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习题

1.1

1..

pp22

证 ,p,q为互素自然数.3 2,p 3q2.3除尽p2,

qq必除尽p,否则p 3k 1或p 3k 2.p2 9k2 6k 1,p2 9k2 12k 4,3除p2将余1.故p 3k,9k2 3q2,q2 3k2,类似得3除尽q.与p,q互素矛盾.2.设p是正的素数,.

aa22

证 ,a,b为互素自然数,则p 2,a pb2,素数p除尽a2,故p除尽a,

bb

a pk.p2k2 pb2,pk2 b2.类似得p除尽b.此与a,b为互素自然数矛盾.3.解下列不等式:

(1)|x| |x 1| 3.\;(2)|x2 3| 2.

解

(1)若x 0,则 x 1 x 3,2x 2,x 1,( 1,0);若0 x 1,则x 1 x 3,1 3,(0,1);若x 1,则x x 1 3,x 3/2,(1,3/2).X ( 1,0) (0,1) (1,3/2).

(2) 2 x2 3 2,1 x2 5,1 |x|2 5,1 |x| x ( 1).4.

设a,b为任意实数,(1)证明|a b| |a| |b|;(2)设|a b| 1,证明|a| |b| 1.证(1)|a| |a b ( b)| |a b| | b| |a b| |b|,|a b| |a| |b|.(2)|a| |b (a b)| |b| |a b| |b| 1.5.解下列不等式:

(1)|x 6| 0.1;(2)|x a| l.

解(1)x 6 0.1或x 6 0.1.x 5.9或x 6.1.X ( , 6.1) ( 5.9, ).(2)若l 0,X (a l, ) ( ,a l);若l 0,x a;若l 0,X ( , ).

a 1

6.若a 1,证明0 1 ,其中n为自然数.

n证若a 1, b 1.a 1 1 1)(bn 1 bn 2 1) n1).7.设(a,b)为任意一个开区间,证明(a,b)中必有有理数.

证

取自然数n 满足1/10n b a.考虑有理数集合

m

A=An n|m Z}. 若An (a,b) ,则A B C,B A {x|x b},

10

C A {x|x a}.B中有最小数m0/10n,(m0 1)/10n C,b a m0/10n-(m0 1)/10n=1/10n,此与n的选取矛盾. 8.设(a,b)为任意一个开区间,证明(a,b)中必有无理数.证取自然数n 满足1/10n b a.考虑无理数集合An

m

|m Z}. 以下仿8题.10n

习题1.2

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13.证明函数y (1, )内是有界函数.

证y

x 1).

x6 x4 x2

13.研究函数y 1 x6

在( , )内是否有界. 1x6 x4 x2x6 x4 x2解|x|3x6

1 x6 3,|x| 1时,1 x6

x

6 3,|y| y 3,x ( , ).习题

1.4

1.直接用 - 说法证明下列各极限等式:(1)lim

x a

a 0);(2)limx a

x2 a2;(3)limx a

ex ea;(4)limx a

cosx cosa.

证(1) 0,要使

,由于

只需

,|x a| .取 ,则当|x a| 时,| ,故lim

x a

(2) 0,不妨设|x a| 1.要使|x2 a2| |x a||x a| ,由于|x a| |x a| |2a| 1 |2a|,只需(1 |2a|)|x a| ,|x a|

1 |2a|

.取 min{

1 |2a|

,1},则当|x a| 时,

|x2 a2| ,故limx2 a2x a

.

(3) 0,设x a.要使|ex ea| ea(ex a 1) ,即0 (ex a 1)

e

,1 ex a 1

e,

0 x a ln

1 ea ,取 min{1 |2a|,1},则当0 x a 时,|ex ea| ,

故lima

ex ea. 类似证xlim a

ex ea.故limx a

ex eax .

(4) 0,要使|cosx cosa| 2sin

x a2sinx a2 2sinx a2sinx a

2

|x a|,取 ,则当|x a| 时,|cosx cosa| ,故limx a

cosx cosa.

2.设limx a

f(x) l,证明存在a的一个空心邻域(a ,a) (a,a ),使得函数u f(x)在

该邻域内使有界函数.

