第3章 正弦稳态电路的分析习题解答

3.1 已知正弦电压u 10sin 314 t V，当t 0时，u 5V。求出有效值、频率、周期和初相，并画波形图。 解 有效值为 U

102

7.07V

f

3141

50Hz；T 0.02s 2 f

将 t 0, u 5V代入，有 5 10sin( )，求得初相 30 。波形图如下

3.2 正弦电流i的波形如图3.1所示，写出瞬时值表达式。

图3.1 习题3.2波形图

解 从波形见，电流i的最大值是20A，设i的瞬时值表达式为

2π i 20sin t A

T

当 t 0 时，i 10 ，所以 10 20sin ，求得 30 或 当 t 2s 时，i 20 ，所以 20 20sin

π

。 6

π 2π

2 ，求得 T 12s。

6 T

所以 i 20sin

π

t 30 。 6

3.3正弦电流i1 5cos 3 t 120 A，i2 sin(3 t 45 )A。求相位差，说明超前滞后关系。

解 若令参考正弦量初相位为零，则i1的初相位 1 90 120 30 ，而i2初相位

2 45 ，其相位差 1 2 30 45 75 ， 所以i1滞后于i275 角，或i2

超前i175 角。

3.4 正弦电流和电压分别为 （1）u1 2sin(4 t 60o)V （2）u2 5cos(4 t 75 )V （3）i1 2sin(4 t 90o)A (4) i2 2cos(4 t 45 )V 写出有效值相量，画出相量图。 解 (1) U1 3 60 V，相量图如图（1） (2) u2 5cos(4 t 75 ) 5sin(4 t 15 ) V 有效值相量为 U2

52

15 V，相量图如图（2）

(3) i1 2sin 4 t 90 2sin 4 t 90 A 有效值相量为 I1

2 90 A，相量图如图（3）

(4) i2 2cos 4 t 45 52sin 4 t 45 A 有效值相量为 I2 5 45 A，相量图如图（4）

3.5 图3.2中，已知i1 22sin(2t 45 )A，i2 22cos(2t 45 )A，求iS。

图3.2 习题3.5图

解 列KCL方程，有iS i1 i2 相量关系为 ：ISm I1m I2m

2 45 22 135

2 j2-2 j2 j4V

所以 iS 4sin 2t 90 A。

3.6 图3.3中，已知u1 4sin(t 150o)V，u2 3sin(t 90o)V，求uS。

图3.3 习题3.6图

解 列KVL方程，有uS u1 u2 相量关系为 ：USm U1m U2m

4 150 3 90

V 3.46 j2 j3 6.08 124.68

所以 uS 6.08sin t 124.68 V。

3.7 图3.4（a）中，i 22sin10 t 30 A，求电压u。

（a）时域电路 （b）相量电路

图3.4 习题3.7图

解 i I 2 30A，由于u与i是非关联方向，故由图3.4（b）得 U j LI

o

j20 2 30o 40 60oV

所以 u 2sin(10 t 60o)V

3.8 某线圈电阻可以忽略，其电感为0.01H，接于电压为220V的工频交流电源上时，求电路中电流的有效值；若电源频率改为100Hz，重新求电流的有效值，并写出电流的瞬时表达式。

解 当f 50HZ时，

I

220

70.06A

2 3.14 50 0.01

i 70.2sin314 t 90 A

当f 100HZ时，

I

220

35.03A

2 3.14 100 0.01

i 35.2sin628 t 90 A

3.9 求图3.5中电流表和电压表的读数。

图3.5 习题3.9电路图

解 (a) I

2

I12 I2 2 22 2.24A

(b) I I1 I2 2 1 1A

22

(c) U 1 U2 2.24V

(d) U 1 U2 2 1 1V

3.10 求图3.6所示电路ab端的等效阻抗Z及导纳Y。

图3.6 习题3.10电路图

解 (a) Z 6 j10

2 j2 j4 6 j10 8 j8 10 j10 10

2 j2 j4

2 j2

2 45

Y

11 0.07 45 S Z2 45

6 j83 j4 j48 (3 j4) j12 (6 j8)

