第五章 二次型

1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。 1） 4x1x2 2x1x3 2x2x3；

2）x2 2x22

11x2 2x2 4x2x3 4x3；

3）x2 3x212 2x1x2 2x1x3 6x2x3；

4）8x1x4 2x3x4 2x2x3 8x2x4； 5）x1x2 x1x3 x1x4 x2x3 x2x4 x3x4；

6）x221 2x2

x2

4 4x1x2 4x1x3 2x1x4 2x2x3 2x2x4 2x3x4；7）x2222

1 x2 x3 x4 2x1x2 2x2x3 2x3x4。

解 1）已知 f x1,x2,x3 4x1x2 2x1x3 2x2x3， 先作非退化线性替换

x1 y1 y2

x2 y1 y2 （1）

x3

y

3则

f x22

1,x2,x3 4y1 4y2 4y1y3

4y2222

1 4y1y3 y3 y3 4y2

2y3

2

1 y3 y3 4y2

2，

再作非退化线性替换

y1

112z1 2

z3

y2 z2 y3 z

3

则原二次型的标准形为

f x,x222

12,x3 z1 4z2 z3，

最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为

2） （

11 x z z z3

12 1

22

11

x2 z1 z2 z3 （3）

22

x3 z3

于是相应的替换矩阵为 1

T 1

0

1 10

10 20 0 1 0

010

11 22 10

2 1

0

0 10

1 2 1 ， 2 1

且有

1

T AT 0

0

040

0 0 。 1

222

2）已知f x1,x2,x3 x1 2x1x2 2x2 4x2x3 4x3，

由配方法可得

2222

f x1,x2,x3 x1 2x1x2 x2 x2 4x2x3 4x3

x1 x2 x2 2x3 ，

2

2

于是可令

y1 x1 x2

y2 x2 2x3，

y x

3 3

则原二次型的标准形为

22

f x1,x2,x3 y1 y2，

且非退化线性替换为

x1 y1 y2 2y3

x2 y2 2y3，

x y

3 3

相应的替换矩阵为 1

T 0

0

110

2 2 ， 1

且有

1

T AT 1

2

01 2

0 1 0 1 1 0

122

0 1

2 0 4 0

110

2 1

2 0

1 0

010

0

0 。 0

2

（3）已知f x1,x2,x3 x12 3x2 2x1x2 2x1x3 6x2x3，

由配方法可得

2222 f x1,x2,x3 x12 2x1x2 2x1x3 2x2x3 x2 x3 4x2 4x2x3 x3

x1 x2 x3 2x2 x3 ，

2

2

于是可令

y1 x1 x2 x3

y2 2x2 x3，

y x

3 3

则原二次型的标准形为

22

f x1,x2,x3 y1 y2，

且非退化线性替换为

13

x y y y3

12 1

22

11

x2 y2 y3，

22

x3 y3

相应的替换矩阵为 1

T 0

0

12120

3 2 1

， 2 1

12120

3

2 11 02 1 0

且有

11

T AT

2 3 2

0121 2

0 1 0 1 11

1 3 3

11 3 0

0 0

0 10

0 0 。 0

（4）已知f x1,x2,x3,x4 8x1x2 2x3x4 2x2x3 8x2x4，

先作非退化线性替换 x1 x2

x3 x 4

y1 y4 y2 y3 y4

，

则

2

f x1,x2,x3,x4 8y1y4 8y4 2y3y4 2y2y3 8y2y4

2

21111 1 1

8 y4 2y4 y1 y2 y3 y1 y2 y3

2828 2 2

11 1

8 y1 y2 y3 2y2y3

28 2

111 1

8 y1 y2 y3 y4 2 y1 y2 y3 2y2y3，

284 2

2

2

2

再作非退化线性替换

y1 y2

y3 y 4

z1

z2 z3 z2 z3 z4

，

则

5353 1

f x1,x2,x3,x4 8 z1 z2 z3 z4 2 z1 z2 z3

8844 2

22

2z2 2z3，

22

再令

w1 w2

w3 w4

z1 z2 z3 12z1

58z2

38z3 z4

