总结笔记

一 函数 极限 连续

§1 函数

一 函数的基本概念

D是一个非空实数集合，设有一个对应规则f，使每一个x∈D，都有一个确定

的实数 y与之对应，则称这个对应规则 f为定义在D上的一个函数关系，或称变量y是变量x的函数，记作y

f(x), x∈D.

二 函数的基本性态

1 奇偶性

(1) 定义：偶f( x)=f(x)；奇 f( x)= f(x)。

(2) 导函数：奇导偶，偶导奇.

(3) 原函数：奇原偶, 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数, 其中

x

∫

f(x)奇 偶,

f(t)dt=

偶奇,fx()

2 有界性

(1) 定义： M>0, x∈X，有 f(x)≤M. (2) 无界： M>0, x∈X，有 f(x)>M.

(3) 无界与无穷： 无界的本质是有一个子列趋向于无穷；

无穷的本质是任意的子列趋向无穷。 (4) 常见有界的判定：设f(x)在[a,b]连续, 则f(x)在[a,b]有界.

设f(x)在(a,b)连续, 且limf(x),limf(x)存在, 则f(x)在(a,b)有界.

x→a+

x→b

3 周期性

(1) 定义：f(x+T)=f(x)

(2) 导函数：导函数还是周期函数并且周期相同 注：周期函数的原函数不一定为周期函数。

4 单调性

(1) 定义：递增(递减) 当x1<x2时，均有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2))

≠

→ →f(x)单增(减). (2) 导函数：f'(x)>(<)0← 单增(减)；f(x)≥≤f'(x)()0 ←

≠

三 各种其他的函数

1分段函数：函数关系要用两个或多于两个的数学式子来表达

2 复合函数[φ(x)]：y=f(u)与u= (x)复合而成的复合函数,u为中间变量. 3 反函数、隐函数 =

=

(1)原来的函数为y=f(x),若把y作为自变量，x作为因变量，便得一个函数

x= (y)，且f[ (y)]=y，称x= (y)为y=f(x)的反函数.

(2) 隐函数: F(x, y)=0.

4 初等函数

(1) 基本初等函数：常数，幂，指数，对数，三角，反三角.

(2) 由基本初等函数经过有限的四则运算和复合所构成的函数，称为初等函数.

§2 极限

一 极限的概念

1 数列极限： limxn=a 对于 ε>0 N>0当n>N时有 xn－a<ε.

n→∞

2 函数的极限

(1) x→x0(自变量趋向于有限值的情形)

(a)limf(x)=A x→x0,f(x)→A ε>0， δ>0，当0<|x x0|<δ时，

x→x0

有|f(x) A|<ε.

(b) limf(x)=A1(左极限) x→x0 ,f(x)→A1.

x→x0

limf(x)=A2(右极限) x→x0+,f(x)→A2.

x→x0+

(c) limf(x)=A limf(x)

x→x0

x→x0

x→x0+

limf(x)A.

(2)x→∞(自变量趋向于无穷大的情形)

(a)limf(x)=A x→∞,f(x)→A ε>0， M>0，当|x|>M时，

x→∞

有|f(x) A|<ε.

(b) limf(x)=A1 x→ ∞,f(x)→A1.

x→ ∞

limf(x)=A2 x→+∞,f(x)→A2.

x→+∞

(c) limf(x)=A limf(x)

x→∞

x→ ∞

x→+∞

limf(x)A.

(3) 常见有不同极限的函数：分段函数、ex,arctanx

二 极限的性质

1 有界性： limxn=a {xn}有界；

n→∞==

limf(x)=a δ>0,0<|x x0|<δ,f(x)有界

x→x0

2 有理运算性质：

(1) 若limf(x)=A,, limg(x)=B, 则 (a) lim[f(x)±g(x)]=A±B

x→x0

x→x0

x→x0

(x)(b) limf(x)g(x)=AB (c) limfx→xx→x

g(x)

A

(B≠0). =B

(2) 推广：加减法只要其中的一个极限存在，乘除法只要其中一个极限存在且不为0，上述运算法则就成立. (3) 延伸：若lim

x→x0

f(x)

=A，则 g(x)

=

(a) limg(x)=0 limf(x)=0; (b)limf(x)0,A≠0 limg(x)0. x→xx→xx→xx→x

3 保号性：limf(x)>(<)0 δ>0,当0<|x x0|<δ,有f(x)>(<)0

x→x0

三 极限的两个存在准则

(1)单调有界定理: 若数列{xn}单调且有界==, 则{xn}有极限. (2)夹逼准则: 设在x0的领域内恒有 (x)≤f(x)≤ψ(x), 且

x→x0

lim (x)

x→x0

limψ(x)A, 则limf(x)=A.

