《概率论》第4章_协方差及相关系数
时间：2025-04-20
概率论与数理统计第四版
§3 协方差及相关系数 设 ( X ,Y) ~ f (x, y), X ~ f X (x),Y ~ fY ( y),则X ,Y 相互独立
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f (x, y) = f X (x) fY ( y)
不独立, 若 X ,Y不独立,如何刻画它们之间的关系 f (x, y) ≠ f X (x) fY ( y) 若 X ,Y 相互独立,则 相互独立, 故若E[( X E( X ))(Y E(Y))] = 0 E[( X E( X ))(Y E(Y))] ≠ 0
必不独立, 则 X ,Y 必不独立,它们之间必存在一定关系 的方差均存在, 若 X ,Y的方差均存在,记 Cov( X,Y) = E[( X E( X ))(Y E(Y))]
称 Cov( X,Y) 为 X ,Y 的协方差第四章 随机变量的数字特征
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§3 协方差及相关系数
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Cov( X ,Y) = E[( X E( X ))(Y E(Y))] 若 X ,Y 相互独立 Cov( X,Y) = 0 Cov( X ,Y) = Cov(Y, X ) D( X ) = E( X E( X ))2 = Cov( X , X ) Cov( X,Y) = E[( X E( X ))(Y E(Y))] = E[ XY XE) + YE( + X ))() E(Y D( X +Y) = D( X ) + D(Y(Y)2E[( XX )E(E( XYE(Y)] ))] = E( XY) D([ ) + Y)] E[YE ) = D( X ) + EYXE(2Cov( X,Y( X )] + E( X )E(Y) = E XY 有 对任意常数 (a, b) E( X )E(Y) Cov(aX, bY) = E[(aX E(aX ))(bY E(bY))] = abE[( X E( X ))(Y E(Y))] = abCov( X,Y) Cov( X1 + X2 ,Y) = Cov( X1 ,Y) + Cov( X2 ,Y)第四章 随机变量的数字特征
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§3 协方差及相关系数∵ X ,Y相互独立∴ Cov( X ,Y) ≠ 0Cov( X,Y) = 0
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X ,Y 必不独立 X ,Y 之间必存在某种“关系” 之间必存在某种“关系”
又 k ∈R
考虑“单位化”的r.v 考虑“ 这种“关系” 这种“关系”的密切程度 来度量这种关系 X E( X ) 从直观上看Y E(Y) X = , Y = kX, kY之间的关系 这种“关系” 这种“关系) 到底是什么关系 DY 之间的关系应无本质差异, D(Y) 之间的关系应无本质差异, 与 X ,( X ” 称 但它们的协方差相差了 k2倍 ρXY = Cov( X ,Y ) = Cov( X ,Y)D( X ) D(Y)
Cov(kX , kY ) = k 2Cov( ,Y,)的大小是否反映了 Cov( X X Y)用相关系数 ρ XY
为 X ,Y的相关系数第四章 随机变量的数字特征
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§3 协方差及相关系数
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相关系数 ρXY 刻画了 X ,Y之间什么关系 即用r.v 考虑 X ,Y 之间的线性关系,即用r.v Y = a + bX (a, b为常数 ) 近似地表示 r.v Y. 记均方误差
令 解得
e = E[(Y Y)2 ] = E[(Y (a + bX ))2 ] = E(Y 2)+b2 E( X 2)+a2 2bE( XY) + 2abE( X ) 2aE(Y) e = 2a + 2bE( X ) 2E(Y) = 0 a e = 2bE( X 2 ) 2E( XY) + 2aE( X ) = 0 bCov( X ,Y) b0 = D(X ) a0 = E(Y) b0E( X ) = E(Y) E( X ) Cov( X ,Y) D(X )
即有
m e = m E[(Y (a + bX )) 2 ] = E[(Y (a0 + b0 X )) 2 ] in ina,b a,b
第四章 随机变量的数字特征
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§3 协方差及相关系数2 a,b a,b
