考研高等数学总结笔记

总结笔记

一 函数 极限 连续

§1 函数

一 函数的基本概念

D是一个非空实数集合，设有一个对应规则f，使每一个x∈D，都有一个确定

的实数 y与之对应，则称这个对应规则 f为定义在D上的一个函数关系，或称变量y是变量x的函数，记作y

f(x), x∈D.

二 函数的基本性态

1 奇偶性

(1) 定义：偶f( x)=f(x)；奇 f( x)= f(x)。

(2) 导函数：奇导偶，偶导奇.

(3) 原函数：奇原偶, 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数, 其中

x

∫

f(x)奇 偶,

f(t)dt=

偶奇,fx()

2 有界性

(1) 定义： M>0, x∈X，有 f(x)≤M. (2) 无界： M>0, x∈X，有 f(x)>M.

(3) 无界与无穷： 无界的本质是有一个子列趋向于无穷；

无穷的本质是任意的子列趋向无穷。 (4) 常见有界的判定：设f(x)在[a,b]连续, 则f(x)在[a,b]有界.

设f(x)在(a,b)连续, 且limf(x),limf(x)存在, 则f(x)在(a,b)有界.

x→a+

x→b

3 周期性

(1) 定义：f(x+T)=f(x)

(2) 导函数：导函数还是周期函数并且周期相同 注：周期函数的原函数不一定为周期函数。

4 单调性

(1) 定义：递增(递减) 当x1<x2时，均有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2))

≠

→ →f(x)单增(减). (2) 导函数：f'(x)>(<)0← 单增(减)；f(x)≥≤f'(x)()0 ←

≠

三 各种其他的函数

1分段函数：函数关系要用两个或多于两个的数学式子来表达

2 复合函数[φ(x)]：y=f(u)与u= (x)复合而成的复合函数,u为中间变量. 3 反函数、隐函数 =

=

(1)原来的函数为y=f(x),若把y作为自变量，x作为因变量，便得一个函数

x= (y)，且f[ (y)]=y，称x= (y)为y=f(x)的反函数.

(2) 隐函数: F(x, y)=0.

4 初等函数

(1) 基本初等函数：常数，幂，指数，对数，三角，反三角.

(2) 由基本初等函数经过有限的四则运算和复合所构成的函数，称为初等函数.

§2 极限

一 极限的概念

1 数列极限： limxn=a 对于 ε>0 N>0当n>N时有 xn－a<ε.

n→∞

2 函数的极限

(1) x→x0(自变量趋向于有限值的情形)

(a)limf(x)=A x→x0,f(x)→A ε>0， δ>0，当0<|x x0|<δ时，

x→x0

有|f(x) A|<ε.

(b) limf(x)=A1(左极限) x→x0 ,f(x)→A1.

x→x0

limf(x)=A2(右极限) x→x0+,f(x)→A2.

x→x0+

(c) limf(x)=A limf(x)

x→x0

x→x0

x→x0+

limf(x)A.

(2)x→∞(自变量趋向于无穷大的情形)

(a)limf(x)=A x→∞,f(x)→A ε>0， M>0，当|x|>M时，

x→∞

有|f(x) A|<ε.

(b) limf(x)=A1 x→ ∞,f(x)→A1.

x→ ∞

limf(x)=A2 x→+∞,f(x)→A2.

x→+∞

(c) limf(x)=A limf(x)

x→∞

x→ ∞

x→+∞

limf(x)A.

(3) 常见有不同极限的函数：分段函数、ex,arctanx

二 极限的性质

1 有界性： limxn=a {xn}有界；

n→∞==

limf(x)=a δ>0,0<|x x0|<δ,f(x)有界

x→x0

2 有理运算性质：

(1) 若limf(x)=A,, limg(x)=B, 则 (a) lim[f(x)±g(x)]=A±B

x→x0

x→x0

x→x0

(x)(b) limf(x)g(x)=AB (c) limfx→xx→x

g(x)

A

(B≠0). =B

(2) 推广：加减法只要其中的一个极限存在，乘除法只要其中一个极限存在且不为0，上述运算法则就成立. (3) 延伸：若lim

x→x0

f(x)

=A，则 g(x)

=

(a) limg(x)=0 limf(x)=0; (b)limf(x)0,A≠0 limg(x)0. x→xx→xx→xx→x

3 保号性：limf(x)>(<)0 δ>0,当0<|x x0|<δ,有f(x)>(<)0

x→x0

三 极限的两个存在准则

(1)单调有界定理: 若数列{xn}单调且有界==, 则{xn}有极限. (2)夹逼准则: 设在x0的领域内恒有 (x)≤f(x)≤ψ(x), 且

x→x0

lim (x)

x→x0

limψ(x)A, 则limf(x)=A.

x→x0

四 无穷小和无穷大

1 无穷大量: 若limf(x)=∞, f(x)称为x→x0的无穷大量.

x→x0

正无穷：limf(x)=+∞； 负无穷：limf(x)= ∞.

x→x0

x→x0

2 无穷小量： 若limf(x)=0, 称f(x)是x→x0时的无穷小量。

x→x0

(1) 设f(x)、g(x)都是x→x0时的无穷小量, 若且lim

x→x0

f(x)

=l， gx(a) l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=o[g(x)],

(b) l≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。

==

(c) l=1，称f(x)与g(x)是等阶无穷小，记以f(x)~g(x). (2)若f=(x),g(x)为无穷小,且lim

f(x) g(x)

k

x→x0

c≠0,称f(x)是g(x)的k阶无穷小.

(3)无穷小的性质：无穷小乘以有界为无穷小;

有限个无穷小的和(乘积)仍然为无穷小. (4) 等价无穷小的作用: 若α'~α,β'~β, 则lim

α'α=lim. β'β

(5) 如何得到加减的等价无穷小：泰勒定理.

3 无穷小和无穷大关系: 非零无穷小的倒数为无穷大; 无穷大的倒数为无穷小.

题型一：极限概念、性质和存在准则的讨论

核心点：相关定理、定理的反问题、定理减少条件后的情形

题型二 求函数的极限

步骤1：四则运算和等价无穷小

注1：四则运算特别要注意左右极限不同的情形.

注2：常见的等价无穷小 当x→0时，sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，

1a

，()()arctanx~x，1 cosx~x2，ex 1~x，lim1+x~xx1+ 1~ax =2当x→∞时, anxn+an 1xn 1+ +a0~anxn.

步骤2：恒等变形 (1). 含u(x)v(x)的极限.

(a)若直接计算limu(x)v(x)且u(x)→1, 直接利用公 …… 此处隐藏：9400字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……