挺有用的。

第２９卷第３期２００９年６月

大地测量与地球动力学

ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＧＥＯＤＥＳＹＡＮＤＧＥＯＤＹＮＡＭＩＣＳ

Ｖｏｌ．２９Ｎｏ．３　Ｊｕｎｅ，２００９

　　文章编号：１６７１５９４２（２００９）０３０１２８０３

中误差贝塞尔公式的推导

邓永和

（丽水学院建筑工程系，丽水　３２３０００）



摘　要　总结分析测绘教材中中误差贝塞尔公式的证明方法，推荐一种较好的中误差贝塞尔公式的证明方法，该

方法有利于教材的改进和统一，也有利于学生理解。

关键词　中误差；贝塞尔公式；偶然误差；极限；极大似然估计中图分类号：Ｐ２０７　　　　文献标识码：Ａ

ＤＥＤＵＣＴＩＯＮＯＦＢＥＳＳＥＬＭＥＡＮＳＱＵＡＲＥＥＲＲＯＲＦＯＲＭＵＬＡ

ＤｅｎｇＹｏｎｇｈｅ

（ＡｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅＤｅｐａｒｔｍｅｎｔ，ＬｉｓｈｕｉＣｏｌｌｅｇｅ，Ｌｉｓｈｕｉ　３２３０００）

Ａｂｓｔｒａｃｔ　ＳｅｖｅｒａｌｍｅｔｈｏｄｓｏｆｔｅｓｔｉｆｙｉｎｇＢｅｓｓｅｌｍｅａｎｓｑｕａｒｅｅｒｒｏｒｆｏｒｍｕｌａｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｉｎＣｈｉｎｅｓｅｔｅａｃｈｉｎｇｍａｔｅ

ｒｉａｌｓｏｆｓｕｒｖｅｙｉｎｇａｎｄｍａｐｐｉｎｇａｒｅｓｕｍｍｅｄｕｐ．Ａｂｅｔｔｅｒｍｅｔｈｏｄｔｏｉｍｐｒｏｖｅａｎｄｕｎｉｆｙｔｅａｃｈｉｎｇｍａｔｅｒｉａｌ，ａｎｄｔｏｂｅｕｎｄｅｒｓｔｏｏｄｅａｓｉｌｙｆｏｒｓｔｕｄｅｎｔｓｉｓｒｅｃｏｍｍｅｎｄｅｄ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｅａｎｓｑｕａｒｅｅｒｒｏｒ；Ｂｅｓｓｅｌｆｏｒｍｕｌａ；ａｃｃｉｄｅｎｔｅｒｒｏｒ；ｌｉｍｉｔ；ｍａｘｉｍｕｍｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ

１　引言

中误差贝塞尔公式是测绘科学的基本公式。在现有的测绘教材中，中误差贝塞尔公式证明方法基本可概括为４类，即：以罗智清为代表在云南大学出

１－７］版社出版的《测量学》中建议的证明方法［，以付

２　几种中误差贝塞尔公式的证明方法

及分析

１－７］

２．１　第一种证明方法［

新启为代表在北京理工大学出版社出版的《测量

８－１２］

学》中建议的证明方法［，覃辉在同济大学出版

设观测值为ｌ，ｌ，…，ｌ，真误差为Δ，，…，Δ１２ｎ１２

，相应的改正数为ｖ，ｖ，…，ｖ，观测值的平均值Δｎ１２ｎ珋为ｘ，有

ｌＸΔｉ＝ｉ－

珋ｖｘ－ｌｉ＝ｉ

其中ｉ＝１，２，…，ｎ。上两式相加得珋ｖ（ｘ－Ｘ）Δｉ＝－ｉ＋对式（３）求和，再顾及［ｖ］＝０得

［］珋（ｘ－Ｘ）ｎ

３）两端平方，再顾及［ｖ］＝０得由式（

（４）（１）（２）（３）

社出版的《土木工程测量》（第二版）中建议的证明

１３］

，以於宗俦等为代表在武汉测绘科技大学出方法［

１４］

版社出版的《测量平差原理》中建议的证明方法［。

本文首先总结分析我国测绘教材中中误差贝塞尔公式的证明方法，然后推荐并详细推导其中一种较好的证明方法。

２００８１１２６收稿日期：

作者简介：邓永和，男，１９６８年生，高级工程师，硕士，主要从事工程测量和数据处理的教学和研究工作．Ｅ－ｍａｉｌ：ｄｅｎｇｙｏｎｇｈｅｌｓｘｙ＠１６３．

ｃｏｍ

挺有用的。

　第３期

２

珋［］＝［ｖｖ］＋ｎ（ｘ－Ｘ）ΔΔ

邓永和：中误差贝塞尔公式的推导

１２９

（５）

１４］

２．４　第四种证明方法［

式中

２

…＋ΔΔΔ［］Δｎ１＋２＋珋（ｘ－Ｘ）２＋２

ｎｎ（…＋）２ΔΔΔΔΔΔ１２＋２３＋ｎ－１ｎ

（６）２

ｎ

式（６）中第二项的Δ（ｉ）为任意两个偶然误差Δ≠ｊｉｊ

２

２

２

２

珋设ｌｘ为子样均值，当观测值真值未ｉ为子样值，

１４，１５］

知时，得［

１ｎ２２＾珋ｌｘ）σ∑（ｉ－ｉ＝１ｎ

１４］－１，于是上式改为［

（１６）

为了保证子样方差的无偏性，上试分母改为ｎ

１２２＾珋ｌｘ）σ∑（ｉ－ｎ

的乘积，它仍然具有偶然误差的特殊性，故有

２（…＋）ΔΔΔΔΔΔ＋＋（１７）ｎｌ→ｉ１２１３ｎ－１ｎ∞ｎ２＝０（７）则式（６）为

（珋ｘ－Ｘ）２［ΔΔ］ｎ

２（８）将式（８）代入式（５）得［ΔΔ

］［ｖｖ］ｎｎ－１

，即观测值的中

误差为

ｍ＝±

ｎ－１

（９）

２．２　第二种证明方法［

８－１２］

按贝塞尔公式证明的第一种方法得到式（５）

后，考虑到式中珋ｘ－Ｘ为算术平均值的真误差一般是未知的，因而常近似地用算术平均值的中误差Ｍ来代替，而Ｍｍ

，其中ｍ为观测值中误差。于

是由式（５）得

ｍ＝±

ｎ－１

（１０）

２．３　第三种证明方法［

１３］按贝塞尔公式证明的第一种方法得到式（５）后，再两边除以ｎ并取极限得

ｎｌ→ｉ［ΔΔ］［ｖｖ］珋２

∞ｎ＝ｎｌ→ｉ∞ｎ＋ｎｌ→ｉｍ∞（ｘ－Ｘ）

（１１）

而

ｎｌ→ｉｍ∞（珋ｘ－Ｘ）２

＝ｎｌ→ｉ［ΔΔ］２∞ｎ２＋ｎｌ→ｉ∞ｎ

２（Δ１Δ２＋Δ１Δ３＋…＋Δｎ－１Δｎ

）＝ｎｌ→ｉ［ΔΔ

］∞ｎ

２（１２）式（１２）顾及ΔｉΔｊ（ｉ≠ｊ）为任意两个偶然误差的乘积，它仍然具有偶然误差的特殊性。于是由式（１１）得

ｎｌ→ｉ［ΔΔ］∞ｎ＝ｎｌ→ｉ［ｖｖ］［ΔΔ］∞ｎ＋ｎｌ→ｉ∞ｎ２（１３）由此求得

［］［ｖｖｎｌ→ｉ∞ｎ＝ｎｌ→ｉ］∞ｎ

－１（１４）故有

ｍ＝±

ｎ－１

（１５）

ｎ－１

ｉ＝１即ｍ＝±

ｎ－１

（１８）

２．５　４种证明方法分析

首先作一下说明：在文献［１］、［７］中，是Δｉ＝Ｘ－ｌｉ，而不是Δｉ＝ｌｉ－Ｘ，但这并不影响他们最后的结论———贝塞尔公式是正确的。文献［１－１３］在证明贝塞尔公式时，采用的符号有所不同，但笔者的概括基本忠于原意。下面分析贝塞尔公式的证明方法。

