弧度制下的扇形问题

224100 江苏省大丰市南阳中学 潘锦明

与扇形有关的问题是本节当中的难点，我们可以应用弧长公式l r和扇形面积公式1S r2解决一些实际问题，这类问题既充分体现了弧度制在运算上的优越性，又能帮助2

我们加深对弧度制概念的理解．我们通过以下三例帮你分析、归纳弧度制下的扇形问题．

一、直接应用弧长公式求解

例1已知扇形 的中心角为60，所在圆的半径为10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积．

解：设弧长为1，弓形面积为S弓，则 60 π，r 10cm， 3

l ar 1011πcm， S弓 S扇 S△

lr r2sin 322

π2 50 (cm) 3

二、结合三角形性质求解

例2 扇形的半径为R，其中心角 (0 ≤π)为多大时，扇形内切圆面积最大，其最大值是多少？

解：如图，设内切圆半径为r，则(R r)sin

2 r， Rsin

所以r ， 1 sin2

Rsin 2则内切圆的面积S πr π 1 sin 2

sin

因为 sin 2 πR 1 sin 2π， 22 2 1 sin2 1 1sin且0 2≤2

ππR2

所以当 ，即 π时，Smax ． 224

评注：解决扇形问题要注意三角形一些性质的应用，建立相等关系，进而求解．

三、建立二次函数进行求解

例3 已知一个扇形的周长等于20cm

，当这个扇形的圆心角取何值时，它有最大面

积，最大面积是多少？

解：设扇形的弧长为lcm，半径为rcm，扇形中心角为 ，由已知条件，得l 2r 20，即l 20 2r，

扇形的面积为：

1211ar lr (20 2r)r r2 10r (r 5)2 25． 222

当r 5时，S最大，此时l 10，

l 当这个扇形的圆心角 2时，它有最大面积，最大面积是25cm2． rS

评注：本题是利用扇形面积公式建立二次函数，进而求二次函数的最值．此题是扇形周长一定时，求扇形的面积的最大值，利用此法也可以求当扇形的面积一定求其周长的最小值问题．