24.3 正多边形和圆

教学时间课题24．3 正多边形和圆课型新授课

教学目标知识

和

能力

1．了解正多边形与圆的关系，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念．

2．在经历探索正多边形与圆的关系过程中，学会运用圆的有关知识解决问题，并能运

用正多边形的知识解决圆的有关计算问题．

过程

和

方法

学生在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中，体会到要善于发现问题，解决问题，发

展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力和逻辑推理能力．

情感

态度

价值观

学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又服务于生活，体会

到事物之间是相互联系，相互作用的．

教学重点探索正多边形与圆的关系，了解正多边形的有关概念，并能进行计算．教学难点探索正多边形与圆的关系．

教学准备教师多媒体课件学生“五个一”

教学过程设计

问题与情境师生行为设计意图[活动1]

观看下列美丽的图案．

问题1

这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的、利用正多边形得到的物体．你能从这些图案中找出正多边形来

教师演示课件或展示图片，提

出问题1．

学生观察图案，思考并指出找

到的正多边形．

通过观看美丽的图

案，欣赏生活中正多边

形形状的物体，让学生

感受到数学来源于生

活，并从中感受到数学

美．

1

吗？

问题2

你知道正多边形和圆有什么关系吗？你能借助圆做出一个正多边形吗？

教师关注：

（1）学生能否

从这些图案中找到正

多边形；

（2）学生能否

从这些图案中发现正

多边形和圆的关系．

教师提出问题2，引导学生观

察、思考．

学生讨论、交流，发表各自见

解．

教师关注:

学生能否联想到等分圆周作

出正多边形来．

问题2的提出是为

了创设一个问题情境，

激起学生主动将所学圆

的知识与正多边形联系

起来，激发学生积极探

索，研究的热情，调动

学生学习的积极性，并

有意将注意力集中在正

多边形与圆的关系上．

[活动2]

问题1

将一个圆五等分，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是请你证明这个结论．

教师演示作图：把圆分成相等

的5段弧，依次连接各个分点得到

五边形．

教师引导学生从正多边形的

定义入手，证明多边形各边都相

等，各角都相等，引导学生观察、

分析．

教师关注：

（1）学生能否看出：将圆分

成五等份，可以得到5段相等的

弧，这些弧所对的弦也是相等的，

这些弦就是五边形的各边，进而证

明五边形的各边相等；

在活动1中学生

们发现了正多边形与圆

有着密切的关系，只要

把一个圆分成相等的一

些弧，就可以做出这个

圆的内接正多边形．

活动2的设计就

是要学生在教师的指导

下进行逻辑推理，论证

所发现的结论的正确

性，从而培养学生科学

严谨的治学态度，和运

2

问题2

如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形吗？

问题3

各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么？如果不是，举出反例．

（2）学生能否观察发现圆内

接五边形的各内角都是圆周角；

（3）学生能否发现每一个圆

周角所对弧都是三等份的弧；

（4）学生能否利用这些圆周

角所对的弧都相等，证明五边形的

各内角相等，从而证明圆内接五边

形是正五边形．

教师带领学生完成证明过程．

教师提出问题2，学生思考，

同学间交流，回答问题．

教师关注：学生是否会仿造证

明圆内接正五边形的方法证明圆

内接正n边形．

教师根据学生的回答给以总

结：

将圆n等分，依次连接各分点

得到一个n边形，这n边形一定是

正n边形．

教师提出问题3，学生讨论，

思考回答．教师关注：

（1）学生能否利用正多边形

定义进行判断；

（2）学生能否由圆内接多边

形各边相等，得到弦相等及弦所对

的弧相等，进而证明圆内接多边形

的各内角相等；

（3）学生能否举出反例说明

各角相等的圆内接多边形不一定

用所学知识解决问题的

能力．

问题2的设计是将

结论由特殊推广到一

般．这符合学生的认知

规律．并教给学生一种

研究问题的方法：由特

殊到一般．

问题3的提出是为

了巩固所学知识，使学

生明确判定圆内接多边

形是正多边形，必须满

足各边都相等，且各内

角都相等，这两个条件

3

是正多边形．

教师讲评．缺一不可．同时教给学生学会举反例，培养学生思维的批判性．

[活动3]

学生观看课件，理解概念．

例题1 有一个亭子（如图）它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0.1 m2）．

教师演示课件，给出正多边形

的中心，半径，中心角，边心距等

概念．

教师引导学生画出正六边形

图形，进行分析．

教师关注：

（1）学生能否知道欲求地基

的周长和面积，需要先求正六边形

的边长和边心距；

（2）学生能否将正六边形的

边长、半径和边心距集中在一个三

角形中来研究．

（3）学生能否将正六边形的

中心与顶点连接起来，将正六边形

分割成6个全等的等腰三角形，去

发现每个等腰三角形的顶角就是

中心角，腰是半径，底边是边长，

底边上的高是边心距，从而可以利

用勾股定理进行计算，进而能够求

得正多边形的周长和面积．

教师引导学生完成例题1的

解答．总结这一类问题的求解方

法．

教师让学生独立完成例题2，

教师巡视，个别辅导．给出正确答

例题1、2是有关正

多边形计算的具体应

用，目的是让学生在了

解有关正多边形的概念

后，通过例题的练习，

巩固所学到的知识．

学生在教师的引导

下，将正多边形的中心，

半径，中心角，边心距

等集中在一个三角形中

来研究，即将正多边形

的中心与顶点连接起

来，将正多边形分割成

n个全等的等腰三角形，

让学生们发现每个等腰

三角形的顶角为中心

角，腰为半径，底边为

边长，底边上的高为边

心距，可以利用勾股定

理进行计算．进而能够

求得正多边形的周长和

4

完成教材第105页例题案．面积．教师引导学生将

实际问题转化成数学问

题，将多边形化归成三

角形来解决．

体现了化归思想在解题

中的应用．

[活动4]

小节

学完这节课你有哪些收获？

思考题

问题1：

正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？

问题2

正n边形的半径，边心距，边长又有什么关系？

学生自己总结，不全面的由

其他学生补充完善．

教师重点关注：不同层次学

生对本节知识的理解、掌握程度．

学生独立完成，教师批改、

总结，重点关注：

（1）对学生在练习中出

现的问题，有针对性地给予分

析；

（2）学生面对探究性问题的

解决方法．

了解教学效果，及

时调整教学．

通过对实际问题的

探究，完成具体→抽象

→具体的思维螺旋上升

过程，形成应用数学的

意识，加深对本节知识

的理解．

作业设计必做教科书P107：1-4 选做教科书P108：5-8

教

学

反

思

5