１）在第一种证明方法中，式（６）、（７）都是正确的，但不能由式（６）和（７）得式（８），从而得不到贝塞尔公式（９）。这是因为：

对于等式Ａ＋Ｂ＝Ｃ，若ｎｌ→ｉｍ∞

Ａ、ｎｌ→ｉｍ∞

Ｂ、ｎｌ→ｉｍ∞

Ｃ存在，

则Ａ＋ｎｌ→ｉｍ∞

Ｂ＝Ｃ不一定成立。而在第一种证明方法

２２２

中，（珋ｘ－Ｘ）２

相当于这里的ＣΔ１＋Δ２＋…＋Δｎｎ

２

相当于这里的Ａ２（Δ１Δ２＋Δ１Δ３＋…＋Δｎ－１Δｎ

）ｎ２

相当于这里的Ｂ。

２）在第二种证明方法中，式（５）是正确的，但也得不到贝塞尔公式（１０）。因为：真误差与中误差是两个不同的概念。真误差是针对每个观测值的实际误差，而中误差是这些观测值误差总的刻画，二者不能混淆。故不能用算术平均值的中误差Ｍ来代替

算术平均值的真误差珋ｘ－Ｘ。

３）在第三种证明方法中，式（１３）是正确的，但不能由式（１３）得到式（１４），从而得不到贝塞尔公式（１５）。这是因为：

由［］［ｖｖ］ｎｌ→ｉΔΔ∞ｎ＝ｎｌ→ｉ∞ｎ＋［ΔΔ

］ｎｌ→ｉ∞ｎ２

可得

ｎｌ→ｉｍ∞［ΔΔ

］（ｎ－１）ｎｎ｝＝［ｖｖ］ｎｌ→ｉ∞ｎ

（１９）

而［］（ｎ－１）［］ｎｌ→ｉｍ∞ｎｎ｝＝ｎ－１ｎｌ→ｉ∞ｎｎｌ→ｉ∞ｎ＝［ΔΔ］ｎｌ→ｉ∞

ｎ（２０）故有［］［ｖｖ］ｎｌ→ｉΔΔ∞ｎ＝ｎｌ→ｉ∞ｎ

（２１）

挺有用的。

１３０

［］［ｖｖ］ΔΔ而得不到ｌｉ＝ｌｉｎｎｎ－１→∞→∞ｎ于是，有ｍ＝±

ｎ

大地测量与地球动力学２９卷

（２２）（２３）（２４）

上式中第２式取数学期望可得Ｅ

(ｎ

ｎ＾１２２２＾Ｅ（ｌ）{}＝σ∑μσＸＭＬｉ－ＸＭＬＸ

＝１－１ｎｎ－１ｉ)

而得不到ｍ＝±

４）在第四种证明方法中可知：按数理统计理论的极大似然估计也是不可能直接得到ｍ＝±ｎ－１

ｎ２２＾＾由此可知，并不是σ而σＸＭＬＸ的无偏估计，ｎ－１

２２＾才是σ为了保证子样方差σＸＭＬＸ的无偏估计。因此，

的无偏性，式（２９）的第２式分母应采用ｎ－１，而不

（值得一提的是ｎ－１与ｎ相差仅为１，在大子样是ｎ

＾珔－时可忽略不计），并顾及ｖＸｌｌμｉ＝ｉ＝ＸＭＬ－ｉ和ｍ＝ｎ－１，为了保证子样方差的无偏性才得到贝塞尔公式。

从上述分析可知：第一、二、三种证明方法都是欠妥的。第四种证明方法，如果不附加一个无偏估计的理论，也是欠妥的。正因为第四种证明方法附加了一个无偏估计的理论，所以才是比较好的证明方法。

