高中自主招生数学部分补充知识简介

不等式---------------------

作差 作商 证明方法： 利用经典不等式 构造函数 不等式: 基本不等式 基本形式 柯西不等式 分式形式 伯努利不等式 带函数的不等式 带lnx的不等式

Part1:

柯西不等式的普通形式：( a)( b) ( aibi)2;2

i2i

i 1i 1i 1

22b32bn(b1 b2 ... bn)2b12b2 ... (分式a1a2a3ana1 a2 ... annnn

形式有什么用？竞赛跟自招中的不等式证明大部分都是分式不等式，有一部分分式不等式就可以用构造柯西不不等式的分式形式来解决)

Part2:

带lnx不等式：

a ba ba2 b2

ab (a b 0)11lna lnb22 ab

kkk ln(1 ) (k n,k与n N )(很常用，可以n 1nn

通过构造来证明大部分包含对数函数的不等式)；2

三，x 1 lnx(用来证明关于lnx的不等式)；

1111四，ln(n 1) γ o() 1 (其中，γ是欧拉常数n23n

11约为0.577，o()代表该数的值远远小于，这个式子常用来nn

111说明1 ... 是趋向于无穷大的，而且没有初等的求和23n

公式);

五，由上式可得：1 11111 ... ln(1 n) 234n2(n 1) 可以使用数学归纳法证明。

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数列与极限----------------

课内方法 求数列的通项公式： 补充：不动点法，特征方程法 等差数列 数列 常见的数列及性质 等比数列

补充：其他一些数列 等差等比或者等差乘等比 数列的求和公式： 补充：k次方的和 补充：一些特殊数列求和方法

Part1:

不动点法：最常见的不动点法处理的数列是

an 1 pan qpx q形式的，令x ran srx s

特征方程：线性递推关系即an 1 pan qan 1 ran 2.....(其中p,q,r,s....为常数)

Part2:

1 2

一些特殊数列： 2n6n 1

Part3: k次方的和： i2

i 1nn(n 1)(2n 1)6

i3 [

inn(n 1)2](k还可以取更大的值，证明方法：降次求和，2

可以找)

Part4:

sinx sin2x sin3x ... sinnx ?

cosx cos2x cos3x ...cosnx ?

利用De'Morve公式：eix cosx isinx(其中i为虚数单位)有：ei(kx) coskx isinkx(k 1,2,3....)对左边求和:

由等比数列求和公式：

左边

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方程------------------

判别式 二次方程 根与系数的关系：韦达定理 分类讨论问题 求解思路 方程 补充：三次方程 根与系数关系：韦达定理 高次方程的韦达定理 高次方程补充内容 代数基本定理 高次方程的重根判别法

Part1:

求解三次方程，一般形式的三次方程：

x3 ax2 bx c 0，通过令x' x m(m是待定的数),可以化成：x'3 nx' p 0的形式，所以只需求解x3 nx p 0形式的三次方程即可。

思路：继续换元设法令x (y),使得：

(y)3 n (y) p 0并且这是一个关于y的次数较低的方程，构造x y n(观察 (y)的值域可以知道这样3y

换元不影响原方程的根的个数)，代入：原方程化为

n3

y py 0,这是一个关于y3的二次方程，用二次27

方程求根方法求出y，再求x即可。63

Part3:

高次方程的代数基本定理：

方程anxn an 1xn 1 ... a2x2 a1x a0 0(an 0)至少有一个根(包括复根的情况)，由此该方程有n个根(包括重根).韦达定理：根据代数基本定理，任何一个n次方程均可以写成an(x xn)(x xn 1)(x xn 2)...(x x1) 0,通过比较与原方程的系数可以得到高次方程韦达定理：

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初等数论---------------------数论中最重要的问题是解不定方程：