5.94 14

6 j83 j42 25

(b) Z

Y

11 0.17 14 S Z5.94 14

3.11 在图3.7所示电路中，已知u 2sin(314t)V，i2 2sin(314t 60 )A，求电阻R及电容C。

图3.7 习题3.11电路图

解 Z

UI

220 0

22 60 11 j19

10 60

1

19 ，C 167.6μF C

3.12 一电感线圈接在30V的直流电源上时，其电流为1A，如果接在30V、50HzR 11 ，

的正弦交流电源时，其电流为0.6A，求线圈的电阻和电感。 解 R

30

30 1

30

R2 ( L)2 302 ( L)2 0.6

( L)2 502 302

L

40

127.4mH

2 3.14 50

3.13 已知uS 2sin 100 t V，试求图3.8中的电压u。

(a) 电路 (b) 相量模型

图3.8 习题3.13电路图

解 将时域模型转化为相量模型如图（b）所示。利用分压公式得

Um

2 j2

j42 j2

2 0 2 0 2 45 V

2 j24 j4

1 j1

2 j2

u 2sin 100t 45 V

3.14 求图3.9所示电路的各支路电流。

图3.9 习题3.14电路图

解 输入阻抗 1

j2 1 j1 3 j2 1 j1

I

4 0 4

A 3

j2j244

I 2 45 A 由分流公式得 I1

1 j1 j21 j133

1 j1 1 j144

I2 I 90 A

1 j1 j21 j133

3.15 已知图3.10中的UR UL 10V，R 10 ，XC 10 ，求IS

图3.10 习题3.15电路图

解 IC

UR UL10 j10

2 135 A

jXC j10

UR

IS IC 1 1 j1 j1A

10

3.16 已知图3.11中的uC 5sin(4t 90 )(V)，求i、uR、uL及uS，并画相量图。

图3.11 习题3.16电路图 习题3.16相量图

解 Im j CUCm j4

1

5 90 2.5A，i 2.5sin(4t)A 8

URm RIm 2.5 8 20V，uR 20sin(4t)V

ULm j LIm j2 4 2.5 j20V，uL 20sin(4t 90 )V

V USm URm ULm UCm 20 j20 j5 20 j15 25 36.87

uS 25sin(4t 36.87 )V

3.17 利用支路电流法求图3.12中各支路电流。

图3.12 习题3.17电路图

解 列KCL、KVL方程为

I1 I2 0.5

5 j5 I1 5 j10I2 0

整理得 5 j5 I1 5 j10 0.5 I1 0

5 j5 I1 5 j5

I1

5 j5

1 90 A

5 j5

I2 0.5 I1 0.5 j 1.12 63.46A

3.18 利用支路电流法求图3.13所示电路的电流I。

图3.13 习题3.18电路图

解 列KCL、KVL方程为

I1 I I2 0

8I1 4 j4 I 12 0

4 j4 I j4I2 j8

3 j I1 1 j I2 3 0

整理得

1 j I1 I2 j2

I1

1 j2

3 j1 j9

3 j

I2

I I1 I2

j7

2.2 71.57 A 3 j

3.19 用节点法求图3.14中的电压U。

图3.14 习题3.19电路图

解 节点a： 3 0

VaVaVa Vb

0 2 j1j2

节点b：

Va VbVbVb 0 j2 j22

1 j1 Va jVb 6

整理得：

jVa Vb 0

6　12 j66 j12

，　Vb 求得 Va 2 j55

则 U Vb Va

18 j6

3.79 161.56 V 5

3.20 用节点法求图3.15中的电压U。

图3.15 习题3.20电路图

解

6 0 UUU 3 90

0

1 j21 j

整理得：2 1 j1 6 U 2U 2 1 j1 U j3 0

求得 U 3 j3 32 45 V

3.21 已知iS1 的电流i。

2sin 5 t 30 A，iS2 0.52sin 5 t A，用叠加原理求图3.16中

(a) 电路 (b) 相量模型

图3.16 习题3.21电路图

解 将时域模型转化为相量模型如图(b) 当电流源iS1单独工作时，利用分流公式得

I1

j1010 120 5 j8.66

1 30 A

j10 j0.2 55 j9.85 j9.8

当电流源iS2单独工作时，利用分流公式得

I2

52.5

0.5 0 A

j10 j0.2 55 j9.8

I I1 I2

7.5 j8.6611.456 130.89

1.04 67.92oA

5 j9.811 62.97

i 1.2sin 5 t 67.92 A

3.22 用叠加原理计算图3.17中的电压U。

图3.17 习题3.22电路图

解 电流源单独作用时

U1

j2 j5 0.6 0 j2V

j5 j2

电压源单独作用时

U2

j5

3 0 5V

j5 j2

U U1 U2 5 j2 5.4 21.8oV

3.23 已知uS1 82sin 4 t V，uS2 32sin 4 t V，试用戴维南定理求图3.18中的电流i。

（a）电路 (b) 相量模型

图3.18 习题3.23电路图

解 将时域模型转化为相量模型如图（b）所示，将4 与j2 串联支路断开，求断开后的开路电压UOC及ZS UOC

8 3

(5 j2) 3 5.5 j 5.59 10.3oV

5 j2 5 j2(5 j2)(5 j2)