证对于 1,存在 0,使得当 0 |x-a| 时,|f(x) l| 1,从而|f(x)| |f(x) l l| |f(x) l| |l| 1 |l| M. 3.

求下列极限:2(1)lim

(1 x)2 12x lim2x xx 0

x 02x limx 0(1 x

2

1. x x 2

2

(2)lim1 cosx2sin 2 sin x 0x limx 0x 12limx 0 2 1 12 1.

22 2 (3)lim

x 0

lim

x 0

a 0).

(4)lim

x2 x 2x 12x2 2x 3 2

3

.(5)limx2 x 2x 02x2 2x 3 2

3.

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(2x 3)20(2x 2)10230

(6)limx (2x 1)30 230 1.(7)lim

x 0

x

x 0 1.3 x2 x 1 3x2(8)lim x 1 1

x 1 x 2x3 1 limx 1(x 1)(x2 x 1) limx 1(x 1)(x2 x 1) lim(x 1)(x 2)(x 2) 3

x 1(x 1)(x2

x 1) limx 1(x2 x 1) 3 1.(9)

x x 4

x

2 46 4

3

.

ny

n(n 1)(10)limxn 1n

y2

ynx 1x 1 lim(1 y) 1y 0y limy 0y

n.(11)limx

x

0.

am 1(12)lim0x a

1xm

amx 0b

0xn b1xn

1

b(bam

n

0) n

b

.nm

m 1

(13)lima

0x a1x

a a0/b0,m nmx b(a

n

n 10

b0 0)

0, 0x

b1x bn m

n

, m n

.

(14)lim

x

x2 1

limx 1 1/x2

1.

(15)lim

x 0x x

2 lim

)

x 0

(x x2

)

lim

5x

x

0

x(1 x

)

lim55

x 0(1 x

)

3

.(16)a 0,xl im a xlim a 0 xlim a 0

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xlim a 0 xlim a 0 x

4.利用limsinxx x 1及

lim 1 x 1 x e求下列极限:

(1)limsin xx 0tan x limsin xx 0sin xlimx 0cos x .sin(2x2)sin(2x2)2x2(2)limx 3x limx 02x2limx 03x

1 0 0(3)limtan3x sin2xtan3xsin2xx 0sin5x limx 0sin5x limx 0sin5x 35 25 15

.(4)xlim 0 xlimx

0 2cosx asin

x a(5)limsinx sinax ax a

limx a cosa.2 k

x

x

(6)lim k x

1 x lim k k

k) x

x

1 x

k k lim e k.

x 1 x (7)lim(11/y

1/(5y) 5

y 0

5y)

lim(1 5y) y 0

e 5.

x 100

(8)lim x 1 1 1 x

1

100

x limx

1 x limx 1 x

e.5.给出limx a

f(x) 及xlim

f(x) 的严格定义.

limx af(x) :对于任意给定的A 0,存在 0,使得当0 |x-a| 时f(x) A.

xlim

f(x) :对于任意给定的A 0,存在 0,使得当x 时f(x) A.

习题1.5

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1.试用 说法证明x 0连续(2)sin5x在任意一点x a连续.证(1) 0,要使||

2 .2 x2,只需

x2 ,|x| 取 则当|x| 时有|| ,x 0连续.

5x 5a5(x a)

(2)(1) 0,要使|sin5x sin5a| 2|cos||sin| .

22

5x 5a5(x a)

由于2|cos||sin| 5|x a|,只需5|x a| ,|x a| ,

225取 ,则当|x a| 时有|sin5x sin5a| ,故sin5x在任意一点x a连续.5

2.设y f(x)在x0处连续且f(x0) 0,证明存在 0使得当|x x0| 时f(x) 0.证由于f(x)在x0处连续,对于 f(x0)/2,存在存在 0使得当|x x0| 时f(x) f(x0)| f(x0)/2, 于是f(x) f(x0) f(x0)/2 f(x0)/2 0.

