高等代数(北大版)第5章习题参考答案[1]

时间:2025-03-07

第五章 二次型

1.用非退化线性替换化下列二次型为标准形,并利用矩阵验算所得结果。 1) 4x1x2 2x1x3 2x2x3;

2)x2 2x22

11x2 2x2 4x2x3 4x3;

3)x2 3x212 2x1x2 2x1x3 6x2x3;

4)8x1x4 2x3x4 2x2x3 8x2x4; 5)x1x2 x1x3 x1x4 x2x3 x2x4 x3x4;

6)x221 2x2

x2

4 4x1x2 4x1x3 2x1x4 2x2x3 2x2x4 2x3x4;7)x2222

1 x2 x3 x4 2x1x2 2x2x3 2x3x4。

解 1)已知 f x1,x2,x3 4x1x2 2x1x3 2x2x3, 先作非退化线性替换

x1 y1 y2

x2 y1 y2 (1)

x3

y

3则

f x22

1,x2,x3 4y1 4y2 4y1y3

4y2222

1 4y1y3 y3 y3 4y2

2y3

2

1 y3 y3 4y2

2,

再作非退化线性替换

y1

112z1 2

z3

y2 z2 y3 z

3

则原二次型的标准形为

f x,x222

12,x3 z1 4z2 z3,

最后将(2)代入(1),可得非退化线性替换为

2) (

11 x z z z3

12 1

22

11

x2 z1 z2 z3 (3)

22

x3 z3

于是相应的替换矩阵为 1

T 1

0

1 10

10 20 0 1 0

010

11 22 10

2 1

0

0 10

1 2 1 , 2 1

且有

1

T AT 0

0

040

0 0 。 1

222

2)已知f x1,x2,x3 x1 2x1x2 2x2 4x2x3 4x3,

由配方法可得

2222

f x1,x2,x3 x1 2x1x2 x2 x2 4x2x3 4x3

x1 x2 x2 2x3 ,

2

2

于是可令

y1 x1 x2

y2 x2 2x3,

y x

3 3

则原二次型的标准形为

22

f x1,x2,x3 y1 y2,

且非退化线性替换为

x1 y1 y2 2y3

x2 y2 2y3,

x y

3 3

相应的替换矩阵为 1

T 0

0

110

2 2 , 1

且有

1

T AT 1

2

01 2

0 1 0 1 1 0

122

0 1

2 0 4 0

110

2 1

2 0

1 0

010

0

0 。 0

2

(3)已知f x1,x2,x3 x12 3x2 2x1x2 2x1x3 6x2x3,

由配方法可得

2222 f x1,x2,x3 x12 2x1x2 2x1x3 2x2x3 x2 x3 4x2 4x2x3 x3

x1 x2 x3 2x2 x3 ,

2

2

于是可令

y1 x1 x2 x3

y2 2x2 x3,

y x

3 3

则原二次型的标准形为

22

f x1,x2,x3 y1 y2,

且非退化线性替换为

13

x y y y3

12 1

22

11

x2 y2 y3,

22

x3 y3

相应的替换矩阵为 1

T 0

0

12120

3 2 1

, 2 1

12120

3

2 11 02 1 0

且有

11

T AT

2 3 2

0121 2

0 1 0 1 11

1 3 3

11 3 0

0 0

0 10

0 0 。 0

(4)已知f x1,x2,x3,x4 8x1x2 2x3x4 2x2x3 8x2x4,

先作非退化线性替换 x1 x2

x3 x 4

y1 y4 y2 y3 y4

2

f x1,x2,x3,x4 8y1y4 8y4 2y3y4 2y2y3 8y2y4

2

21111 1 1

8 y4 2y4 y1 y2 y3 y1 y2 y3

2828 2 2

11 1

8 y1 y2 y3 2y2y3

28 2

111 1

8 y1 y2 y3 y4 2 y1 y2 y3 2y2y3,

284 2

2

2

2

再作非退化线性替换

y1 y2

y3 y 4

z1

z2 z3 z2 z3 z4

5353 1

f x1,x2,x3,x4 8 z1 z2 z3 z4 2 z1 z2 z3

8844 2

22

2z2 2z3,

22

再令

w1 w2

w3 w4

z1 z2 z3 12z1

58z2

38z3 z4

54x2

34x3

则原二次型的标准形为

2222

f x1,x2,x3,x4 2w1 2w2 2w3 8w4,

且非退化线性替换为

x1 x2

x3 x4

12

w1

54

w2

34

w3 w4

w2 w3 w2 w3

12w1 w4

相应的替换矩阵为 1 20

T

0 1 2

54110

341

1 0 , 0 1

10

且有

2 0

T AT

0 0

0200

00 20

0 0 。 0 8

(5)已知f x1,x2,x3,x4 x1x2 x1x3 x1x4 x2x3 x2x4 x3x4, 先作非退化线性替换

x1

x2

x3 x 4

2y1 y2 y2 y3 y4

2

f x1,x2,x3,x4 2y1y2 y2 2y1y3 2y2y3 2y1y4 2y2y4 y3y4

y1 y2 y3 y4 再作非退化线性替换

z1 z2

z3 z4

y1

2

132 2

y3 y4 y4 y1,

24

2

y1 y2 y3 y4 y3 y4

12y4

y1 y2

y3 y 4

z1

z1 z2 z3 z3 z4

34

12

z4

12

z4

则原二次型的标准形为

22

f x1,x2,x3,x4 z12 z2 z3

z4,

2

且非退化线性替换为

x1 x 2

x3 x4

z1 z2 z3

12z412z4

z1 z2 z3 z3 z4

12z4

相应的替换矩阵为

1 1

T

0 0

1100

1 110

1 2 1 2 , 1 2 1

且有

1 0

T AT 0

0

0100

00 10

0 0 0 。 3 4

222

(6)已知f x1,x2,x3,x4 x1 2x2 x4 4x1x2 4x1x3 2x1x4

2x2x3 2x2x4 2x3x4, 由配方法可得

f x1,x2,x3,x4 x1 2x1 2x2 2x3 x4 2x2 2x3 x4

2

2

2

2

2

2x2 2x3 x4 2x2 x4 2x2x3 2x2x4 2x3x4

x1 2x2 2x3 x4 于是可令

y1 y

2

y3 y4

2

311 2

2 x2 x3 x4 x3 x4 ,

222

2

x1 2x2 2x3 x4 x2

32x3

12x4

x3 x4 x4

12

则原二次型的标准形为

2

f y12 2y2 …… 此处隐藏:5036字,全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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