高数完整答案!最全详解

习题

1.1

1..

pp22

证 ,p,q为互素自然数.3 2,p 3q2.3除尽p2,

qq必除尽p,否则p 3k 1或p 3k 2.p2 9k2 6k 1,p2 9k2 12k 4,3除p2将余1.故p 3k,9k2 3q2,q2 3k2,类似得3除尽q.与p,q互素矛盾.2.设p是正的素数,.

aa22

证 ,a,b为互素自然数,则p 2,a pb2,素数p除尽a2,故p除尽a,

bb

a pk.p2k2 pb2,pk2 b2.类似得p除尽b.此与a,b为互素自然数矛盾.3.解下列不等式:

(1)|x| |x 1| 3.\;(2)|x2 3| 2.

解

(1)若x 0,则 x 1 x 3,2x 2,x 1,( 1,0);若0 x 1,则x 1 x 3,1 3,(0,1);若x 1,则x x 1 3,x 3/2,(1,3/2).X ( 1,0) (0,1) (1,3/2).

(2) 2 x2 3 2,1 x2 5,1 |x|2 5,1 |x| x ( 1).4.

设a,b为任意实数,(1)证明|a b| |a| |b|;(2)设|a b| 1,证明|a| |b| 1.证(1)|a| |a b ( b)| |a b| | b| |a b| |b|,|a b| |a| |b|.(2)|a| |b (a b)| |b| |a b| |b| 1.5.解下列不等式:

(1)|x 6| 0.1;(2)|x a| l.

解(1)x 6 0.1或x 6 0.1.x 5.9或x 6.1.X ( , 6.1) ( 5.9, ).(2)若l 0,X (a l, ) ( ,a l);若l 0,x a;若l 0,X ( , ).

a 1

6.若a 1,证明0 1 ,其中n为自然数.

n证若a 1, b 1.a 1 1 1)(bn 1 bn 2 1) n1).7.设(a,b)为任意一个开区间,证明(a,b)中必有有理数.

证

取自然数n 满足1/10n b a.考虑有理数集合

m

A=An n|m Z}. 若An (a,b) ,则A B C,B A {x|x b},

10

C A {x|x a}.B中有最小数m0/10n,(m0 1)/10n C,b a m0/10n-(m0 1)/10n=1/10n,此与n的选取矛盾. 8.设(a,b)为任意一个开区间,证明(a,b)中必有无理数.证取自然数n 满足1/10n b a.考虑无理数集合An

m

|m Z}. 以下仿8题.10n

习题1.2

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13.证明函数y (1, )内是有界函数.

证y

x 1).

x6 x4 x2

13.研究函数y 1 x6

在( , )内是否有界. 1x6 x4 x2x6 x4 x2解|x|3x6

1 x6 3,|x| 1时,1 x6

x

6 3,|y| y 3,x ( , ).习题

1.4

1.直接用 - 说法证明下列各极限等式:(1)lim

x a

a 0);(2)limx a

x2 a2;(3)limx a

ex ea;(4)limx a

cosx cosa.

证(1) 0,要使

,由于

只需

,|x a| .取 ,则当|x a| 时,| ,故lim

x a

(2) 0,不妨设|x a| 1.要使|x2 a2| |x a||x a| ,由于|x a| |x a| |2a| 1 |2a|,只需(1 |2a|)|x a| ,|x a|

1 |2a|

.取 min{

1 |2a|

,1},则当|x a| 时,

|x2 a2| ,故limx2 a2x a

.

(3) 0,设x a.要使|ex ea| ea(ex a 1) ,即0 (ex a 1)

e

,1 ex a 1

e,

0 x a ln

1 ea ,取 min{1 |2a|,1},则当0 x a 时,|ex ea| ,

故lima

ex ea. 类似证xlim a

ex ea.故limx a

ex eax .

(4) 0,要使|cosx cosa| 2sin

x a2sinx a2 2sinx a2sinx a

2

|x a|,取 ,则当|x a| 时,|cosx cosa| ,故limx a

cosx cosa.

2.设limx a

f(x) l,证明存在a的一个空心邻域(a ,a) (a,a ),使得函数u f(x)在

该邻域内使有界函数.

证对于 1,存在 0,使得当 0 |x-a| 时,|f(x) l| 1,从而|f(x)| |f(x) l l| |f(x) l| |l| 1 |l| M. 3.

求下列极限:2(1)lim

(1 x)2 12x lim2x xx 0

x 02x limx 0(1 x

2

1. x x 2

2

(2)lim1 cosx2sin 2 sin x 0x limx 0x 12limx 0 2 1 12 1.

22 2 (3)lim

x 0

lim

x 0

a 0).

(4)lim

x2 x 2x 12x2 2x 3 2

3

.(5)limx2 x 2x 02x2 2x 3 2

3.

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(2x 3)20(2x 2)10230

(6)limx (2x 1)30 230 1.(7)lim

x 0

x

x 0 1.3 x2 x 1 3x2(8)lim x 1 1

x 1 x 2x3 1 limx 1(x 1)(x2 x 1) limx 1(x 1)(x2 x 1) lim(x 1)(x 2)(x 2) 3

x 1(x 1)(x2

x 1) limx 1(x2 x 1) 3 1.(9)

x x 4

x

2 46 4

3

.

ny

n(n 1)(10)limxn 1n

y2

ynx 1x 1 lim(1 y) 1y 0y limy 0y

n.(11)limx

x

0.

am 1(12)lim0x a

1xm

amx 0b

0xn b1xn

1

b(bam

n

0) n

b

.nm

m 1

(13)lima

0x a1x

a a0/b0,m nmx b(a

n

n 10

b0 0)

0, 0x

b1x bn m

n

, m n

.

(14)lim

x

x2 1

limx 1 1/x2

1.

(15)lim

x 0x x

2 lim

)

x 0

(x x2

)

lim

5x

x

0

x(1 x

)

lim55

x 0(1 x

)

3

.(16)a 0,xl im a xlim a 0 xlim a 0

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xlim a 0 xlim a 0 x

4.利用limsinxx x 1及

lim 1 x 1 x e求下列极限:

(1)limsin xx 0tan x limsin xx 0sin xlimx 0cos x .sin(2x2)sin(2x2)2x2(2)limx 3x limx 02x2limx 03x

1 0 0(3)limtan3x sin2xtan3xsin2xx 0sin5x limx 0sin5x limx 0sin5x 35 25 15

.(4)xlim 0 xlimx

0 2cosx asin

x a(5)limsinx sinax ax a

limx a cosa.2 k

x

x

(6)lim k x

1 x lim k k

k) x

x

1 x

k k lim e k.

x 1 x (7)lim(11/y

1/(5y) 5

y 0

5y)

lim(1 5y) y 0

e 5.

x 100

(8)lim x 1 1 1 x

1

100

x limx

1 x limx 1 x

e.5.给出limx a

f(x) 及xlim

f(x) 的严格定义.

limx af(x) :对于任意给定的A 0,存在 0,使得当0 |x-a| 时f(x) A.

xlim

f(x) :对于任意给定的A 0,存在 0,使得当x 时f(x) A.

习题1.5

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1.试用 说法证明x 0连续(2)sin5x在任意一点x a连续.证(1) 0,要使||

2 .2 x2,只需

x2 ,|x| 取 则当|x| 时有|| ,x 0连续.

5x 5a5(x a)

(2)(1) 0,要使|sin5x sin5a| 2|cos||sin| .

22

5x 5a5(x a)

由于2| …… 此处隐藏：11044字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……