3.设f(x)在(a,b)上连续,证明|f(x)|在(a,b)上也连续,并且问其逆命题是否成立?证

任取 x0 (a,b),f在x0连续.任给 0,存在 0使得当|x x0| 时

|f(x) f(x0)| ,此时||f(x)| |f(x0)|| |f(x) f(x0)| ,故|f|在x0连续.其逆命题 1,x是有理数

不真,例如f(x) 处处不连续,但是|f(x)| 1处处连续.

1,x是无理数

4.适当地选取a,使下列函数处处连续:

ln(1 x), x 1,x 0,

(1)f(x) (2)f(x)

aarccos x,x 1. a x x 0;

解(1)limf(x) lim 1 f(0),limf(x) f(0) a 1.

x 0

x 0

x 0

(2)limf(x) limln(1 x) ln2 f(1),limf(x) limaarccos x a f(1) ln2,

x 1

x 1

x 1

x 1

a ln2.

5.利用初等函数的连续性及定理

3求下列极限:(1)limcos

x

coslim cos0 1.

x xx e

sin2x

x 0sin3xlim

23

(2)limx 2

(3)lime

x 0

sin2xsin3x

e.

(4)limarctan2 arctanlim2 arctan1 .x x x 1x 14

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(5) x 6.设limf(x) a 0,limg(x) b,证明lim)f(x)g(x) ab.

x x0

x x0

x x0

lim[(lnf(x))g(x)]

证lim)f(x)g(x) lim)e(lnf(x))g(x) ex x0

x x0

x x0

eblna ab.

7.指出下列函数的间断点及其类型,若是可去间断点,请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:

(1)f(x) cos (x [x]),间断点n Z,第一类间断点.(2)f(x) sgn(sinx),间断点n ,n Z,第一类间断点. x2,x 1,(3)f(x) 间断点x 1,第一类间断点.

1/2,x 1.

x2 1,0 x 1

(4)f(x) 间断点x 1,第二类间断点.

,1 x 2, sin

x 1 1

2 x,0 x 1,

(5)f(x) x,1 x 2,间断点x 2,第一类间断点.

1 ,2 x 3. 1 x

8.设y f(x)在R上是连续函数,而y g(x)在R上有定义,但在一点x0处间断.问函数h(x) f(x) g(x)及 (x) f(x)g(x)在x0点是否一定间断?解h(x) f(x) g(x)在x0点一定间断.因为如果它在x0点连续,

g(x) (f(x) g(x)) f(x)将在x0点连续,矛盾.而 (x) f(x)g(x)在x0点未必间断.例如f(x) 0,g(x) D(x).

习题1.6

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1.证明:任一奇数次实系数多项式至少有一实根.

证设P(x)是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则limP(x) ,

x

x

limP(x) ,存在A,B,A B,P(A) 0,P(B) 0,P在[A,B]连续,根据连续函数

的中间值定理,存在x0 (A,B),使得P(x0) 0.

2.设0 1,证明对于任意一个y0 R,方程y0 x sinx有解,且解是唯一的.证令f(x) x sinx,f( |y0| 1) |y0| 1 |y0| y0,

f(|y0| 1) |y0| 1 |y0| y0,f在[ |y0| 1,|y0| 1]连续,由中间值定理,存在x0 [ |y0| 1,|y0| 1],f(x0) y0.设x2 x1,

f(x2) f(x1) x2 x1 (sinx2 sinx1) x2 x1 |x2 x1| 0,故解唯一.3.设f(x)在(a,b)连续,又设x1,x2 (a,b),m1 0,m2 0,证明存在 (a,b)使得f( )

m1f(x1) m2f(x2)

.

m1 m2

m1f(x1) m2f(x1)m1f(x1) m2f(x2)m1f(x2) m2f(x2)

f(x2),

m1 m2m1 m2m1 m2

证如果f(x1) f(x2),取 x1即可.设f(x1) f(x2),则f(x1)

在[x1,x2]上利用连续函数的中间值定理即可.

4.设y f(x)在[0,1]上连续且0 f(x) 1, x [0,1].证明在存在一点t [0,1]使得

f(t) t.

证g(t) f(t) t,g(0) f(0) 0,g(1) f(1) 1 0.如果有一个等号成立,取t为0或1.如果等号都不成立,则由连续函数的中间值定理,存在t (0,1),使得g(t) 0,即f(t) t.

