立体几何概念方法梳理

立体几何中常见题型及证明方法

1、证明三点共线：

法1：AC=AB+BC 法2：AC AB 法3：xOA yOB zOC 0,x y z 0

2、证明四点共面

法1：AD xAB yAC 法2：OD xOA yOB zOC,x y z 1

3、证明：线∥平行线

几何法：法1：平行公理； 法2 ：线∥面 线∥交线；

法3：面∥面 交线∥交线 法4：线 面 垂线∥垂线；

向量法：分别取两直线的方向向量a,b， a (x1,y1,z1),b (x2,y2z2)

x1 x2 法1：a b a∥ b 法2：y1 y2 a∥b

z1 z2

4、证明：线∥面

几何法：法1：线∥面内线 线∥面 法2：面∥面 面内线∥另一面 向量法：

法1：分别取直线的方向向量 a (x1,y1,z1),平面的法向量n (x2,y2z2)，

若a n 0则 线∥面

法2：取平面内向量 a (x1,y1,z1),n (x2,y2z2)，且a,b不共线，取直线方向向量b (x0,y0,z0)， 证明b xa yn，并且直线在面外。

5、证明面与面平行

几何法：法1：面内线∥面 面∥面 法2：面内线∥面内线 面∥面

向量法：分别求平面的法向量 a (x1,y1,z1), b (x2,y2z2)，

若a b a∥b，则 面∥面

6、证明线与线垂直

几何法：法1：夹角为直角

法2：线 面 线 面内线；

法3：三垂线定理与逆定理

向量法：两直线方向向量垂直 a b 0

线与线垂直 1

7、 证明线与面垂直

几何法：法1：线 面内交线 线 面； 法2：面 面 线 面

向量法：直线方向向量与面法向量平行 线 面

8、 证明面与面垂直

几何法：面过垂线 面 面

向量法：法向量垂直 面 面

9、求异面直线所成的角------异面直线所成的角为 与 a,b 互补或相等

平移定角法----线上取点、利用中位线做平行线作出角。在三角形中计算。 向量法：

（1）分别取直线的方向向量，a (x1,y1,z1),b (x2,y2z2)

（2）a b x1x2 y1y2 z1z2

（3

）a ，b a b（4）cos a,b a b

(5)设异面直线所成的角为 ，0 90，cos cos a,b ， arccosm

10、求直线与平面所成的角--- 0 90， a,n 90或 a,n 90

（1）取直线的方向向量，a (x1,y1,z1),

（2）待定系数法求平面法向量n (x2,y2,z2)

（3）a n x1x2 y1y2 z1z2

（4

）a ，n a n（5）cos a,n a n

（6）设直线与平面所成的角为 ，sin cos a,n =m， arcsinm

2

11、求二面角---- 0 180， a,n 或 a,n 180 向量法：

（1）待定系数法求平面 , 的法向量n (x2,y2,z2)，a (x1,y1,z1),

（2）a n x1x2 y1y2 z1z2

（3

）

a ，n （4）cos a , n a n

a n

（5）设二面角的平面角为 ，根据图形确定 是锐角（钝角）coc cos a, n =m（coc cos a, n ）， oscra

12、求点面距离 已知A，平面

向量法：

（1） 待定系数法求平面 的法向量 n (x2,y2,z2)

（2） 平面 任意取点B算出斜线段 AB (x1,y1,z1),

（3）d AB n

n=AB cos AB,n

3

m

4