2012届辽宁第一轮复习专用

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重点难点 重点：1.用导数判定函数单调性的方法 2.函数极值的概念及求法、函数的最值 难点：导函数的图象与函数单调性的关系

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知识归纳 1.函数的单调性 (1)设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，如 果f ′(x)>0,则f(x)在区间(a,b)内为增函 数；如果f ′(x)<0,则f(x)在区间(a,b)内 为减函数. (2)①如果在某个区间内恒有f ′(x)=0,则 f(x)等于常数.

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②对于可导函数f(x)来说，f ′(x)>0是f(x) 在(a,b)上为单调增函数的充分不必要条 件，f ′(x)<0是f(x)在(a,b)上为单调减函 数的充分不必要条件，如f(x)=x3在R上 为增函数，但f ′(0)=0,所以在x=0处不 满足f ′(x)>0.

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(3)利用导数判断函数单调性的一般步骤 ①求导数f ′(x); ②在函数f(x)的定义域内解不等式f ′(x)>0 和f ′(x)<0; ③根据②的结果确定函数f(x)的单调区 间.

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2.函数的极值 (1)函数极值的定义：设函数f(x)在点x0附 近有定义，如果对x0附近的所有点x,都 有f(x)<f(x0),我们就说f(x0)是函数f(x)的 一个极大值，称x0为函数f(x)的一个极大 值点. 如果对x0附近的所有点，都有f(x)>f(x0), 我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值， 称x0为函数f(x)的一个极小值点.极大值 与极小值统称为极值.

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(2)判断极值的方法：当函数f(x)在点x0处 可导且f ′(x0)=0. ①如果在x0附近的左侧f ′(x)>0,右侧f ′(x)<0,那么f(x0)为极大值； ②如果在x0附近的左侧f ′(x)<0,右侧f ′(x)>0,那么f(x0)是极小值.

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3.函数的最大值与最小值 (1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a, b]内可导的函数f(x)必有最大值与最小值； 但在开区间(a,b)内可导的函数f(x)不一 定有最大值与最小值. (2)求极值与最值的步骤： 第1步 求导数f ′(x); 第2步 求方程f ′(x)=0的所有实数根；

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第3步 考察在每个根x0附近，从左到右， 导函数f ′(x)的符号如何变化.如果f ′(x)的 符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果由 负变正，则f(x0)是极小值. 第4步 将f(x)的各极值及f(a)、f(b)比较， 其中最大的一个是最大值，最小的一个是 最小值.

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注：据新课标的要求，有关函数最大值、 最小值的实际问题，一般指的是单峰函数， 也就是说在实际问题中，如果遇到函数在 区间内只有一个极值点，那么不与端点值 比较，就可以知道这一点就是最大(小)值 点.

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误区警示 1.利用导数讨论函数的单调性需注意以 下几个问题 (1)利用导数值的符号来求函数的单调区 间，必须在函数的定义域内解不等式f ′(x)>0(或f ′(x)<0). (2)在对函数划分单调区间时，除了必须 确定使导数等于0

的点外，还要注意函数 的不连续点或不可导点. (3)注意在某一区间内f ′(x)>0(或f ′(x)<0)是 函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充

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2.若y=f(x)在(a,b)内可导，f ′(x)≥0或f ′(x)≤0,且y=f(x)在(a,b)内导数f ′(x)=0 的点仅有有限个，则y=f(x)在(a,b)内仍 是单调函数. 3.讨论含参数的函数的单调性时，必须 注意分类讨论. 4.极值与最值的区别和联系 (1)函数的极值不一定是最值，需对极值 和区间端点的函数值进行比较，或者考察 函数在区间内的单调性.

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(2)如果连续函数在区间(a,b)内只有一个极值， 那么极大值就是最大值，极小值就是最小值. (3)可导函数的极值点导数为零， 但是导数为零的 ..... 点不一定是极值点. ......... (4)极值是一个局部概念， 极大值不一定比极小值 .. ... 大.

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