2.1.2椭圆的简单几何性质

◆ 知识与技能目标

了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义．

◆ 过程与方法目标

（1）复习与引入过程

引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．1．2椭圆的简单几何性质．

（2）新课讲授过程

（i）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质． 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？

通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质． （ii）椭圆的简单几何性质

①范围：由椭圆的标准方程可得，

yb

22

1

xa

22

0，进一步得： a x a，同理

可得： b y b，即椭圆位于直线x a和y b所围成的矩形框图里；

②对称性：由以 x代x，以 y代y和 x代x，且以 y代y这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；

④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比e

，b 当e 1时，c a，

圆图形越扁 椭

0

ca

叫做椭圆的离心率（0 e 1），

．

；

当e 0时，c 0，b a 椭圆越接近于圆

（iii）例题讲解与引申、扩展

例4 求椭圆16x 25y 400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c．引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量．

扩展：已知椭圆mx 5y 5m m 0 的离心率为

2

2

2

2

e

5

，求m的值．

解法剖析：依题意，m 0,m 5，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦

m 3；②当焦点在y轴上，即m 5时，

有a

b,c点在x轴上，即0 m

5时，有a

b c

，∴

，得

，

∴5

25

． m

53

例5 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上，由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知BC F1F2，F1B 2.8cm，F1F2 4.5cm．建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程．

xa

22

解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为

yb

22

1，算出a,b,c的

值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．

引申：如图所示， “神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km，已知地球的半径R 6371km．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程．

例6如图，设M x,y 与定点F 4,0 的距离和它到直线l：x

45

254

的距离的比是常数

，求点M的轨迹方程． 分析：若设点M

254

x,y ，则

MF ，到直线l：x

254

的距离

d x ，则容易得点M的轨迹方程．

引申：（用《几何画板》探究）若点M x,y 与定点F c,0

的距离和它到定直线l：x

a

2

c

的距离比是常数e

ca

a c 0 ，则点M的轨迹方程是

椭圆．其中定点F c,0 是焦点，定直线l：x

a

2

ca

2

相应于F的准线；由椭圆的对称性，另

一焦点F c,0 ，相应于F 的准线l ：x

◆ 情感、态度与价值观目标

c

．

在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．必须让学生认同和掌握：椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．

◆能力目标

（1） 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．

（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为

几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力． （3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．

（4） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径． 练习：

作业：