北京市2016届高三数学文一轮复习专题突破训练

导数及其应用

x2

klnx，k 0． 1、（2015年北京高考）设函数f x 2

（Ⅰ）求f x 的单调区间和极值；

（Ⅱ）证明：若f x 存在零点，则f x

在区间上仅有一个零点．

2、（2014年北京高考）已知函数f(x) 2x3 3x. （Ⅰ）求f(x)在区间[ 2,1]上的最大值；

（Ⅱ）若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y f(x)相切，求t的取值范围；

（Ⅲ）问过点A( 1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y f(x)相切？（只需写出结论）

3、（2013年北京高考）已知函数f(x)＝x2

＋xsin x＋cos x.

(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值； (2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．

4、（昌平区2015届高三上期末）已知函数f(x) ex xex 1.

（I）求函数f(x)的最大值； （Ⅱ）设g(x) f(x)

x

, 其中x 1,且x 0，证明: g(x)＜1.

5、（朝阳区2015届高三一模）已知函数f(x) (x a)ex

x

，a R． （Ⅰ）当a 0时，求曲线y f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）当a 1时，求证：f(x)在(0, )上为增函数；

（Ⅲ）若f(x)在区间(0,1)上有且只有一个极值点，求a的取值范围．

3

6、（东城区2015届高三二模）已知函数f(x) x

527

x ax b ,g(x) x3 x2 lnx b，22

（a，b为常数）．

（Ⅰ）若g(x)在x 1处的切线过点(0, 5)，求b的值；

（Ⅱ）设函数f(x)的导函数为f (x)，若关于x的方程f(x) x xf (x)有唯一解，求实数b的取

值范围；

（Ⅲ）令F(x) f(x) g(x)，若函数F(x)存在极值，且所有极值之和大于5 ln2，求实数a的取值范围．

7、（房山区2015届高三一模）已知函数f(x) lnx ax 1，a是常数，a R． （Ⅰ）求曲线y f(x)在点P(1,f(1))处的切线l的方程； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；

（III）证明:函数f(x)(x 1)的图象在直线l的下方．

8、（丰台区2015届高三一模）已知函数f(x) alnx

1

(a R). x

（Ⅰ）当a 2时，求曲线y f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

（Ⅱ）如果函数g(x) f(x) 2x在(0, )上单调递减，求a的取值范围； （Ⅲ）当a 0时，讨论函数y f(x)零点的个数．

9、（丰台区2015届高三二模）已知函数f(x) xe．

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）证明： x1，x2 ( ,0]，f(x1) f(x2)

2x

4； 2e

（Ⅲ）写出集合{x Rf(x) b 0}（b为常数且b R）中元素的个数（只需写出结论）．

10、（海淀区2015届高三一模）已知函数f(x) alnx （Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

1

(a 0). x

（Ⅱ）若存在两条直线y ax b1，y ax b2(b1 b2)都是曲线y f(x)的切线，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）若xf(x) 0 (0,1)，求实数a的取值范围.

11、（海淀区2015届高三二模）已知函数f(x) alnx x 2，其中a 0. （Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若对任意的x1 [1,e]，总存在x2 [1,e]，使得f(x1) f(x2) 4，求实数a值.

12、（石景山区2015

（Ⅰ）若函数f(x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；

取值范围；

x

[1,4]上恰有两个不等的实根，求实数b的（Ⅲ）设各项为正数的数列 an 满足a1 1,an 1 lnan an 2(n N*)，求证：an 2 1.

n

13、（西城区2015届高三二模）已知函数f(x)

1

1 x1 ax2

，其中a R.

（Ⅰ）当a 时，求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程；

4

（Ⅱ）当a 0时，证明：存在实数m 0，使得对任意的x，都有 m≤f(x)≤m成立； （Ⅲ）当a 2时，是否存在实数k，使得关于x的方程f(x) k(x a)仅有负实数解？当a 时的情形又如何？(只需写出结论)

12

14、已知函数f(x)=lnx ax+1,a R是常数．

（Ⅰ）求函数y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线l的方程； （Ⅱ）证明函数y=f(x)(x 1)的图象在直线l的下方； （Ⅲ）若函数y=f(x)有零点，求实数a的取值范围．

15、已知函数f(x)

131

x a2x a(a R). 32

（Ⅰ）若a 1,求函数f(x)在[0,2]上的最大值；

（Ⅱ）若对任意x (0,+ )，有f(x) 0恒成立，求a的取值范围.

参考答案 1、

所以，f(x

)的单调递减区间是

，单调递增区间是 )；

f(x

)在x

f

k(1 lnk)

2

. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在区间(0,

)上的最小值为f k(1 lnk)

2

. 因为f(x)存在零点，所以

k(1 lnk)

2

0，从而k e. 当k e时，f(x

)在区间(1

上单调递减，且f 0，

所以x

f(x

)在区间(1上的唯一零点.

当k e时，f(x

)在区间上单调递减，且f(1) 1e k2

0，f 2

0，所以f(x

)在区间(1上仅有一个零点.

综上可知，若f(x)存在零点，则f(x

)在区间(1上仅有一个零点. 2、解：（Ⅰ） 由f x 2x3 3x得f x 6x2 3.

令f x

0，得x

或x . 因为f 2

10，f f1

f 1

所以f x 在区间 2，

1 上的最大值为f

（Ⅱ） 设过点P 1，

t 的直线与曲线y f x 相切于点 x0，y0 ， 则y30 2x0

3x2

0，且切线斜率为k 6x0 3， 所以切线方程为y y 2

0 6x0 3 x x0

，

因此t y 6x200 3

1 x0 .

32

整理得4x0 6x0 t 3 0.

设g x 4x3 6x2 t 3，

t 存在3条直线与曲线y f x 相切”等价于“g x 有3个不同零点”. 则“过点P 1，

g x 12x2 12x 12x x 1 .

g x 与 …… 此处隐藏：7451字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……