一元二次方程应用题题型分类练习

发布时间：2024-11-08

2015年中考一元二次方程的实际应用题专题

类型1、传播问题

1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传

染了几个人？

举一反三：【变式1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？

【变式2】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

类型2、平均增长率问题

列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题：

平均增长率公式为a(1+x)n=b(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题：

平均降低率公式为a(1-x)n=b(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)

1.某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？

【变式1】某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．

【变式2】青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，求水稻每公顷产量的年平均增长率。

2.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

举一反三：

【变式1】恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.

【变式2】市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率.

类型3、储蓄问题

利息=本金×利率×期数

利息税=利息×税率(税率是20%) 本金×(1+利率×期数)=本息和本金×[1+利率×期数×(1-20%)]=本息和(收利息税时

)

1.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率

举一反三：

【变式1】王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后

将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）

类型4、商品销售问题

利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)

总利润=每件的利润×总件数

1.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，

每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种

贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?

举一反三：

【变式1】某超市将进货单价为40元的商品按50元出售，每天可卖500件．如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10件，假设超市为使这种商品每天赚得8 000元的利润，商品的售价应定为每件多少元?

【变式2】某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元．若每降价1元，每天可多销售5件，如果每天要盈利1 600元，每件应降价多少元？

【变式3】某种新产品进价是120元，在试销阶段发现每件售价(元)与产品的日销量(件)始终存在下表中的数量关系：

(1)请你根据上表所给数据表述出每件售价提高的数量(元)与日销量减少的数量(件)之间的关系．

(2)在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到1 600元？

2.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？

举一反三：

【变式1】益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？

3.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

举一反三：

【变式1】服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出２０件，每件盈利４０元。为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现，如果每件童装每降价４元，那么平均每天就可多售出８件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

【变式2】西瓜经营户以２元／千克的价格购进一批小型西瓜，以３元／千克的价格出售，每天可售出２００千克。为了促销，该经营户决定降价销售。经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克。另外，每天的房租等固定成本共２４元。该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？

类型5、面积问题

1. 张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为

1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多2米．现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？

举一反三：

【变式1】一间会议室，它的地板长为20m，宽为15m，现在准备在会议室地板的中间铺一块地毯，要求四周没铺地毯的部分宽度相同，而且地毯的面积是会议室地板面积的一半，那么没铺地毯的部分宽度应该是多少？

【变式2】某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．

(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少？

(2)如果计划每天挖土48m，需要多少天才能把这条渠道挖完？

2.如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去的小正方形的边长。

举一反三：

【变式1】如图，在宽为20m ，长为30m ，的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，余分作为耕地为551㎡。则道路的宽为?

【变式2】一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少？

3.如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m

。①鸡场

的面积能达到150m吗？②鸡场的面积能达到180m吗？如果能，请你给出设计方案；如果

不能，请说明理由。（3）若墙长为am,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度am对题目的解起着怎样的作用?

举一反三：

【变式1】要建一个面积为150m的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一面墙，墙长为am，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m (1)求鸡场的长与宽各是多少？

(2)题中，墙的长度a对题目的解起着怎样的作用？

【变式2】某中学有一块长为am，宽为bm的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪．

(1)如图1，请分别写出每条道路的面积(用含a或含b的代数式表示)；

(2)已知a∶b=2∶1，并且四块草坪的面积之和为312m，试求原来矩形场地的长与宽各为多少米？

(3)在(2)的条件下，为进一步美化校园，根据实际情况，学校决定对整个矩形场地作如下设计(要求同时符合下述两个条件)：

请你画出符合上述设计方案的一种草图(不必说明画法与根据)，并求出每个菱形花圃的面积．

4.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形. （1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?

（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由

举一反三：

【变式1】将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）

（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路. （2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.

以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.

图4

http://

图2

图3

类型6、动态几何问题

1.如图4所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.

（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？

（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC

的面积

的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.

举一反三：

【变式1】已知：如图3-9-3所示，在△ABC中，

B 90 ,AB 5cm,BC 7cm,点P从点A开始沿 AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿

BC边向点C以2cm/s的速度移动.（1）如果P,Q分别

从A,B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm？

（2）如果P,Q分别从A,B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm?说明理由.

类型7 比赛和赠送问题

1.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？

举一反三：

【变式1】参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？

【变式2】象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.

2.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？

举一反三：

【变式1】一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？

类型8、一元二次方程应用新题型

1．情景对话

春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

2．梯子问题

一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m. （1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？

（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？

3.航海问题

如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标

C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位

于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经

B到C匀速巡航．一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速

直线航行，欲将一批物品送往军舰.

（1）小岛D和小岛F相距多少海里？

http://

图5

（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1海里）

4.图表信息

如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格，将边长为n（n为整数，且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n－1)×(n－1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.

请你认真观察思考后回答下列问题：

（1）由于正方形纸片边长n的取值不同，完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：

（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为

S2. ①当n＝2时，求S1∶S2的值；

②是否存在使得S1＝S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.

5.平分几何图形的周长与面积问题

在等腰梯形ABCD中， AD平行BC,AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.点E 在下底边BC上，点F在腰AB上.

（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；

（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；

（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由.

6．利用图形探索规律

在如图8中，每个正方形有边长为1 的小正方形组成：