本文介绍了数学建模中的几种常见的综合评价模型,内含长江水质的处理方法。

综合评价方法及其应用

本文介绍了数学建模中的几种常见的综合评价模型,内含长江水质的处理方法。

一、什么是综合评价问题历年竞赛题 (1)CUMCM1993-B:足球队排名问题； (2)CUMCM2001-B:公交车调度问题； (3)CUMCM2002-B:彩票中的数学问题； (4)CUMCM2004-D:公务员招聘问题； (5)CUMCM2005-A:长江水质的评价和预测问题； (6)CUMCM2005-C:雨量预报方法评价问题； (7)CUMCM2006-B:艾滋病疗法评价与预测问题； (8)CUMCM2007-C:手机“套餐”优惠几何问题； (9)CUMCM2008-B:高教学费标准探讨问题； (10)CUMCM2008-D:NBA赛程的分析与评价问题； (11)CUMCM2009-D:会议筹备问题。

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1、综合评价的目的综合评价一般表现为以下几类问题： a。分类——对所研究对象的全部个体进行分类， 但不同于复合分组(重叠分组); b。比较、排序(直接对全部评价单位排序，或 在分类基础上对各小类按优劣排序); c。考察某一综合目标的整体实现程度(对某一 事物作出整体评价)。如小康目标的实现程度、 现代化的实现程度。当然必须有参考系。

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2、 构成综合评价问题的五个要素构成综合评价问题的五个要素分别为:被评价对 象、评价指标、权重系数、综合评价模型和评价者。

(1)被评价对象 被评价对象就是综合评价问题中所研究的对象，或称为 系统。通常情况下，在一个问题中被评价对象是属于同一类 n 的，且个数要大于 1,不妨假设一个综合评价问题中有 个 被评价对象(或系统) ,分别记为 S1 , S2 , , Sn (n 1) 。

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2、 构成综合评价问题的五个要素(2)评价指标评价指标是反映被评价对象(或系统)的运行(或发展)状况的 基本要素。通常的问题都是有多项指标构成，每一项指标都是从 不同的侧面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。 一个综合评价问题的评价指标一般可用一个向量表示，其中 每一个分量就是从一个侧面反映系统的状态，即称为综合评价的 指标体系。

评价指标体系应遵守的原则：系统性、科学性、可比性、 m 可测性(即可观测性)和独立性。这里不妨设系统有 个评 价指标(或属性) ,分别记为 x1 , x2 , , xm (m 1) ,即评价指 标向量为 x ( x1 , x2 , , xm ) 。T

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2、 构成综合评价问题的五个要素(3)权重系数 每一综合评价的问题都有相应的评价目的，针对某 种评价目的，各评价指标之间的相对重要性是不同的， 评价指标之间的这种相对重要性的大小可以用权重系数 来刻画。如果用 w j 来表示评价指标 x j ( j 1, 2, , m) 的 权重系数，则应有 w j 0( j 1, 2, , m) ,且

wj 1

m

j

1。

注意到:当各被评价对象和评价指标值都确定以后， 问题的综合评价

结果就完全依赖于权重系数的取值了， 即权重系数确定的合理与否，直接关系到综合评价结果 的可信度，甚至影响到最后决策的正确性。

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(4)综合评价模型对于多指标(或多因素)的综合评价问题,就是要 通过建立合适的综合评价数学模型将多个评价指标综合 成为一个整体的综合评价指标，作为综合评价的依据， 从而得到相应的评价结果。

m 不 妨 假 设n 个 被 评 价 对 象 的

个评价指标向量为

x ( x1 , x2 , , xm )T ,指标权重向量为 w ( w1 , w2 , , wm )T , 由此构造综合评价函数为 y f ( w , x ) 。

n 如果已知各评价指标的

个 观 测 值 为 {xij }(i 1,2, , n;

j 1,2, , m) ,则可以计算出各系统的综合评价值 yi f ( w , x (i ) ) , x (i ) ( xi1 , xi 2 , , xim )T (i 1,2, , n) 。根据 yi (i 1, 2, , n) 值的大小 将这 n 个系统进行排序或分类，即得到综合评价结果。

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2、 构成综合评价问题的五个要素(5)评价者 评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人， 也可以是一个团体。对于评价目的选择、评价指标体 系确定、评价模型的建立和权重系数的确定都与评价 者有关。

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3、综合评价的一般步骤 1.确定综合评价的目的 (分类？排序？实现程

度？) 2.建立评价指标体系 3. 对指标数据做预处理(1)使所有的指标都从同一角度说明总体，这就提 出了如何使指标一致化的问题； (2)所有的指标可以相加，这就提出了如何消除 指标之间不同计量单位(不同度量)对指标数值 大小的影响和不能加总(综合)的问题，即对指 标进行无量纲化处理——计算单项评价值。

4.确定各个评价指标的权重 5.求综合评价值——将单项评价值综合而成。

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二、评价指标的规范化处理1. 评价指标类型的一致化

一般说来，在评价指标 x1 , x2 , , xm (m 1) 中可能包 含有“极大型”指标、 “极小型”指标、 “中间型”指标和 “区间型”指标。极大型指标:总是期望指标的取值越大越好； 极小型指标:总是期望指标的取值越小越好； 中间型指标:总是期望指标的取值既不要太大，也不要 太小为好，即取适当的中间值为最好; 区间型指标:总是期望指标的取值最好是落在某一个确 定的区间内为最好。- 定性指标

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1、评价指标类型的一致化 1.1 将极小型化为极大型 倒数法：

1 xj xj'

平移变换法

xj M j xj'

其中

M j max xij 1 i n

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1.2 将居中型化为极大型 对于居中型指标 x jx j 取中间值 M j mj 为最好，要将其化为极大型指标，令

2 M j mj 2( x j m j ) ,mj xj 2 M j mj ' xj 2( M j

x j ) M j m j , xj M j M j mj 2 其中M j=max( xij ), m j min( xij )

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1.3 将区间型化为极大型

对某个区间型数据指标 x ,则

a x 1 c , x a x 1, a x b x b 1 , x b c 其中 [a, b] 为 x 的最佳稳定区间，c max{a m, M b} , M 和 m 分别为 x 可能取值的最大值和最小值。

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1.4 定性指标的量化处理方法

在实际中，很多问题都涉及到定性，或模糊指 标的定量处理问题。 诸如:教学质量、科研水平、工作政绩、人员素 质、各种满意度、信誉、态度、意识、观念、能 力等因素有关的政治、社会、人文等领域的问题 。

如何对有关问题给出定量分析呢？

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按国家的评价标准,评价因素一般分为五 个等级，如A,B,C,D,E。-,B+,C-,D+等又如 如何将其量化？若A

何合理量化？根据实际问题，构造模糊隶属函数的量化 方法是一种可行有效的方法。

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假设有多个评价人对某项因素评价为A,B,C, D,E共5个等级: {v1 ,v2 ,v3 ,v4,v5}。 譬如：评价人对某事件“满意度”的评价可分为 {很满意，满意，较满意，不太满意，很不满意} 将其5个等级依次对应为5,4,3,2,1。 这里为连续量化，取偏大型柯西分布和对数函 数作为隶属函数：

[1 a ( x b ) 2 ] 1 ,1 x 3 f ( x) 3 x 5 a ln x b , 其中 a , b , a, b 为待定常数.