中误差贝塞尔公式推导

挺有用的。

第２９卷第３期２００９年６月

大地测量与地球动力学

ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＧＥＯＤＥＳＹＡＮＤＧＥＯＤＹＮＡＭＩＣＳ

Ｖｏｌ．２９Ｎｏ．３　Ｊｕｎｅ，２００９

　　文章编号：１６７１５９４２（２００９）０３０１２８０３

中误差贝塞尔公式的推导

邓永和

（丽水学院建筑工程系，丽水　３２３０００）



摘　要　总结分析测绘教材中中误差贝塞尔公式的证明方法，推荐一种较好的中误差贝塞尔公式的证明方法，该

方法有利于教材的改进和统一，也有利于学生理解。

关键词　中误差；贝塞尔公式；偶然误差；极限；极大似然估计中图分类号：Ｐ２０７　　　　文献标识码：Ａ

ＤＥＤＵＣＴＩＯＮＯＦＢＥＳＳＥＬＭＥＡＮＳＱＵＡＲＥＥＲＲＯＲＦＯＲＭＵＬＡ

ＤｅｎｇＹｏｎｇｈｅ

（ＡｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅＤｅｐａｒｔｍｅｎｔ，ＬｉｓｈｕｉＣｏｌｌｅｇｅ，Ｌｉｓｈｕｉ　３２３０００）

Ａｂｓｔｒａｃｔ　ＳｅｖｅｒａｌｍｅｔｈｏｄｓｏｆｔｅｓｔｉｆｙｉｎｇＢｅｓｓｅｌｍｅａｎｓｑｕａｒｅｅｒｒｏｒｆｏｒｍｕｌａｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｉｎＣｈｉｎｅｓｅｔｅａｃｈｉｎｇｍａｔｅ

ｒｉａｌｓｏｆｓｕｒｖｅｙｉｎｇａｎｄｍａｐｐｉｎｇａｒｅｓｕｍｍｅｄｕｐ．Ａｂｅｔｔｅｒｍｅｔｈｏｄｔｏｉｍｐｒｏｖｅａｎｄｕｎｉｆｙｔｅａｃｈｉｎｇｍａｔｅｒｉａｌ，ａｎｄｔｏｂｅｕｎｄｅｒｓｔｏｏｄｅａｓｉｌｙｆｏｒｓｔｕｄｅｎｔｓｉｓｒｅｃｏｍｍｅｎｄｅｄ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｅａｎｓｑｕａｒｅｅｒｒｏｒ；Ｂｅｓｓｅｌｆｏｒｍｕｌａ；ａｃｃｉｄｅｎｔｅｒｒｏｒ；ｌｉｍｉｔ；ｍａｘｉｍｕｍｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ

１　引言

中误差贝塞尔公式是测绘科学的基本公式。在现有的测绘教材中，中误差贝塞尔公式证明方法基本可概括为４类，即：以罗智清为代表在云南大学出

１－７］版社出版的《测量学》中建议的证明方法［，以付

２　几种中误差贝塞尔公式的证明方法

及分析

１－７］

２．１　第一种证明方法［

新启为代表在北京理工大学出版社出版的《测量

８－１２］

学》中建议的证明方法［，覃辉在同济大学出版

设观测值为ｌ，ｌ，…，ｌ，真误差为Δ，，…，Δ１２ｎ１２

，相应的改正数为ｖ，ｖ，…，ｖ，观测值的平均值Δｎ１２ｎ珋为ｘ，有

ｌＸΔｉ＝ｉ－

珋ｖｘ－ｌｉ＝ｉ

其中ｉ＝１，２，…，ｎ。上两式相加得珋ｖ（ｘ－Ｘ）Δｉ＝－ｉ＋对式（３）求和，再顾及［ｖ］＝０得

［］珋（ｘ－Ｘ）ｎ

３）两端平方，再顾及［ｖ］＝０得由式（

（４）（１）（２）（３）

社出版的《土木工程测量》（第二版）中建议的证明

１３］

，以於宗俦等为代表在武汉测绘科技大学出方法［

１４］

版社出版的《测量平差原理》中建议的证明方法［。

本文首先总结分析我国测绘教材中中误差贝塞尔公式的证明方法，然后推荐并详细推导其中一种较好的证明方法。

２００８１１２６收稿日期：

作者简介：邓永和，男，１９６８年生，高级工程师，硕士，主要从事工程测量和数据处理的教学和研究工作．Ｅ－ｍａｉｌ：ｄｅｎｇｙｏｎｇｈｅｌｓｘｙ＠１６３．

ｃｏｍ

挺有用的。

　第３期

２

珋［］＝［ｖｖ］＋ｎ（ｘ－Ｘ）ΔΔ

邓永和：中误差贝塞尔公式的推导

１２９

（５）

１４］

２．４　第四种证明方法［

式中

２

…＋ΔΔΔ［］Δｎ１＋２＋珋（ｘ－Ｘ）２＋２

ｎｎ（…＋）２ΔΔΔΔΔΔ１２＋２３＋ｎ－１ｎ

（６）２

ｎ

式（６）中第二项的Δ（ｉ）为任意两个偶然误差Δ≠ｊｉｊ

２

２

２

２

珋设ｌｘ为子样均值，当观测值真值未ｉ为子样值，

１４，１５］

知时，得［

１ｎ２２＾珋ｌｘ）σ∑（ｉ－ｉ＝１ｎ

１４］－１，于是上式改为［

（１６）

为了保证子样方差的无偏性，上试分母改为ｎ

１２２＾珋ｌｘ）σ∑（ｉ－ｎ

的乘积，它仍然具有偶然误差的特殊性，故有

２（…＋）ΔΔΔΔΔΔ＋＋（１７）ｎｌ→ｉ１２１３ｎ－１ｎ∞ｎ２＝０（７）则式（６）为

（珋ｘ－Ｘ）２［ΔΔ］ｎ

２（８）将式（８）代入式（５）得［ΔΔ

］［ｖｖ］ｎｎ－１

，即观测值的中

误差为

ｍ＝±

ｎ－１

（９）

２．２　第二种证明方法［

８－１２］

按贝塞尔公式证明的第一种方法得到式（５）

后，考虑到式中珋ｘ－Ｘ为算术平均值的真误差一般是未知的，因而常近似地用算术平均值的中误差Ｍ来代替，而Ｍｍ

，其中ｍ为观测值中误差。于

是由式（５）得

ｍ＝±

ｎ－１

（１０）

２．３　第三种证明方法［

１３］按贝塞尔公式证明的第一种方法得到式（５）后，再两边除以ｎ并取极限得