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m e = m E[(Y (a + bX )) ] = E[(Y (a0 + b0 X )) ] in in2
= E[(Y (E(Y= Cov( X,( X ) + b0 X )) ] b ) b0 EY) D(X ) = E{[(Y EbY)) = Cov(X E( X ))]2} ( D(X ) b0 ( X ,Y) 2 2 2 = E[(Y E(Y)) ] + b0 E[( X E( X )) ] 2b0 E[(Y E(Y))( X E( X ))] 2
= D(Y) + b0 D( X ) 2b0Cov( X , Y) = D(Y) + b0Cov( X , Y) 2b0Cov( X , Y) = D(Y ) b0Cov( X , Y ) 2 Cov ( X ,Y) = D(Y)[1 ] D( X )D(Y) 2 = D(Y)(1 ρXY )20 0
第四章 随机变量的数字特征
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Cov( X ,Y) D(X ) 其中 a0 = E(Y) b0E( X ) = E(Y) E( X ) Cov( X ,Y) D(X ) b0 =
min E[(Y (a + bX ))2 ] = E[(Y (a0 + b0 X ))2 ] a,b 2 = D(Y)(1 ρXY )
∵ E[Y (a0 + b0 X )] = E(Y) a0 b0 E( X ) = 0
∴ E[(Y (a0 + b0X ))2 ] = D[Y (a0 + b0X )] 2 = D(Y)(1 ρXY ) | ρXY | ≤ 1
| ρXY | = 1
Y = a + bX (a, b为常数 )a.e第四章 随机变量的数字特征
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§3 协方差及相关系数2 ∵ min e = min E[(Y (a + bX ))2 ] = D(Y)(1 ρXY )
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∴ | ρXY | 较大时均方误差 e 较小
a,b
a,b
X ,Y 之间的线性关系较密切
特别当 | ρXY | = 1 时 , X ,Y 之间几乎就是线性关系 之间几乎就是线性关系 反之, 较小时 反之,当 | ρXY | 较小时, X ,Y之间的线性关系较弱 之间的线性关系较弱 当 ρXY = 1 时,称 X与 Y正相关 当 ρXY = 1时,称 X与 Y负相关 当 ρXY =0 时,称 X与 Y不相关 相关
第四章 随机变量的数字特征
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§3 协方差及相关系数Y
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YY = a0+b0 X ( b0 < 0 )
YY= a0 +b0 X ( b0 > 0 )
O
ρXY = 1Y
X
OY
ρXY = 1y = a0 +b0 x ( b0 < 0 )
X
Oy = a0 +b0 x ( b0 > 0 )
ρXY = 0
X
O
0 < ρXY < 1
X
O
1 < ρXY < 0
X
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§3 协方差及相关系数
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上的均匀分布, 设 r.v ( X,Y) 服从圆域 G : x2 + y2 ≤1 上的均匀分布, 的独立性与相关性. 试讨论 X ,Y 的独立性与相关性. 先求得 X ,Y 的密度函数分别为 1 1 x2 , | x | < 1 1 1 y2 , | y | < 1 f X (x) = π fY ( y) = π 0 , | x | ≥1 0 , | y | ≥1 ∵ f (x, y) ≠ fX (x) fY ( y) ( | x | <1, | y | <1) ∴ X ,Y 不独立 f X (x), fY ( y) 均为偶函数E( X ) = ∫ ∞ xfX (x)dx = 0 ∞ E(Y) = ∫ ∞ yfY ( y)dy = 0∞
又因为
1 E( XY) = ∫ ∞ ∫ ∞ xyf (x, y)dxdy= π ∫∫ xydxdy = 0∞ ∞
∴ E[( X E( X ))(Y E(Y))] = E( XY) E( X )E(Y) = 0 故 X ,Y 不相关 第四章 随机变量的数字特征
x2+y2 ≤ 1
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