高等代数(北大版)第5章习题参考答案[1]
时间:2025-03-07
时间:2025-03-07
第五章 二次型
1.用非退化线性替换化下列二次型为标准形,并利用矩阵验算所得结果。 1) 4x1x2 2x1x3 2x2x3;
2)x2 2x22
11x2 2x2 4x2x3 4x3;
3)x2 3x212 2x1x2 2x1x3 6x2x3;
4)8x1x4 2x3x4 2x2x3 8x2x4; 5)x1x2 x1x3 x1x4 x2x3 x2x4 x3x4;
6)x221 2x2
x2
4 4x1x2 4x1x3 2x1x4 2x2x3 2x2x4 2x3x4;7)x2222
1 x2 x3 x4 2x1x2 2x2x3 2x3x4。
解 1)已知 f x1,x2,x3 4x1x2 2x1x3 2x2x3, 先作非退化线性替换
x1 y1 y2
x2 y1 y2 (1)
x3
y
3则
f x22
1,x2,x3 4y1 4y2 4y1y3
4y2222
1 4y1y3 y3 y3 4y2
2y3
2
1 y3 y3 4y2
2,
再作非退化线性替换
y1
112z1 2
z3
y2 z2 y3 z
3
则原二次型的标准形为
f x,x222
12,x3 z1 4z2 z3,
最后将(2)代入(1),可得非退化线性替换为
2) (
11 x z z z3
12 1
22
11
x2 z1 z2 z3 (3)
22
x3 z3
于是相应的替换矩阵为 1
T 1
0
1 10
10 20 0 1 0
010
11 22 10
2 1
0
0 10
1 2 1 , 2 1
且有
1
T AT 0
0
040
0 0 。 1
222
2)已知f x1,x2,x3 x1 2x1x2 2x2 4x2x3 4x3,
由配方法可得
2222
f x1,x2,x3 x1 2x1x2 x2 x2 4x2x3 4x3
x1 x2 x2 2x3 ,
2
2
于是可令
y1 x1 x2
y2 x2 2x3,
y x
3 3
则原二次型的标准形为
22
f x1,x2,x3 y1 y2,
且非退化线性替换为
x1 y1 y2 2y3
x2 y2 2y3,
x y
3 3
相应的替换矩阵为 1
T 0
0
110
2 2 , 1
且有
1
T AT 1
2
01 2
0 1 0 1 1 0
122
0 1
2 0 4 0
110
2 1
2 0
1 0
010
0
0 。 0
2
(3)已知f x1,x2,x3 x12 3x2 2x1x2 2x1x3 6x2x3,
由配方法可得
2222 f x1,x2,x3 x12 2x1x2 2x1x3 2x2x3 x2 x3 4x2 4x2x3 x3
x1 x2 x3 2x2 x3 ,
2
2
于是可令
y1 x1 x2 x3
y2 2x2 x3,
y x
3 3
则原二次型的标准形为
22
f x1,x2,x3 y1 y2,
且非退化线性替换为
13
x y y y3
12 1
22
11
x2 y2 y3,
22
x3 y3
相应的替换矩阵为 1
T 0
0
12120
3 2 1
, 2 1
12120
3
2 11 02 1 0
且有
11
T AT
2 3 2
0121 2
0 1 0 1 11
1 3 3
11 3 0
0 0
0 10
0 0 。 0
(4)已知f x1,x2,x3,x4 8x1x2 2x3x4 2x2x3 8x2x4,
先作非退化线性替换 x1 x2
x3 x 4
y1 y4 y2 y3 y4
,
则
2
f x1,x2,x3,x4 8y1y4 8y4 2y3y4 2y2y3 8y2y4
2
21111 1 1
8 y4 2y4 y1 y2 y3 y1 y2 y3
2828 2 2
11 1
8 y1 y2 y3 2y2y3
28 2
111 1
8 y1 y2 y3 y4 2 y1 y2 y3 2y2y3,
284 2
2
2
2
再作非退化线性替换
y1 y2
y3 y 4
z1
z2 z3 z2 z3 z4
,
则
5353 1
f x1,x2,x3,x4 8 z1 z2 z3 z4 2 z1 z2 z3
8844 2
22
2z2 2z3,
22
再令
w1 w2
w3 w4
z1 z2 z3 12z1
58z2
38z3 z4
54x2
34x3
,
则原二次型的标准形为
2222
f x1,x2,x3,x4 2w1 2w2 2w3 8w4,
且非退化线性替换为
x1 x2
x3 x4
12
w1
54
w2
34
w3 w4
w2 w3 w2 w3
12w1 w4
,
相应的替换矩阵为 1 20
T
0 1 2
54110
341
1 0 , 0 1
10
且有
2 0
T AT
0 0
0200
00 20
0 0 。 0 8
(5)已知f x1,x2,x3,x4 x1x2 x1x3 x1x4 x2x3 x2x4 x3x4, 先作非退化线性替换
x1
x2
x3 x 4
2y1 y2 y2 y3 y4
,
则
2
f x1,x2,x3,x4 2y1y2 y2 2y1y3 2y2y3 2y1y4 2y2y4 y3y4
y1 y2 y3 y4 再作非退化线性替换
z1 z2
z3 z4
y1
2
132 2
y3 y4 y4 y1,
24
2
y1 y2 y3 y4 y3 y4
12y4
,
即
y1 y2
y3 y 4
z1
z1 z2 z3 z3 z4
34
12
z4
12
,
z4
则原二次型的标准形为
22
f x1,x2,x3,x4 z12 z2 z3
z4,
2
且非退化线性替换为
x1 x 2
x3 x4
z1 z2 z3
12z412z4
z1 z2 z3 z3 z4
12z4
,
相应的替换矩阵为
1 1
T
0 0
1100
1 110
1 2 1 2 , 1 2 1
且有
1 0
T AT 0
0
0100
00 10
0 0 0 。 3 4
222
(6)已知f x1,x2,x3,x4 x1 2x2 x4 4x1x2 4x1x3 2x1x4
2x2x3 2x2x4 2x3x4, 由配方法可得
f x1,x2,x3,x4 x1 2x1 2x2 2x3 x4 2x2 2x3 x4
2
2
2
2
2
2x2 2x3 x4 2x2 x4 2x2x3 2x2x4 2x3x4
x1 2x2 2x3 x4 于是可令
y1 y
2
y3 y4
2
311 2
2 x2 x3 x4 x3 x4 ,
222
2
x1 2x2 2x3 x4 x2
32x3
12x4
,
x3 x4 x4
12
则原二次型的标准形为
2
f y12 2y2 …… 此处隐藏:5036字,全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……
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