5.设y f(x)在[0,2]上连续,且f(0) f(2).证明在[0,2]存在两点x1与x2,使得|x1 x2| 1,且f(x1) f(x2).证令g(x) f(x 1) f(x),x [0,1].

g(0) f(1) f(0),g(1) f(2) f(1) f(0) f(1) g(0).如果g(0) 0,则f(1) f(0),取x1 0,x2 1.如果g(0) 0,则g(0),g(1)异号,由连续函数的中间值定理,存在 (0,1)使得g( ) f( 1) f( ) 0,取x1 ,x2 1.

第一章总练习题

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1.求解下列不等式:

15x 83 2.

解|5x 8|3 2.|5x 8| 6,5x 8 6或5x 8 6,x 1425或x 5.

(2)2

5

x 3 3,

解 3 2

5

x 3 3,0 x 15.

(3)|x 1| |x 2|

解(x 1)2 (x 2)2,2x 1 4x 4,x 1

2

.

2.

设y 2x |2 x|,试将x表示成y的函数.

解当x 2时,y x 2,y 4,x y 2;当x 2时,y 3x 2,y 4,x 1

3

(y 2).

y 2,y 4x 1

3

(y 2),y 4.3. 1 1

2

x的全部x.

解x x 2,4(1 x) x2 4x 4,x2 0.x 1,x 0.4.用数学归纳法证明下列等式:

(1)12 23nn 222 23 2n 2 2

n.证当n 1时,2-1 21

21 2

,等式成立.设等式对于n成立,则

12 23n 1123nn 122 23 2n 1 2 22 23 2n 2

n 1 2 n 2n 12n 4 (n 1)(n 1) 32n 2n 1 2 2n 1 2 2

n 1

,即等式对于n 1也成立.故等式对于任意正整数皆成立.n(2)1 2x 3x2

nx

n 1

1 (n 1)x nxn 1 (1 x)

2

(x 1).证当n 1时1 (1 1)xn 1x1 1(1 x)2

(1 x)2 (1 x)2 1,等式成立.

设等式对于n成立,则1 2x 3x2

nx

n 1

n 1)xn

1 (n 1)xn nxn 1 (n

(1 x)2

(n 1)x

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1 (n 1)xn nxn 1 (1 x)2(n 1)xn

(1 x)21 (n 1)xn nxn 1 (1 2x x2)(n 1)xn

(1 x)21 (n 1)xn nxn 1 (xn 2xn 1 xn 2)(n 1)

(1 x)21 (n 1)xn nxn 1 (xn 2xn 1 xn 2)(n 1)

(1 x)21 (n 2)xn 1 (n 1)xn 2 ,

(1 x)2

即等式对于n 1成立.由归纳原理,等式对于所有正整数都成立.

|2 x| |x| 2

5.设f(x)

x

(1)求f( 4),f( 1),f( 2),f(2)的值;(2)将f(x)表成分段函数;(3)当x 0时f(x)是否有极限:

(4)当x 2时是否有极限?

2 4 21 1 2 2 24 2 2

解(1)f( 4) 1,f( 1) 2,f( 2) 2,f(2) 0.

4 1 22 4/x,x 2;

(2)f(x) 2, 2 x 0;

0,x 0.

(3)无因为.limf(x) 2,limf(x) 0 limf(x).

x 0

x 0

x 0

(4)有.limf(x) lim( 4/x) 2,limf(x) lim2 2 limf(x),limf(x) 2.

x 2

x 2

x 2

x 2

x 2

x 2

6.设f(x) [x2 14],即f(x)是不超过x2 14的最大整数.

3

(1)求f(0),f ,f的值;

2

(2)f(x)在x 0处是否连续?(3)f(x)在x ?

1 3 9

解(1)f(0) [ 14] 14,f 14 6 7.f [ 12] 12.