2.9

5 j2 5 j2

ZS

则 I

5.59 10.3 5.59 10.3

0.78 26.46oA

2.9 4 j27.18 16.16

i 0.2sin 4 t 26.46 A

3.24 求图3.19的戴维南和诺顿等效电路。

图3.19 习题3.24电路图

解 （1）开路电压UOC的计算

UOC 8

j4

42 45 V

4 j4

等效电阻ZS的计算

ZS

4 j4

j2 2 4 j4

短路电流ISC计算

ISC

8j4

2 45 A

j4 ( j2)j4 j24

j4 j2

其戴维南等效电路和诺顿等效电路如图a和b所示

（a） 戴维南等效电路 （b） 诺顿等效电路

3.25 在图3.20所示电路中，已知uS 42cost V ，求i、u及电压源提供的有功功率。

（a）电路 (b) 相量模型

图3.20 习题3.25电路图

解 将时域模型转化为相量模型如图（b） 用有效值相量计算，uS US 4 90V，

o

Z

1(2 j)( j) 1 j 2 45 22 j j

I1

US4 90

22 45oA Z2 45

j

I I1 2 45oA

2 j j

i 2sin t 45 A

U j(I I1) 1 j3 3.16 10.84 V u 3.2sin t 108.4 V

P USI1cos( 90 45o) 4 22 cos( 45o) 8W

3.26 日光灯可以等效为一个RL串联电路，已知30W日光灯的额定电压为220V。灯管电压为75V。若镇流器上的功率损耗可以略去，试计算电路的电流及功率因数。 解 I

P30

0.4A 7575P30 0.34

UI220 0.4

3.27 求图3.21所示电路中网络N的阻抗、有功功率、无功功率、功率因数和视在功率。

图3.21 习题3.27电路图

解 Z 1 j

4 j4

1 j 2 j2 3 j 3.16 18.4 4 j4

I

US5 0

1.58 18.4oA oZ3.16 18.4

o

网络N吸收的有功功率 P UIcos 5 1.58 cos18.4 7.5W 无功功率 Q UIsin 5 1.58 sin18.4 2.5va r功率因数

o

cos cos18.4o 0.95（滞后）

视在功率 S UI 7.9VA

3.28 某一供电站的电源设备容量是30kVA，它为一组电机和一组40W的白炽灯供电，已知电机的总功率为11kW，功率因数为0.55，试问：白炽灯可接多少只？电路的功率因数为多少？ 解 电机的视在功率：S

11

20 kVA 0.55

白炽灯消耗总功率：P 30 20 10(kW) 白炽灯可接的灯数为：

10000

250(盏) 40

11 10

0.7 30

3.29 图3.22所示电路中，已知正弦电压为US 220V，f 50Hz，其功率因数

cos 0.5，额定功率P 1.1kW。求：（1）并联电容前通过负载的电流IL及负载阻抗Z；

（2）为了提高功率因数，在感性负载上并联电容，如虚线所示，欲把功率因数提高到1应并联多大电容及并上电容后线路上的电流I。

图3.22 习题3.29电路图

解 （1）IL

P1100

10A

UScos 220 0.5

由于cos 0.5 所以 ＝60

IL 10 60oA，Z

USIL

22 60oΩ.

（2）并联电容后，I

P1100

5A

UScos 1220

IC＝ILsin60 8.66A

C＝

IC8.66

125.4μF U2 50 220

3.30 图3.23是RLC串联电路，uS 42sin( t)V。求谐振频率、品质因数、谐振时的电流和电阻两端、电感及电容两端的电压。

图3.23 习题3.30电路图

解 谐振频率

0

1LC

10.05 5 10 6

2 103rad/s

2 103 0.05 25 品质因数 Q R4

0L

谐振电流 I0

US4

1A R4

电阻两端的电压 UR US 4V

电感及电容两端的电压 UL UC QUS 25 4 100V

μH，谐振频率f0 104Hz。3.31 在RLC并联谐振电路中，已知R 10 ，L 250

求C值。 解 0

1LC

2πf0

C

1

2πf02

L

1

2π 10 250 1042

6

1.014μF

3.32 图3.24所示电路已工作在谐振状态，已知iS 32sin t A，(1) 求电路的固有谐振角频率 0，(2) 求iR、iL及iC。

图3.24 习题3.32电路图

解 0

1LC

1 14

2rad/ s

IR IS 3 0oA IL

R IS10 3 0

15 90oA j L2 1 90

1

IC j C R IS 2 90 10 3 0 15 90oA

4

故 iR 32sin 2 t A

iL 2sin(2 t 90 ) A

iC 2sin(2 t 90 ) A

3.33 图3.25所示谐振电路中，uS 2sin(1000 t)V,电流表读数是20A，电压表读数是200V，求R、L、C的参数。

图3.25 习题3.33电路图

o

解 uS US 20 0V， R

US20

1 I20

由于 0L

2001010

10， 所以 L 10mH。 20 01000

又因为 0L

1

0C

所以 C

1

02L

1 4

10F 100μF。 6 2

10 10

3.34 图3.26所示的正弦电流的频率是50Hz时，电压表和电流表的读数分别是220V和10A；当频率是200Hz时，读数为220V和5A。求R和L。