第五章 二次型

1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。 1） 4x1x2 2x1x3 2x2x3；

2）x2 2x22

11x2 2x2 4x2x3 4x3；

3）x2 3x212 2x1x2 2x1x3 6x2x3；

4）8x1x4 2x3x4 2x2x3 8x2x4； 5）x1x2 x1x3 x1x4 x2x3 x2x4 x3x4；

6）x221 2x2

x2

4 4x1x2 4x1x3 2x1x4 2x2x3 2x2x4 2x3x4；7）x2222

1 x2 x3 x4 2x1x2 2x2x3 2x3x4。

解 1）已知 f x1,x2,x3 4x1x2 2x1x3 2x2x3， 先作非退化线性替换

x1 y1 y2

x2 y1 y2 （1）

x3

y

3则

f x22

1,x2,x3 4y1 4y2 4y1y3

4y2222

1 4y1y3 y3 y3 4y2

2y3

2

1 y3 y3 4y2

2，

再作非退化线性替换

y1

112z1 2

z3

y2 z2 y3 z

3

则原二次型的标准形为

f x,x222

12,x3 z1 4z2 z3，

最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为

2） （

11 x z z z3

12 1

22

11

x2 z1 z2 z3 （3）

22

x3 z3

于是相应的替换矩阵为 1

T 1

0

1 10

10 20 0 1 0

010

11 22 10

2 1

0

0 10

1 2 1 ， 2 1

且有

1

T AT 0

0

040

0 0 。 1

222

2）已知f x1,x2,x3 x1 2x1x2 2x2 4x2x3 4x3，

由配方法可得

2222

f x1,x2,x3 x1 2x1x2 x2 x2 4x2x3 4x3

x1 x2 x2 2x3 ，

2

2

于是可令

y1 x1 x2

y2 x2 2x3，

y x

3 3

则原二次型的标准形为

22

f x1,x2,x3 y1 y2，

且非退化线性替换为

x1 y1 y2 2y3

x2 y2 2y3，

x y

3 3

相应的替换矩阵为 1

T 0

0

110

2 2 ， 1

且有

1

T AT 1

2

01 2

0 1 0 1 1 0

122

0 1

2 0 4 0

110

2 1

2 0

1 0

010

0

0 。 0

2

（3）已知f x1,x2,x3 x12 3x2 2x1x2 2x1x3 6x2x3，

由配方法可得

2222 f x1,x2,x3 x12 2x1x2 2x1x3 2x2x3 x2 x3 4x2 4x2x3 x3

x1 x2 x3 2x2 x3 ，

2

2

于是可令

y1 x1 x2 x3

y2 2x2 x3，

y x

3 3

则原二次型的标准形为

22

f x1,x2,x3 y1 y2，

且非退化线性替换为

13

x y y y3

12 1

22

11

x2 y2 y3，

22

x3 y3

相应的替换矩阵为 1

T 0

0

12120

3 2 1

， 2 1

12120

3

2 11 02 1 0

且有

11

T AT

2 3 2

0121 2

0 1 0 1 11

1 3 3

11 3 0

0 0

0 10

0 0 。 0

（4）已知f x1,x2,x3,x4 8x1x2 2x3x4 2x2x3 8x2x4，

先作非退化线性替换 x1 x2

x3 x 4

y1 y4 y2 y3 y4

，

则

2

f x1,x2,x3,x4 8y1y4 8y4 2y3y4 2y2y3 8y2y4

2

21111 1 1

8 y4 2y4 y1 y2 y3 y1 y2 y3

2828 2 2

11 1

8 y1 y2 y3 2y2y3

28 2

111 1

8 y1 y2 y3 y4 2 y1 y2 y3 2y2y3，

284 2

2

2

2

再作非退化线性替换

y1 y2

y3 y 4

z1

z2 z3 z2 z3 z4

，

则

5353 1

f x1,x2,x3,x4 8 z1 z2 z3 z4 2 z1 z2 z3

8844 2

22

2z2 2z3，

22

再令

w1 w2

w3 w4

z1 z2 z3 12z1

58z2

38z3 z4

54x2

34x3

，

则原二次型的标准形为

2222

f x1,x2,x3,x4 2w1 2w2 2w3 8w4，

且非退化线性替换为

x1 x2

x3 x4

12

w1

54

w2

34

w3 w4

w2 w3 w2 w3

12w1 w4

，

相应的替换矩阵为 1 20

T

0 1 2

54110

341

1 0 ， 0 1

10

且有

2 0

T AT

0 0

0200

00 20

0 0 。 0 8

（5）已知f x1,x2,x3,x4 x1x2 x1x3 x1x4 x2x3 x2x4 x3x4， 先作非退化线性替换

x1

x2

x3 x 4

2y1 y2 y2 y3 y4

，

则

2

f x1,x2,x3,x4 2y1y2 y2 2y1y3 2y2y3 2y1y4 2y2y4 y3y4

y1 y2 y3 y4 再作非退化线性替换

z1 z2

z3 z4

y1

2

132 2

y3 y4 y4 y1，

24

2

y1 y2 y3 y4 y3 y4

12y4

，

即

y1 y2

y3 y 4

z1

z1 z2 z3 z3 z4

34

12

z4

12

，

z4

则原二次型的标准形为

22

f x1,x2,x3,x4 z12 z2 z3

z4，

2

且非退化线性替换为

x1 x 2

x3 x4

z1 z2 z3

12z412z4

z1 z2 z3 z3 z4

12z4

，

相应的替换矩阵为

1 1

T

0 0

1100

1 110

1 2 1 2 ， 1 2 1

且有

1 0

T AT 0

0

0100

00 10

0 0 0 。 3 4

222

（6）已知f x1,x2,x3,x4 x1 2x2 x4 4x1x2 4x1x3 2x1x4

2x2x3 2x2x4 2x3x4， 由配方法可得

f x1,x2,x3,x4 x1 2x1 2x2 2x3 x4 2x2 2x3 x4

2

2

2

2

2

2x2 2x3 x4 2x2 x4 2x2x3 2x2x4 2x3x4

x1 2x2 2x3 x4 于是可令

y1 y

2

y3 y4

2

311 2

2 x2 x3 x4 x3 x4 ，

222

2

x1 2x2 2x3 x4 x2

32x3

12x4

，

x3 x4 x4

12

则原二次型的标准形为

2

f y12 2y2 …… 此处隐藏：5036字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……