《图论与代数结构》(戴一奇,清华大学出版社)习题解答

习题一

1. 一个工厂为一结点；若两个工厂之间有业务联系，则此两点之间用边相联；这样就得到一个无向图。若每点的度数为3，则总度数为27，与图的总度数总是偶数的性质矛盾。若仅有四个点的度数为偶数，则其余五个点度数均为奇数，从而总度数为奇数，仍与图的总度数总是偶数的性质矛盾。 2. 若存在孤立点，则m不超过Kn-1的边数, 故 m <= (n-1)(n-2)/2, 与题设矛盾。 记a 为结点v的正度数，a－为结点v的负度数，则

iiii

3. a　　　

4. 用向量(a1,a2,a3)表示三个量杯中水的量, 其中ai为第i杯中水的量, i = 1,2,3.

以满足a1+a2+a3 = 8 (a1,a2,a3为非负整数)的所有向量作为各结点, 如果(a1,a2,a3)中某杯的水倒满另一杯得到 ( a’1, a’2, a’3 ) , 则由结点到结点画一条有向边。这样可得一个有向图。

本题即为在此图中找一条由( 8, 0, 0 )到( 4, 4, 0 )的一条有向

i 1

nn

2

i

2

[(n 1) a] n(n 1) 2(n 1) a＋ a－i，

2

i

2

－ i

i 1

i 1

i 1

2n

n

2i

2

a－i。i 1n

n

n

n

因为　　 a C n(n 1)/2，　所以　　 a

－

ii 1

i 1

路，以下即是这样的一条：

5. 可以。

7. 同构。同构的双射如下：

v f (v)

V1 b

V2 a

V3 c

V4 e

V5 d

V6 f

( 8, 0, 0 )

( 5, 0, 3 ) (7, 0, 1 )

( 5, 3, 0 ) ( 7, 1, 0 )

( 2, 3, 3 ) ( 4, 1, 3 )

( 2, 5, 1 ) ( 4, 4, 0 )

8. 记e1= (v1,v2), e2= ( v1,v4), e3= (v3,v1), e4= (v2,v5), e5= (v6,v3), e6= (v6,v4), e7= (v5,v3), e8= (v3,v4), e9 = (v6,v1), 则

010100

1

1 100000

000010 10010000 10

0100

0010 10 11 000000 ,

0 1000 10 11000

邻接矩阵为：

00 101 1 0 0

000 10010 0关联矩阵为：000

1100

边列表为：A= (1,1,3,2,6,6,5,3,6), B= (2,4,1,5,3,4,3,4,1). 正向表为：A= (1,3,4,6,6,7,10), B= (2,4,5,1,4,3,3,4,1).

习题二

1. 用数学归纳法。k=1时，由定理知结论成立。设对于k命题成立。

对于k+1情形，设前k个连通支的结点总个数为n1, 则由归纳假设，前k个连通支的总边数m1<= ( n1－k+1)( n1－k)/2。最后一个连通支的结点个数为n－n1, 其边数

m2<= ( n－n1)( n－n1－1)/2，

1 0 0 0 0 1

所以，G的总边数

m= m1+ m2<= ( n1－k+1)( n1－k)/2 + ( n－n1)( n－n1－1)/2

n1=n－1时，m<= ( (n-1)－k+1)( (n-1)－k)/2 +0= ( (n－k)( (n－k－1)/2, 命题成立。

n1＜= n－2时，由于 n1<=k, 故

m<= ( (n－2)－k+1)( n1－k)/2 + ( n－n1)( n－k－1)/2＝( n－k)( n－k－1)/2 , 命题成立。

2．若G连通， G至少有两个连通支。

G

任取结点v1, v2 ，若边(v1, v2)不在 则v, v在G 12G1）中。设G2是G的另一连通支，取G v3 G2, 则v1 v3 v2 是 中v1到v2的一条道路，即结点v1, v2在 中有路相通。

由v1, v2的任意性，知 连通。

3．设L1,L2是连通图G的两条最长路，且L1,L2无公共结点。设L1,L2的长度(边数)为p.

由于G是连通的，故L1上必有一结点v1与L2上一结点v2有道路L’相通。

结点v1将L1分为两部分，其中一部分的长度 p/2 , 记此

部分道路为L3。同样，结点v2将L2分为两部分，其中一部分L4的长度 p/2 。

这样，L3＋L’＋L4就是G的一条新的道路，且其长度大于p, 这与G的最长路(L1)的长度是p的假设矛盾。

4. 对结点数n作归纳法。

（1）n= 4时m≥5. 若有结点的度≤1, 则剩下的三结点的度数之和≥4，不可能。于是每个结点的度≥2，从而存在一个回路。

若此回路为一个三角形，则还有此回路外的一结点，它与此回路中的结点至少有二条边，从而构成一个新的含全部四个结点的回路，原来三角形中的一边（不在新回路中）即是新回路的一条弦。

若此回路为含全部四个结点的初等回路，则至少还有一边不在回路上，此边就是该回路的一条弦。

（2）设n-1情形命题已成立。 对于n情形：

若有结点的度≤1, 则去掉此结点及关联边后，依归纳假设命题成立。

若有结点v的度=2, 设v关联的两结点为s,t，则去掉结点v及关联边、将s,t合并为一个结点后，依归纳假设命题成立。 若每个结点的度≥3，由书上例2.1.3的结果知命题成立。

6．问题可化为求下列红线表示的图是否存在一条欧拉道路的问题：存在欧拉道路！

8．由推论2.4.1, 只需验证G的任意一对结点的度数之和大于或等于n即可。

若存在结点v1, v2满足 deg(v1)+deg(v2)<n, 则

G－{v1, v2} 的边数<= Kn-2的边数= (n-2)(n-3)/2 .

另一方面，由题设知

G－{ v1, v2} 的边数＝m－（deg(v1)+deg(v2)）＞[(n-1)(n-2)/2+2]－

n= (n-2)(n-3)/2 ,

与上式矛盾。

13．1）将边按权值由小到大排序：

边： a23 a35 a15 a13 a34 a45 a24 a12 a25 a14 权： 26 27 29 33 34 35 38 42 49 52 2) 分支定界：

S1: a23 a35 a15 a13 a34 , 非H回路,d (S1)=149;

将a34置换为其后的a45, a24，a12，a25，a14，也全都是非H回路；

S2: a23 a35 a15 a34 a45, 非H回路,d(S2)=151;

将a45置换为其后的a24，a12，a25，a14，也全都是非H回路；

S3: a23 a35 a15 a45 a24 , 非H回路,d (S8)=155;

将a24置换为其后的a12，a25，a14，也全都是非H回路； S4: a23 a35 a15 a24 a12 , 非H回路,d (S4)=162; S5: a23 a35 a15 a24 a25 , 非H回路,d (S5)=169; S6: a23 a35 a15 a …… 此处隐藏：3275字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……