x→x0

四 无穷小和无穷大

1 无穷大量: 若limf(x)=∞, f(x)称为x→x0的无穷大量.

x→x0

正无穷：limf(x)=+∞； 负无穷：limf(x)= ∞.

x→x0

x→x0

2 无穷小量： 若limf(x)=0, 称f(x)是x→x0时的无穷小量。

x→x0

(1) 设f(x)、g(x)都是x→x0时的无穷小量, 若且lim

x→x0

f(x)

=l， gx(a) l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=o[g(x)],

(b) l≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。

==

(c) l=1，称f(x)与g(x)是等阶无穷小，记以f(x)~g(x). (2)若f=(x),g(x)为无穷小,且lim

f(x) g(x)

k

x→x0

c≠0,称f(x)是g(x)的k阶无穷小.

(3)无穷小的性质：无穷小乘以有界为无穷小;

有限个无穷小的和(乘积)仍然为无穷小. (4) 等价无穷小的作用: 若α'~α,β'~β, 则lim

α'α=lim. β'β

(5) 如何得到加减的等价无穷小：泰勒定理.

3 无穷小和无穷大关系: 非零无穷小的倒数为无穷大; 无穷大的倒数为无穷小.

题型一：极限概念、性质和存在准则的讨论

核心点：相关定理、定理的反问题、定理减少条件后的情形

题型二 求函数的极限

步骤1：四则运算和等价无穷小

注1：四则运算特别要注意左右极限不同的情形.

注2：常见的等价无穷小 当x→0时，sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，

1a

，()()arctanx~x，1 cosx~x2，ex 1~x，lim1+x~xx1+ 1~ax =2当x→∞时, anxn+an 1xn 1+ +a0~anxn.

步骤2：恒等变形 (1). 含u(x)v(x)的极限.

(a)若直接计算limu(x)v(x)且u(x)→1, 直接利用公式

limu(x)v(x)

exp((u(x) 1)v(x))

(b) 将u(x)v(x)写成u(x)v(x)=exp(v(x)lnu(x))求解.

(2) 有理化变形

(3) 分子、分母同时除以最大的无穷大

∞ ∞

常见的无穷比较: x→+∞，lnx<<xα(α>0)<<xβ(β>0)<<ax(a>1)

步骤3：洛必达法则和导数定义

(1) 先进行步骤1和2，然后再用第3步, 符合洛必达法则用洛比达法则; (2) 若洛必达法则无法使用, 则利用导数定义求解, 此类问题一般为抽象型问题.

步骤3’： 泰勒定理

含：sinx,cosx,(1+x)α,ln(1+x),ex可直接利用Peano形式的泰勒定理.

题型三 求数列的极限

方法1：将n换成x, 直接利用求函数极限的方法求解.

==方法2：单调有界必有极限, 应用在递推数列求极限

==

方法3：夹逼准则.

题型四 求数列连加和的极限 方法1：直接合并 方法2：夹逼准则

一般情况下只放分母不放分子, 且必须使左右两边的放缩项极限相同.

方法3：定积分定义. 若函数f(x)在区间[0,1]上可积, 则

1nilim∑f()n→∞nni1

1

∫

1n

f(x)dx, lim∑n→∞ni1 i 1

f n

∫f(x)dx

1

题型五 已知极限求未知参数

1 若是x→∞的多项式型问题，考虑多项式的最高次数.

2 若是型, 根据分子或分母极限为0得到一个参数再求解其他参数.

§3 连续

一 连续与间断

1 连续的概念

(1) 若limf(x)=f(x0)，则称f(x)在点x0处连续。

x→x0

(2) 若lim则称函数f(x)在点x0处左连续；如果lim+f(x)=f(x0)， f(x)=f(x0)，

x→x0

x→x0

则称函数f(x)在点x0处右连续. 如果函数y=f(x)在点x0处连续，则f(x)在x0处既是左连续，又是右连续.

2 间断点的分类：非连续点limf(x)≠f(x0)

x→x0

(1) 第一类间断点: lim f(x)与lim+f(x)都存在的间断点：

x→x0

x→x0

若lim f(x)≠lim+f(x)，则称x0为跳跃型间断点.

x→x0

x→x0

若lim f(x)=lim+f(x)，则称x0为可去间断点.

x→x0

x→x0

(2) 第二类间断点: lim f(x)与lim+f(x)中至少有一个不存在的间断点

x→x0

x→x0

若lim f(x)与lim+f(x)中至少有一个为无穷大，则称x0为无穷型间断点.

x→x0

x→x0

当x→x0时函数值在摆动, 称为摆动型间断点.