54x2

34x3

，

则原二次型的标准形为

2222

f x1,x2,x3,x4 2w1 2w2 2w3 8w4，

且非退化线性替换为

x1 x2

x3 x4

12

w1

54

w2

34

w3 w4

w2 w3 w2 w3

12w1 w4

，

相应的替换矩阵为 1 20

T

0 1 2

54110

341

1 0 ， 0 1

10

且有

2 0

T AT

0 0

0200

00 20

0 0 。 0 8

（5）已知f x1,x2,x3,x4 x1x2 x1x3 x1x4 x2x3 x2x4 x3x4， 先作非退化线性替换

x1

x2

x3 x 4

2y1 y2 y2 y3 y4

，

则

2

f x1,x2,x3,x4 2y1y2 y2 2y1y3 2y2y3 2y1y4 2y2y4 y3y4

y1 y2 y3 y4 再作非退化线性替换

z1 z2

z3 z4

y1

2

132 2

y3 y4 y4 y1，

24

2

y1 y2 y3 y4 y3 y4

12y4

，

即

y1 y2

y3 y 4

z1

z1 z2 z3 z3 z4

34

12

z4

12

，

z4

则原二次型的标准形为

22

f x1,x2,x3,x4 z12 z2 z3

z4，

2

且非退化线性替换为

x1 x 2

x3 x4

z1 z2 z3

12z412z4

z1 z2 z3 z3 z4

12z4

，

相应的替换矩阵为

1 1

T

0 0

1100

1 110

1 2 1 2 ， 1 2 1

且有

1 0

T AT 0

0

0100

00 10

0 0 0 。 3 4

222

（6）已知f x1,x2,x3,x4 x1 2x2 x4 4x1x2 4x1x3 2x1x4

2x2x3 2x2x4 2x3x4， 由配方法可得

f x1,x2,x3,x4 x1 2x1 2x2 2x3 x4 2x2 2x3 x4

2

2

2

2

2

2x2 2x3 x4 2x2 x4 2x2x3 2x2x4 2x3x4

x1 2x2 2x3 x4 于是可令

y1 y

2

y3 y4

2

311 2

2 x2 x3 x4 x3 x4 ，

222

2

x1 2x2 2x3 x4 x2

32x3

12x4

，

x3 x4 x4

12

则原二次型的标准形为

2

f y12 2y2

y3，

2

且非退化线性替换为

x1

x

2

x3 x4

y1 2y2 y3 y4 y2

32y3 y4

，

y3 y4 y4

故替换矩阵为

1

0

T

0 0

2100

13 210

1 1 ， 1 1 00120

0 0 。 0 0

且有

1

0

T AT

0 0

0 200

2222

（7）已知f x1,x2,x3,x4 x1 x2 x3 x4 2x1x2 2x2x3 2x3x4，

由配方法可得

22

f x1,x2,x3,x4 x2 2x2 x1 x3 x1 x3 2x1x3 2x3x4 x4

2

x1 x2 x3 2x1x3 x3 2x3x4 x4 x3

2

2

2

2

x1 x2 x3 x3 x4 2x1x3 x3 x1 x1

2

2

2

2

2

x1 x1 x2 x3 x3 x4 x1 x3 ，

2

2

2

2

于是可令

y1 y2

y3 y 4

x1

x1 x2 x3 x3 x4 x1 x3

，

则原二次型的标准形为

222

f y12 y2 y2 y4，

且非退化线性替换为 x1

x2

x3 x 4

y1

y2 y4 y1 y4 y1 y3 y4

，

相应的替换矩阵为

1 0

T

1 1

0100

0001

0 1

， 1 1

且有

1

0

T AT

0 0

0100

0010

0 0

。 0 1

（Ⅱ）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换。

解 1）已求得二次型

f x1,x2,x3 4x1x2 2x1x3 2x2x3 的标准形为

222

f y1 4y2 3y3，

且非退化线性替换为

11 x y y y3

12 1

22

11

x2 y1 y2 y3，

22

x3 y3

（1） 在实数域上，若作非退化线性替换

y1 z3

1

y2 z2，

2

y3 z1

可得二次型的规范形为

22

f z12 z2 z3。