4 2 4

(2)连续因为.limf(x) lim[y 14] 14 f(0).

x 0

y 0

(3)不连续因为.f(x) 12,f(x) 11.

xx7.设两常数a,b满足0 a b,对一切自然数n,证明:bn 1 an 1bn 1 an 1nn(1) (n 1)b;(2)(n 1)a .

b ab a

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bn 1 an 1(b a)(bn bn 1证b a a an)b a bn bn 1b bn (n 1)bn,

类似有bn 1 an 1

a (n 1)anb.

1 n

n 1

8.对n 1,2,3, ,令a1

n 1 n ,bn 1 n

.

证明:序列{an}单调上升,而序列{bn}单调下降,并且.an bn.证令a=1 1n 1,b 1 1

n

,则由7题中的不等式, 1n 1

1 n

1 1 n 1

n 1 n

(n 1) 1

1 n ,

n

n 1 n 1n 1

n

1 1 n

1 1 n 1

(n 1) 1

1 1 n

n(n 1)

n 1

n

1 1

1 n 1

1 1 n

1 n n 1 n 1

,

n

n 1 1

1 1

n 1 n 1

.

n 1

n1 1

1 1

(n 1) 1 n n 1 n 1 1 n 1 n

n 1n

n 1

n 1

(n 1) 1 1 1 1

n 1 n(n 1) 1 n

1 1 n 1

n

n 1

n 1

1 1 n 1 1 1 n 1 n

1 1 n 1

1 n 11n 1

1 n 1 n

1 1 n 1 1 n

.

2

我们证明11

1 n 1 n 1 1 n 1 .

112n 1 n 1 1 n 1 1(n 1)2

1n(n 1) 1(n 1)2

.最后不等式显然成立.n

n 1

nn 1

当n 时, 1 1 1

n e, 1 n

e,故 1 1

1 n e 1 n

.

9.求极限

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1 1 1 1

lim 1 2 1 2 1 2 1 2 n

2 3 4 n

1 1 1 1

解 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 4 n 132435nn 11n 11 (n ).223344nnn22

nx

10.作函数f(x) lim2(a 0)的图形.

n nx a

0, x 0;nx

解f(x) lim2

n nx a 1/x,x 0.

11.在§2关于有界函数的定义下,证明函数f(x)在区间[a,b]上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数M使得|f(x)| M, x [a,b].

证设存在常数M1,N使得M1 f(x) N, x [a,b],取M max{|M1|,|N|} 1,则有|f(x)| M, x [a,b].

反之,若存在一个正的常数M使得|f(x)| M, x [a,b],则 M f(x) M, x [a,b].12.证明:若函数y f(x)及y g(x)在[a,b]上均为有界函数,则f(x) g(x)及f(x)g(x)也都是[a,b]上的有界函数.

证存在M1,M2,|f(x)| M1,|g(x)| M2, x [a,b].|f(x) g(x)| |f(x)| |g(x)| M1 M2,|f(x)g(x)| |f(x)||g(x)| M1M2, x [a,b].13.证明:f(x)

1

cos在x 0的任一邻域内都是无界的,但当x 0时f(x)不是无穷大量.xx

11

证任取一个邻域( , ), 0和M 0,取正整数n,满足 和n M,则f( n M,

nn

1

故f(x)在( , )无界.但是xn 0,f(xn) (2n 1/2)cos(2n 1/2) 0 ,

2n 1/2

故当x 0时f(x)不是无穷大量.

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14.证明limn(x 1) lnx(x 0).

n

1

1lnx

证令x 1 yn,则lnx ln(1 y),n .limyn limxn 1 0.

n nln(1 y)n

1

n

1n

ln(1 y)

注意到lim limln(1 y)y lnlim(1 y)y lne 1,

y 0y 0y 0y我们有n(x 1)

1

n

11

ynlnx

lnx(n ).

ln(1 yn)

15.设f(x)及g(x)在实轴上有定义且连续.证明:若f(x)与g(x)在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.