（3） 间断点可能情形：定义域的端点、分段函数分段点.

二 连续函数的性质

1 连续函数运算的性质.

(1) 若f(x),g(x)在x0连续, 则f(x)±g(x),f(x)g(x)在x0连续，若还有条件 g(x0)≠0，则

f(x)

在在x0也连续. g(x)

(2) 若f(x)在x0连续,g(x)在f(x0)连续, 则g(f(x))在在x0连续. (3) 初等函数在定义域内都连续.

2 闭区间连续函数的性质: 闭区间[a,b]上的连续函数f(x) (1)（有界性定理）f(x)在[a,b]上有界。

(2) (最值定理) f(x)在[a,b]上有最大值和最小值.

(3)(介值定理) 设m,M为f(x)在[a,b]上的最小值最大值，则对 c(m<c<M)， 至少存在一点η∈(a,b)，使f(η)=c.

(4)(零点定理）若f(a) f(b)≤0，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使f(ξ)=0. 注：若f(a) f(b)<0，则至少存在一点ξ∈(a,b)，使f(ξ)=0.

题型一：讨论连续性与间断点的类型 具体函数：一般利用连续与间断的定义. 抽象函数：一般利用连续函数运算性质.

c或者方程F(x)=c有根. 题型二：证明 ξ,F(ξ)=

若具体已知了某些函数值或者函数值的等式, 用零点定理; 若没有这些信息, 一般采取介值定理, 只要证明m≤c≤M.

第二章 一元函数微分学 =

§1 导数与微分

一 导数与微分的基本概念

1 导数的概念：f'(x0)

=

x→0

lim

f(x0+ x) f(x0)

x

x→x0

lim

左导数：f+'(x0)=lim

=

f(x0+ x) f(x0)

f(x) f(x0)

x x0

f(x0+ x) f(x0)

x

x→0+

x

右导数：f '(x0)=lim

x→0

导数存在 左右导数存在且相等

=

2 微分的基本概念

(1)f(x)在x0可微：f(x0+ x) f(x0)

A x+o( x)

( x→0).

f(x)在x=x0的微分df(x)x=x0=A x=Adx =(2) f(x)在x0可微 f(x)在x0可导且A=f'(x0)

df(x)

x=x0

f'(x0) xf'(x0)dx

→f(x)在x0连续. 3 可导(微)、连续关系：f'(x0)存在 f(x)在x0可微← ≠

4 导数的几何意义：切线的斜率 题型一：可导性的讨论

核心点：导数定义，特别要对于分段函数要分左右导数讨论.

二 导数与微分的计算公式

1 导数的有理运算和复合运算法则

(1) (f1±f2)'=f1'±f2' (2) (f1f2)'(3) (

f1'f2+f1f2'

f1f'f ff'

)'=12212 (4) [f1(f2(x))]'=f1'(f2(x))f2'(x) f2f2

2 微分的有理运算和形式不变性

uvdu udv(1) d(u±v)=du±dv,d(uv)=vdu+udv,d()=

vv2(2) df(u)=f'(u)du, 不管u是最终变量还是中间变量.

3 特殊函数求导法 (1) 反函数求导：x'(y)=

1y"(x)

, x''(y)= 3

y'(x)[y'(x)]

dyy'(t)d2yy"(t)x'(t) x"(t)y'(t)

(2)参数函数求导：, 2=。 =3

dxdxx'(t)[x'(t)](3)隐函数求导三大方法：直接求导、直接微分、公式法. (4)变上限函数求导：设f(x)在[a,b]上连续，则推广:

(∫

x

a

f(t)dt'=f(x).

)

(∫

φ2(x)

φ1(x)

f(t)dt'

)

′x f φx φ′x f φxφ ()22 () 1() 1()

vn(x)

4 连环相乘的对数求导法：应用在形如f(x)=u1(x)v1(x)u2(x)v2(x) un(x)

的函数

两边取对数 lnf(x)v1(x)lnu1(x)+v2(x)lnu2(x)+ +vn(x)lnun(x) =

f'(x)从而(v1(x)lnu1(x)+v2(x)lnu2(x)+ +vn(x)lnun(x))'

f(x)=

题型二：求显函数的导师

(1) 定义：讨论可导性、分段函数求导；求函数在一点的导数. =

(2) 公式：四则、复合、对数.