３　中误差贝塞尔公式的推导

中误差的贝塞尔公式证明的第四种方法是一种

比较严密的方法，现详细推导如下［１４－１６］

。

设观测值为ｌ１，ｌ２，…，ｌｎ，相应的改正数为ｖ１，ｖ２

，…，ｖｎ，又设观测值的平均值为珔Ｘ，根据ｌｉ～Ｎ（μＸ，σ２

Ｘ

），那么ｌｉ概率密度函数为

ｆ（ｌ１（ｌｉ－μＸ

）２ｉ）ｅｘｐπσ２

Ｘ[２σＸ]

（２５）

似然函数为

ｆｌ(／μＸ，σ２

Ｘ)＝ｆ（ｌ１）ｆ（ｌ２）…ｆ（ｌｎ）＝ｎ

１[∑ｉ＝１

（ｌ２

ｉ－μＸ）（２６）

πｎσｎｅｘｐ２

Ｘ２σＸ

]

（ｌｎｆｌ(／μ２

Ｘ，σＸ)由

μ＝０

Ｘ

ｌｎｆｌ(／μ （２７）

Ｘ，σ２

Ｘ)σ２

＝０ Ｘ

ｎ

ｉ∑＝１

（ｌｉ－μ＾ＸＭＬ

）＝０得

ｎ

ｎ∑（ｌｉ－μ＾）２２８）

２（σＸＭＬ）２ｉ＝１

ＸＭＬ

２（σＸＭＬ

）４＝０}

（ｎ

∑ｌμ＾ｉ＝１

ｉ

ＸＭＬｎ

因此

（２９）

∑（ｌ－μ＾）２ σ＾ｉ＝１ｉＸＭＬ

ＸＭＬ＝±ｎ

σ＾ＸＭＬ

，则有ｍ＝±

ｎ－１

（３０）

于是，贝塞尔公式得到证明。

参

考

文

献

１　顾孝烈，鲍峰，程效军．测量学（第三版）［Ｍ］．上海：同济

大学出版社，２００６．

２　罗志清．测量学［Ｍ］．昆明：云南大学出版社，２００６．３　梁盛智．测量学［Ｍ］．重庆：重庆大学出版社，２００２．４　云南林学院．测量学［Ｍ］．北京：农业出版社，１９７９．５　高井祥，等．数字测图原理与方法［Ｍ］．徐州：中国矿业大

学出版社，２００１．

６　冯仲科．测量学原理［Ｍ］．北京：中国林业出版社，２００２．７　李天文．

现代测量学［Ｍ］．北京：科学出版社，２００７．８　付新启．测量学［Ｍ］．北京：北京理工大学出版社，２００６．９　熊春宝，姬玉华．测量学［Ｍ］．天津：天津大学出版社，

２００１．

１０　张鑫，

耿宏锁，李援农．测量学［Ｍ］．杨凌：西北农林科技大学出版社，２００２．

１１　潘延玲．测量学［Ｍ］．北京：中国建材工业出版社，２００１．１２　文登荣，宛梅华．测量学［Ｍ］．北京：中央广播电视大学

出版社，１９８５．

１３　覃辉．土木工程测量（第二版）［Ｍ］．上海：同济大学出

版社，

２００５．１４　於宗俦，于正林．测量平差原理．［Ｍ］．武汉：武汉测绘科

技大学出版社，１９９０．

１５　盛骤，谢式千，潘承毅．概率论与数理统计（第二版）

［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８９．

１６　崔希璋，

等．广义测量平差［Ｍ］．武汉：武汉测绘科技大学出版社，

２００１．