证任取一个无理数x0,取有理数序列xn x0,f(x0) limf(xn) limg(xn) g(x0).

n

n

16.证明lim

1 cosx1

.2x 0x2

2sin2

x22

1 cosx2siny1siny121 lim证lim lim lim 1 . y 0 222x 0x 0y 0xx4y2 y 22

ln(1 y)ex a ex

17.证明:(1)lim 1;(2)lim ea.

y 0x 0yxln(1 y)

证(1)lim limln(1 y)y lnlim(1 y)y lne 1.

y 0y 0y 0y

ex a eaea(ex 1)ex 1ay1a

(2)lim lim elim elim ea

x 0x 0x 0y 0ln(1 y) xxxlim

y 0y

1

ea ea.

1

18.设y f(x)在a点附近有定义且有极限limf(x) 0,又设y g(x)在a点附近有

x a

1

1

定义,且是有界函数.证明limf(x)g(x) 0.

x a

证设|g(x)| M,0 |x a| 0.对于任意 0,存在 1 0,使得当0 |x a| 1时|f(x)| /M.令 min{ 1, 0},则0 |x a| 时,|f(x)g(x)| |f(x)||g(x)|

M

M ,故limf(x)g(x) 0.

x a

19.设y f(x)在( , )中连续,又设c为正的常数,定义g(x)如下 f(x) 当|f(x)| c

g(x) c 当f(x) c

c 当f(x) c 试画出g(x)的略图,并证明g(x)在( , )上连续.

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证(一)若|f(x0)| c,则存在 0 0,当|x x0| 0时|f(x)|<c,g(x)=f(x),

x x0

limg(x) limf(x) f(x0) g(x0).

x x0

若f(x0) c,则存在 0 0,当|x x0| 0时f(x) c,g(x)=c,

x x0

limg(x) limc c g(x0).

x x0

若f(x0) c,则g(x0) c.对于任意 0,不妨设 c,存在 0,使得当|x x0| 时|f(x) c| .设|x x0| .若f(x) c,则g(x) f(x),|g(x) g(x0)| |f(x) c| ,若f(x) c, 则g(x) c,|g(x)-g(x0)| 0 .

证(二)利用g(x) min{f(x),c} max{f(x), c} f(x).max{f1(x),f2(x)} (|f1(x) f2(x)| f1(x) f2(x))/2.min{f1(x),f2(x)} ( |f1(x) f2(x)| (f1(x) f2(x))/2.1

20.设f(x)在[a,b]上连续,又设 [f(x1) f(x2) f(x3)],

3

其中x1,x2,x3 [a,b].证明存在一点c [a,b],使得f(c) .证若f(x1) f(x2) f(x3),则 f(x1),取c x1即可.

否则设f(x1) min{f(x1),f(x2),f(x3)},f(x3) min{f(x1),f(x2),f(x3)},

f(x1) f(x3),f在[x1,x3]连续,根据连续函数的中间值定理,存在一点c [a,b],使得f(c) .

21.设 y f(x)在点x0连续而g(x)在点x0附近有定义,但在x0不连续问kf(x) lg(x)是否在x0连续,其中k,l为常数.

解如果l 0,kf(x) lg(x)在x0连续;如果l 0,kf(x) lg(x)在x0不连续,因否则g(x) [[kf(x) lg(x)] kf(x)]/l将在x0连续.22.证明Dirichlet函数处处不连续.

x0,则D(xn ) 0;证任意取x0.取有理数列xn x0,则D(xn) 1;取无理数列xn故limD(x)不存在,D(x)在x0不连续.

x x0

23.求下列极限:

1 1 x

(1)lim 0;(2)lim(arctanx)sin 0 0; x 1 2xx x2

tan5xtan5x/x5

(3)lim lim 5.x 0ln(1 x2) sinxx 0x[[ln(1 x2)]/x2] sinx/x1(4)x 1

|x|

lim(1 y)1/y e.

y 0

24.设函数y f(x)在[0, )内连续,且满足0 f(x) x.设a1 0是一任意数,并假定a2 f(a1),a3 f(a2), ,一般地an 1 f(an).试证明{an}单调递减,且极限liman存在.

n

若l liman,则l是方程f(x) x的根,即f(l) l.

n

证an 1 f(an) an,{an}单调递减.又an 1 f(an) 0(n 1,2,),{an}单调递减有下界,

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故an有极限.设l limn

an,则l limn

an 1 limn

f(an) f(limn

an) f(l).