题型三：隐函数和参数函数求导

隐函数求导有三种方法: 一般情形下求导和求微分的方法等价.但若只要求隐函数在某点的高阶导数(或导数)一般采取直接求导得到y',y的关系, 不采取解出

y'再求导的方法而采取直接对关系式求导的方法.

三 高阶导数

(1)f′(x)在点x0处的导数称为f(x)在点x0处的二阶导数，记以f′′(x0).若f(x) dny

的n 1阶导数的导数存在，称为y=f(x)的n阶导数，记为y(x)或n.

dx

(n)

(2)运算法则：(u(x)+v(x))

(n)

=u(x)+v(x)，(u(x)v(x))

(n)(n)(n)

=∑Cnku(x)(k)v(x)(n k)

k=0

n

(3) 常见函数的高阶导数：(ax)(n)=ax(lna)n,(ex)(n)=ex,

sin(ax+ )(m)

amsin(ax+ +m),

2

π

=

[(1+x)]

m

(n)

=

题型四 求高阶导数

1 直接将函数写成常见函数的加减式, 然后利用常见函数的公式求解. 2 若函数为f(x)=xkg(x),利用莱布尼茨公式求解. 3 若只求某点的高阶导数f

(n)

m(m 1) (m n+1)(1+x)m n,m≥n=

0 , m<n

(a), 利用泰勒公式f(x)

∑f

n=0

∞

(n)

(a)(x a)n

§2 中值定理和导数的应用

一 微分中值定理

1洛尔定理: 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导

f(a)=f(b), 则存在ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=0.

2 拉格朗日定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导， 则 存在ξ∈(a,b)，使得

f(b) f(a)=f′(ξ). b a

=

推论: 若在(a,b)内可导，且f′(x)≡0，则f(x)在(a,b)内为常数。

3 柯西中值定理:设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]内皆连续，在开区间(a,b)内皆可导，且g′(x)≠0，则存在ξ∈(a,b)使得

f(b) f(a)f′(ξ) (a<ξ<b)。 =

′gb gagξ二 泰勒定理（泰勒公式）

(1) Lagrange余项：设f(x)在包含x0的区间(a,b)内有n+1阶导数，在[a,b]上有n阶连续导数，则对x∈[a,b]，有公式 f(x)

f′(x0)f′′(x0)f(n)(x0)f(n+1)(ξ)2nn+1

+ + + + f(x0)+xxxxxxxx(0)(0)(0)(0)

n!1!2!n+1!

(2)皮亚诺余项: 设f(x)在x0处有n阶导数，则有

f(x)

f′(x0)f′′(x0)fn(x0)nn2

f(x0)+x x0) (x x0)+(x x0)+ +(x x0)+o ( n!1!2!

注：上面展式称为以x0为中心的n阶泰勒公式;x0=0时，也称为麦克劳林公式。 (3) ex,sinx,cosx，ln(1+x)和(1+x)等的n阶泰勒公式.

α

三 极值

1若对点x0,存在它的某一邻域, 使得其中 x(x≠x0)，总有f(x)<(>)f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的一个极大(小)值，称x0为极大(小)值点. 2 必要条件: f(x0)为极小值 f′(x0)=0(驻点)或f(x)的不可导点. 3充分条件: 一阶判别法和二阶判别法

(1) x0为可能极值点, f′(x)在(x0 δ,x0)和(x0,x0+δ)异号，左边小于0右边 大于0为极大值， 反之为极小值.

(2) f(x)在x0处有二阶导数，且f′(x0)=0，f′′(x0)≠0，则当f′′(x0)<0，f(x0) 为极大值，x0为极大值点.

题型一：极值的判断与求解

1 若只知道函数的连续性, 利用极值的定义求解.

2 若已知函数可导, 先求可能的极值点, 然后再用充分条件判断. 注：极值的两个充分条件不能互相替代, 例如求隐函数的极值问题只能用二阶导数判别法.

四 最大值和最小值

1闭区间[a,b]上最值

(1) 求出f(x)在(a,b)内所有驻点，和不可导点x1, ,xk； (2) 计算f(x1), ,f(xk),f(a),f(b)；

(3) 比较上面的值，最大者就是最大值M；其中最小者就是最小值m. 2 开区间(a,b)上最值

(1) 求出驻点,利用图表法划分单调区间; (2) 作出草图, 求出最值.

