分数阶系统的分数阶PID控制器设计(4)

分数阶PID

774控制理论与应用第24卷

同的λ和µ组合得到的9×9组控制器控制分数阶模型的阶跃响应曲线.对应的Bode图如图4所示

.

图2

整数阶控制器分别控制整数阶模型和分数阶模型的闭环阶跃响应的比较

Fig.2Comparisonofunitstepresponseoftheclosed-loop

integerordermodelandtheclosed-loopfractional

ordersystemwiththesameintegerorder

controller

图3不同分数阶控制器控制分数阶系统的阶跃响应Fig.3Stepresponsesoftheclosed-loopfractionalorder

modelwithdifferentfractionalorder

controllers

图4不同分数阶控制器控制分数阶系统的Bode图Fig.4Bodeplotsoffractionalordermodelwithdifferent

fractionalordercontrollers

选择微积分的阶次分别为:λ=0.6,µ=0.3.得到的分数阶PID控制器的另外3个参数为KP=822.3831,KI= 0.6526,KD= 842.4372,因此分数阶控制器(fractionalordercontroller简称为FOC)为

G)=875.6661 0.8191

Fc(ss0.6 835.1394s0.3.

图5中比较了整数阶控制器分别控制整数阶模型和分数阶模型,分数阶控制器控制分数阶模型的Bode图.从图中可以看出,将分数阶控制器应用到分数阶模型后,控制效果有明显提高.不仅超调量变小,上升时间也很快,系统响应变快,又有较大的带宽

.

图5

分数阶控制器和整数阶控制器分别控制分数阶模型和整数阶模型的Bode图

Fig.5Comparisonofbodediagramsofthefractionalorder

modelwiththefractionalorderPIDcontroller,andthesamemodelwiththeintegerordercontroller,the

integerordermodelwiththeintegerordercontroller

例2文献[10]也给出了一个分数阶系统的例子.其分数阶系统的传递函数为:

G)=1

Fp(s0.8s2.2+0.5s0.9+1.(22)

用最小方差法,得到了该分数阶系统的整数阶近似:

G1

Ip(s)=0.7414s2+0.2313s+1.(23)

图6中显示了式(22)和式(23)所描述的系统的单位阶跃响应曲线.可以看出,该近似化本身也存在一定的误差.

Podlubny等人针对系统设计了分数阶PDµ控制器和整数阶PD控制器[10].整数阶PD控制器为

Gc(s)=20.5+2.7343s,

(24)

分数阶PDµ控制器的传递函数为

Gc(s)=20.5+3.7343s1.15.

(25)