，大楼AB高16米，远处有一塔CD，某人在楼底B处测得塔顶的仰角为38.5°，爬到楼顶测得塔顶的仰角为22°，求塔高CD及大楼与塔之间的距离BD的长。（参考数据：sin22°≈0.37, cos22°≈0.93, tg22°≈0.40, sin38.5°≈0.62, cos38.5°≈0.78, tg38.5°≈0.80）

【答案】解：过点A作AE⊥CD于点E，由题意可知：∠CAE=22°，∠CBD=38.5°，ED=AB=16米，设大楼与塔之间的距离BD的长为x米，则AE=BD=x（不设未知数也可

以）………………………1分

CD

∵在Rt△BCD中，tan∠CBD=,

BD

∴CD=BD tan∠CBD=0.8x, ………………………3分 ∵在Rt△AE中，tan∠CAE=

CE

, AE

∴CE=AEtan∠CBD=0.4x,（此处用“=”不扣分）………………………5分 ∵CD－CE=DE，

∴0.8x－0.4x=16, ………………………7分 x=40. ………………………8分 即BD=40米。 CD=0.8×40=32米。………………………9分

答：塔高CD是32米，大楼与塔之间的距离BD的长为40米。………………………10分

六．解答题（每小题10分，共20分） 23．（2012辽宁锦州，23，10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作直线DE垂直BC于F，且交BA的延长线于点E。 （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若cos∠BAC=

1

，⊙O的半径为6，求线段CD的长。

3

【答案】方法一：（1）证明：连接BD，OD，

∵AB为⊙O的直径 ∴∠ADB=90°则BD⊥AC ∵AB=AC，

∴D为AC的中点。

∴OD为三角形ABC的中位线，

∴OD∥BC。………………………3分 ∴∠BFE=∠ODE. ∴DE⊥BC， ∴∠BFE=90°. ∴∠ODE=90°. ∴OD⊥DE。

∴直线DE是⊙O的切线. ………………………6分 （2）∵⊙O的半径为6，

∴AB=12. ………………………7分 在Rt△ABD中，∵cos∠BAC=

1， 3

∴AD=4。………………………8分

由（1）知BD是三角形ABC的中线，………………………9分 ∴CD=AD=4。………………………10分 方法二：

（1）证明：连接OD， ∵OA=OD

∴∠OAD=∠ODA.

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.

∴OD∥BC………………………3分 ∴∠BFE=∠ODE. ∵DE⊥BC， ∴∠BFE=90°. ∴∠ODE=90°.. ∴OD⊥DE。

∴直线DE是⊙O的切线. ………………………6分 （2）连接BD， ∵⊙O的半径为6，

∴AB=12. ………………………7分 ∵AB为⊙O的直径 ∴∠ADB=90°. 在Rt△ABD中， ∵cos∠BAC=

1， 3

∴AD=4。………………………8分 ∵∠ADB=90°∴BD⊥AC ∵AB=BC

∴BD为三角形ABC的中线，………………………9分 ∴CD=AD=4。………………………10分 24．（2012辽宁锦州，24，10分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元，调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨一元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元。设每件玩具的销售单价上涨了x元．．时（x为正整数），月销售利润为y元。 ．．．．．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围。 （2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？ ．．

（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大月利润是多少？ ．．

【答案】.解：依题意得，y=（30+x－20）（230－10x）

=－10x2+130x+2300………………………2分

自变量x的取值范围是0＜x≤10（1≤x≤10也正确）且x为正整数，

（2）当y=2520时，得－10x2+130x+2300=2520………………………5分 解得x1=2，x2=11（不合题意，舍去）………………………6分 当x=2时，30+x=32.

所以，每件玩具的售价是32元时，月销售利润恰为2520元.………………………7分 （2）y=－10x2+130x+2300………………………8分 =－10（x－6.5）2+2722.5

∵a=－10<0,∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5.………………………9分 ∵0＜x≤10（1≤x≤10也正确）且x为正整数，

∴当x=6时，30+x=36,y=2720元，当x=7时，30+x=37，y=2720元.

所以，每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大的利润，最大利润是2720元.………………………10分

七．解答题（本题12分） 25．（2012辽宁锦州，25，12分）已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点，（点D不与B、C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF。 （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF，②CF=BC－CD。

（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三

条线段之间的关系。

（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其

它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系，②若连接正方形对角线AE，DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由。

【答案】（1）①∵∠BAC=90°，AB=AC，， ∴∠ABC=∠ACB=45°

∵四边形ADEF是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°.

∵∠BAD=∠BAC－∠DAC， ∠CAF=∠DAF－∠DAC， ∴∠BAD=∠CAF.

∴△BAD≌△CAF。………………………3分 ∴∠ACF=∠ABD=45°， ∴∠ACF+∠ACB=90°.

∴BD⊥CF………………………4分 ②由①△BAD≌△CAF可知BD=CF， ∵BD=BC－CD，

∴CF=BC－CD. ………………………6分

（2）CF=BC+CD………………………7分

（3）①CF= CD －BC. ………………………8分 ②∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45° 则∠ABD=135°.

∵四边形ADEF是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°.

∵∠BAD=∠BAC－∠DAC， ∠CAF=∠DAF－∠DAC， ∴∠BAD=∠CAF.

∴△BAD≌△CAF。………………………9分 ∴∠ACF=135°，

∴∠FCD=∠ACF. ∠ACB=90° 则△FCD为直角三角形。

∵正方形ADEF中，O为DE中点，

1

DF，………………………10分 2

1

∵在正方形ADEF中，OA=AE，AE=DF，

2

∴OC=

∴OC=OA.………………………11分

∴△AOC为等腰三角形。………………………12分

八．解答题（本题14分） 26．（2012辽宁锦州，26，14分）如图，抛物线y=ax2+bx－3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限且为抛物线的顶点P到x轴的距离为点C关于直线l的对称点为A，连接AC交直线l于点E。 （1）求抛物线的表达式；

10

，到y轴的距离为1，3

3

x m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴4

3

于点E，且DE：BE=4：1，求直线y x m的表达式；

4

3

（3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线y x m上是否存在点M，使得以点O、F、

4

（2）直线y

M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx－3交y轴于点C， ∴C（0，－3）. 则OC=3.………………………1分 ∵P到x轴的距离为 P（－1，－

10

，到y轴的距离为1，且在第三象限， 3

10

）.………………………2分 3

∵点C关于直线l的对称点为A，∴A（－2，－3）. ………………………4分

10

）代入y=ax2+bx－3， 31 a 4a 2b 3 3 3

有 ………………………5分 10，解得

a b 3 b 23 3

12

所以抛物线的表达式为y=x2+x－3. ………………………6分

33

将点A（－2，－3），P（－1，－

（2）过点D作DG⊥y轴于G，则∠DGE=∠BCE=90°，

∴△DEG∽△BEC.

∵DE：BE=4：1， ∴

DGDE4

， BCBE1

122

x+x－3，得y=5. 33

DG=4.………………………7分 将x=4代入y=

则D（4，5）. ………………………8分 ∵y ∴5=

3

， x m过点D（4，5）

4

3

4 m，m=2. ………………………9分 4

3

所以所求直线 的表达式是：y x 2.………………………10分

4

8168444844

（3）存在M1（,），M2（ ,），M3（ ,1），M4（ ,）.

555532525

………………………14分