（2） 在复数域上，若作非退化线性替换

y1 iz1

1

y2 z2，

2

y3 z1

可得二次型的规范形为

22

z3。 f z12 z2

2）已求得二次型

222

f x1,x2,x3 x1 2x1x2 2x2 4x2x3 4x3

的标准形为

2

f y12 y2，

且非退化线性替换为

x1 y1 y2 2y3

x2 y2 2y3，

x y

3 3

故该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形 f y1 y2。 3）已求得二次型

22

f x1,x2,x3 x1 3x2 2x1x2 2x1x3 6x2x3

22

的标准形为

f y1 y2， 且非退化线性替换为

13

x y y y3

12 1

22

11 x y y3 2， 2

22

x3 y3

2

2

（1） 在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即

2

f y12 y2。

（2） 在复数域上，若作非退化线性替换 y1 z1

y2 iz2。

y z

3 3

可得二次型的规范形为

2

f z12 z2。

（3） 已求得二次型

f x1,x2,x3,x4 8x1x2 2x3x4 2x2x3 8x2x4 的标准形为

222

2y3 8y4， f 2y12 2y2

且非退化线性替换为

x1 x2

x3 x4

12y1

54y2

34y3 y4

y2 y3 y2 y3

12y1 y4

，

（1） 在实数域上，若作非退化线性替换

y1 y 2

y3 y4

121212122

z4z2

，

z3z1

可得二次型的规范形为

2222

f z1 z2 z3 z2。

（2）在复数域上，若作非退化线性替换

y1 y 2

y3 y4

i212i21

z1z2

，

z3z4

22

可得二次型的规范形为

222

f z12 z2 z3 z2。

（5）已求得二次型

f x1,x2,x3,x4 x1x2 x1x3 x1x4 x2x3 x2x4 x3x4 的标准形为

f y1 y2 y3 且非退化线性替换为

x1 x 2

x3 x4

y1 y2 y3

12y412y4

2

2

2

34

y4，

2

y1 y2 y3 y3 y4

12y4

，

（1） 在实数域上，若作非退化线性替换 y1

y2

y3

y4

z2 z1 z3 23z4

，

可得二次型的规范形为

2222

f z1 z2 z3 z4。

（2） 在复数域上，若作非退化线性替换 y1 y2

y3

y4

iz1 z2 iz3 23iz4

，

可得二次型的规范形为

222

f z12 z2 z3 z4。

6）已求得二次型

22 f x1,x2,x3,x4 x12 2x2 x4 4x1x2 4x1x3 2x1x4

2x2x3 2x2x4 2x3x4 的标准形为

2 f y12 2y2

12

y3，

2

且非退化线性替换为

x1

x

2

x3 x4

y1 2y2 y3 y4 y2

32y3 y4

。

y3 y4 y4

（1）在实数域上，若作非退化线性替换 y1

y2

y 3 y4

z2

12z3

，

2z1

z4

可得二次型的规范形为

222

f z1 z2 z3。

（2）在复数域上，若作非退化线性替换 y1 y2

y 3 y4

iz1

i2z2

，

2z3

z4

可得二次型的规范形为

222

f z1 z2 z3。

7）已求得二次型

222

f x1,x2,x3,x4 x1 2x2 x4 4x1x2 4x1x3 2x1x4

2x2x3 2x2x4 2x3x4 的标准形为

222

f y2 y y y，

1224且非退化线性替换为 x y 1

1

x y

2

2 y4。

x3 y1 y4 x4

y1 y3 y4

（1）在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即

f y22 y22

1 y22 y4。

（2） 在复数域上，若作非退化线性替换 y z 1

1 y2

z

2 y3 z，

3 y4

iz4

可得二次型的规范形为

f z2 z222

12 z3 z4。

2．证明：秩等于r的对称矩阵可以表成r个秩等于1的对称矩阵之和。 证 由题设知A A 且rank(A) r，于是存在可逆矩阵C使 C AC D， 且D为对角阵，又因为C ,C