25.设函数y E(x)在( , )内有定义且处处连续,并且满足下列条件:E(0) 1,E(1) e,E(x y) E(x) E(y).证明E(x) ex( x ( , )).

证用数学归纳法易得E(x1 xn) E(x1) E(xn).于是E(nx) E(x)n.设n是正整数,则E(

n) E(1 1) E(1)n en.

1 E(0) E(n ( n)) E(n) E( n) en E( n),E( n) e n.于对于任意整数E(n) en.

对于任意整数n,E(1) E(n 1n) E(n) E(11

n

11n) e E(n), E(n) en.

m

m

E(m) E(m 1) E(1)

1 m en ennn n.即对于所有有理数r,E(r) er.

对于无理数x,取有理数列xn x,由E(x)的连续性,

E(x) limE(xxn) limen

nlim

xn

n

n

e

(ex的连续性) ex.

习题2.1

1.设一物质细杆的长为l,其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点.O,杆所在直线为x轴设从左端点到.细杆上任一点x之间那一段的质量为m(x) 2x2(0 x l)(1)给自变量x一个增量 x,求的相应增量 m;(2)求比值

m

x,问它的物理意义是什么?(3)求极限 lim m

x 0 x,问它的物理意义是什么?

解(1) m 2(x x)2 2x2 2(x2 2x x x2) 2x2 2(2x x x2).(2) m2(2x x x x2) x 2(2x x). m x是x到x x那段细杆的平均线密度.

(3) m limx 0 x limx 02(2x x) 4x. limm

x 0 x

是细杆在点x的线密度.

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2.根据定义,求下列函数的导函数:(1)y ax3;(2)y p 0;(3)y sin5x.

a(x x)3 ax3

解(1)y lim

x 0 x

(x3 3

x2 x 3x x2 x3) x3

a limx 0 x

a limx 0(3x2 3x x x2) 3ax2.(2)y limx 0 lim

x 0 x

limx lim

x lim

x 2cos

5(2x x)5 x

(3)y lim

sin5(x x) sin5x

2sin2 x 0 x lim

x 0 x

2 5cos5(2x x)5 x5 x lim2

2sin25(2x x)sin

x 05 x 5 limx 0cos2

lim5 x2x 0 5cos5x.22

3.求下列曲线y f(x)在指定点M(x0,f(x0))处的切线方程:(1)y 2x,M(0,1); (2)y x2 2,B(3,11).

解(1)y 2xln2,y (0) ln2,切线方程y 1 ln2(x-0),y (ln2)x 1.

(2)y 2x,y (3) 6,切线方程:y 11 6(x 3).

4.试求抛物线y2 2px(p 0)上任一点M(x,y)(x 0,y 0)处的切线斜率,并证明:从抛物线的焦点F p 2,0

发射光线时,其反射线一定平行于x轴.

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证y y

pp

,过点M的切线PMN方程：Y y (X x).

y

y

py2

切线与x轴交点N(X0,0), y (X0 x),X0 x x.

yppFN x,FM 2p x FN,故 FNM FMN.

2过M作PQ平行于x轴,则 PMQ FNM FMN.

5.曲线y x2 2x 3上哪一点的切线与直线y 4x 1平行,并求曲线在该点的切线和法线方程.

解 y 2x 2 4,x0 1,y0 6,k 4

125 1

切线方程:y 6 4(x 1),y 4x 2.法线方程:y 6 (x 1),y x .

44 4

6.离地球中心r处的重力加速度g是r的函数,其表达式为

GMr

,r R; R3

g(r) 其中R是地球的半径,M是地球的质量,G是引力常数.

GM , r R2 r

(1)问g(r)是否为r的连续函数:(2)作g(r)的草图;

(3)g(r)是否是r的可导函数.

解明显地,r R时g(r)连续.limg(r) lim

r R

GMrGM

2,

r R R3R

r R

limg(r) lim

GMGM

2 limg(r),g(r)在r R连续.

r R r2r R R

(2)

(3)r R时g(r)可导.GM2GM (R) 3,g (R) 3 g (R),g(r)在r R不可导.g

RR