五 凹凸性与拐点

1若f''(x)<0称f(x)是凸的，若f''(x)>0则称f(x)是凹的. 曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点.

2 必要条件：f′′(x)=0或f′′(x)不存在。

充分条件：去心邻域二阶可导，f′′(x)在x=x0左右变号。 题型二：判断凹凸性和拐点

六 渐进线

1 垂直渐近线x=c：limf(x)=∞或limf(x)=∞.

x→c

x→c+

2 有斜率的渐近线：lim(f(x) ax+b)=0或lim(f(x) ax+b)=0,

x→+∞

x→ ∞

其中a

f(x)f(x)

,blim(f(x) ax)或alim,blim(f(x) ax)

→+∞x→+∞xx→ ∞x→ ∞xx

题型三 求渐近线方程

1 垂直渐进线： 先求可能点(定义域的端点)+ 定义判断

2 有斜率的渐近线：先求x→+∞的情形, 再求x→ ∞的情形 题型四 方程根的讨论

lim

1 写出方程对应的函数f(x).

2 求f(x)的驻点,利用图表法将函数分解成几个小的单调区间.

3 作f(x)草图, 分析各单调区间端点值(或极限值)的符号，得到根的个数 ==

题型四 中值定理的等式证明 情形一： 一个中值点、一阶导数 1 参数放在等式右边，左边为

f(b) f(a)f(b) f(a)

或的形式，直接利用拉格

b ag(b) g(a)

朗日或者柯西中值定理.

2 辅助函数法

注：特别要注意变上限函数的情形. 情形二 k阶导数一个中值点 方法：多次利用洛尔定理. 情形三 1阶导数2个中值点

1三个点，用二次Lagrange中值定理. 本情况下的中值点必定是相异的. 2 将两个参变量分离在等式的两边，与形式定g(x),h(x)，利用柯西中值定理即得. 题型五 不等式的证明 情形一： 不含中值点

方法1 参数放在等式右边，左边为

f'(ξ)f'(η)h(b) h(a)

作对比，确=

g'(ξ)h'(η)g(b) g(a)

f(b) f(a)f(b) f(a)

或的形式，

b ag(b) g(a)

2013考研数学之高等数学

直接利用拉格朗日或柯西中值定理. =

方法2：辅助函数法

1 设置一个自变量,构造自变量的函数； 2 对函数求导，通过研究导数求最值,

(1) 具体而言，要么求出f'(x)=0的根设法证明其中一个根为最值点; = 要么证明f'(x)>0或f'(x)<0,得到单调性.

(2) 如果无法把f'(x)研究清楚, 就通过研究f"(x)得到f'(x)的性质. 3 将最值和要证明的值做比较 情形二： 含中值点或者maxf(n)(x)

核心点：Lagrange中值定理和泰勒定理, 在导数和高阶导数信息最多的点展开.

三 积分及其应用

§1 不定积分

一 不定积分的基本概念

1 定义：F′(x)=f(x)在区间I上成立，则称F(x)为f(x)在区间I的原函数.f(x) 在区间I中的全体原函数称为f(x)在区间I的不定积分，记为∫f(x)dx=F(x)+C. 2 充分条件：若f(x)连续则必有原函数.

sinxcosx1 x2注：sinx,cosx,,,,e等函数有原函数但原函数不能用初等函数表示.

xxlnx

2

2

3 不定积分的性质 ∫f(x)dx=F(x)+C

(1)∫F′(x)dx=F(x)+C (2) ∫f(x)dx '=f(x)

(3)∫kf(x)dx

k∫f(x)dx(k≠0) (4)∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

二 第一类类换元法

1 公式：设∫f(u)du=F(u)+C，又 (x)可导，则∫f[ (x)] ′(x)dx=∫f[ (x)]d (x). 2 常用的凑微分

1

(1)dxd(ax+b) (2) sinxdx= dcosx,cosxdx=dsinx

a

1

(3)sec2xdxdtanx,secxtanxdxdsecx (4)exdxdex,axdxdax

lna

darcsinx,

1

dx2

1+x

darctanx

1

dxα+1,α≠ 11 α

(6) xdx= α+1, 特别的α=1, , 2要记处.

2 dln|x|,1= α

二 第二类类换元法

1 公式：若 (t)可导、单调且 '(t)≠0则∫f(x)dx2 常见代换模式

(1) a2 x2，令x=asint, t∈[

x= (t)

=∫f (t) '(t)dt.