1

,

C

1

C

1

均为可逆矩阵，所以有

C AC D1 D2 Dr， 其中

0

d1

0d

2

D 0

D

1

2 0

dr

, , ,Dr

0

0

于是

A C 1

D1

D2 Dr C

1

C

1 D1

C

1

C

1

D

C 1

1

2

C

D

r

C

1

。

0

0

因

1 1

rank C DiC 1 i 1,2, ,r ，

且

1 1 1 1 1 1

C DiC C DiC C DiC。

即 C

1

DC

i

1

都是对称矩阵，故A可表成r个秩为1的对称矩阵之和。

3．证明： 1

i1

与

n

2

i

2

in

合同，其中i1i2 in是1,2, ,n的一个排列。

证 题中两个矩阵分别设为A,B，与它们相应的二次型分别为

222

fA 1x1 2x2 nxn，

fB i1y1 i2y2 inyn， 作非退化的线性替换

yt xi t 1,2, ,n ，

t

222

则fB可化成fA。故A与B合同。 4．设A是一个n阶矩阵，证明：

1）A是反对称矩阵当且仅当对任一个n维向量X，有X AX 0。

2）如果A是对称矩阵，且对任一个n维向量X有X AX 0，那么A 0。 证 1）必要性。因为A A ，即aii 0,aij aji i j ，所以 X AX 由于aij aji 0，故 X AX

a

i,j

ij

xixj

a

i j

ij

aji xixj

a

i j

ij

aji xixj 0。

充分性。因为 X Rn，有X AX 0，即

22

a11x1 a12 a21 x1x2 x1n an1 x1xn a22x2

2

a2n an2 x2xn annxn 0，

这说明原式是一个多元零多项式，故有

a11 a22 ann 0, aij aji i j ， 即A A。

2）由于A是对称的，且X AX 0，即

2 a11x12 2a12x1x2 2a1nx1xn a22x2

2 2a2nx2xn annxn 0，

这说明X AX为一个多元零多项式，故有 a11 a22 ann 0， 2aij 0 aij aji 0，

即A 0。

5．如果把实n阶对称矩阵按合同分类，即两个实n阶对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共有几类？

解 实对称矩阵A与B合同的充要条件为存在可逆矩阵T与C使

d1

T BT C AC

D。 0

d2

dr

下面考虑对角矩阵D的相应二次型的合同分类情况，在di i 1,2, ,r 中可分为

rr 1

个个 个个个

正，正，

01

个个 个个个

负负 负负负

210

正，r 2正，r 1正，

r

共计r 1个合同类。但秩r又可分别取n,n 1, ,2,1,0，故共有 1 2 3 n n 1

n 1 n 2

2

个合同类。

6．证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条

件是：它的秩等于2且符号差等于0，或者秩等于1。

证 必要性。设

f x1,x2, ,xn a1x1 a2x2 anxn b1x1 b2x2 bnxn ， 其中ai,bi i 1,2, ,n 均为实数。

1） 若上式右边的两个一次式系数成比例，即 bi kai i 1,2, ,n 不失一般性，可设a1 0，则可作非退化线性替换 y1 a1x1 a2x2 anxn

i 2, ,n yi xi

使二次型化为

f x1,x2, ,xn ky12， 故二次型f x1,x2, ,xn 的秩为1。

2） 若两个一次式系数不成比例，不妨设

a1b1

a2b2

，则可作非退化线性替换

y1 a1x1 a2x2 anxn

y2 b1x1 b2x2 bnxn，

y x i 3, ,n i i

使

f x1,x2, ,xn y1y2。 再令

y1 z1 z2

y2 z1 z2，

y z i 3, ,n i i

则二次型可化为

22

f x1,x2, ,xn y1y2 z1 z2，

故二次型f x1,x2, ,xn 的秩为2，且符号差为0。

充分性。1）若f x1,x2, ,xn 的秩为1，则可经非退化线性替换Z CY使二次型化为

2

f x1,x2, ,xn ky1，