ππ

,]

22

ππ(2) a2+x2, 令x=atant, t∈[

,] 22x=asect, t∈[0,)∪t∈

(,π]

22(4) f(x

或f(x

，令tππ

或t=

3 说明：第二类换元法并不局限于上面的代换模式, 其他类型的复杂 函数也可尝试此法.

三 分部积分法

1 公式：设u(x)，v(x)均有连续的导数，则∫u(x)dv(x)=u(x)v(x) ∫v(x)du(x)。 ==

2 在选用分部积分法时，选取v的顺序为三角、指、幂、有理、反对数、反三角.

四 特殊函数的积分

1 有理函数积分

(1) 特型方法：除、拆.

(2) 一般情形下，低次问题才会用特型方法, 高次问题用第一类换元法. 2三角函数的积分

t=tan

(1)万能公式法：∫f(sinx,cosx)dx=

x2

∫

2t1 t22f(,)dt 2221+t1+t1+t

(2)一般情形下，式子比较简单才会用万能公式,其他用凑微分. 题型一 求解不定积分

题型二 求分段函数的不定积分 1 在各段先求出不定积分

2 分界点的连续性(少数时候用到可导性)，得到一系列方程并求解.

§2 不定积分

一 定积分的基本概念

1 定义：∫f(x)dx=lim∑f(ξ) xi.

a

d→0

i=1

i

nn111i 111i

特别的：∫f(x)dx=lim∑f()或∫f(x)dx=lim∑f().

00nnnnnnn→∞i=1n→∞i=1=

1

b

n

2 充分条件：函数在[a,b]连续或函数在[a,b]有界且仅有有限个间断点. 必要条件：函数有界

3 定积分的重要性质 (1) ∫[Af(x)±Bg(x)]dx

ab

a

a

b

b

A∫f(x)dx±B∫g(x)dx.

a

a

b

c

b

a

a

c

bb

(2) (x)dx= ∫f(x)dx, ∫f ∫f(x)dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx. (3) 若f(x)≤g(x),x∈[a,b], 则∫f(x)dx≤∫g(x)dx.特别的：

a

a

b

b

又有f(x),g(x)连续，=但两个函数不全相等，则∫f(x)dx<∫g(x)dx.

a

a

bb

(4)中值定理. 设f(x)在[a,b]上连续，则存在ξ∈(a,b)使得

∫f(x)dx=f(ξ)(b a).

a

b

(5) 定积分是一个数

题型一 定积分的概念和基本性质

二 微积分基本定理

1 设f(x)在[a,b]上连续，则推广:

(∫

x

a

f(t)dt'=f(x).

)

(∫

φ2(x)

φ1(x)

f(t)dt'

)

′x f φx φ′x。 f φxφ ()22 () 1() 1()

注: 我们只能计算被积函数为f(t)的变上限函数的导数，若为f(t,x)必须通过提取x或变量代换将积分函数化成只和t有关的函数。

2 (N—L)f(x)在[a,b]上可积，F(x)为一原函数，则∫f(x)dx=F(x)=F(b) F(a).

ba

b

a

3 不定积分与定积分的转换 (1) ∫f( (x)) '(x)dx=

ab

(b)

∫

f(u)du。

(a)

(2) ∫f(x)dx=∫f[ (t)] ′(t)dt (x= (t)在[α,β]单调， (α)=a， (β)=b)；

a

bβ

α

bbb

)()()（3）∫u(x)v′(x= ∫v(x)u′(x)dx。 dxuxvx=aaa

注: 无论是哪一种换元在计算中一定要变换积分限。

题型二 关于变上限函数的求导

三 反常积分

1 无穷区间上的广义积分 (1)定义：∫

+∞a

f(x)dx=lim

b→+∞a

∫

b

f(x)dx. 若极限存在，则称广义积分∫

+∞a

+∞

a

f(x)dx是

收敛的，它的值就是极限值；若极限不存在，则称广义积分∫(2) 其他类型： ∫f(x)dx=lim

∞b

a→ ∞ac

f(x)dx是发散的.

∫f(x)dx

+∞c

b

∫

+∞

+∞

∞

f(x)dx=∫f(x)dx+∫

∞

f(x)dx=lim

a→ ∞a

∫f(x)dx+lim∫f(x)dx

b→+∞c

cb

（3）一个结论：

∫

1

收敛,p>11

=dx xp发散，≤p1

2 无界区间上的广义积分（瑕积分）

(1)定义：设f(x)在[a,b)内连续，且lim f(x)=∞，则称b为f(x)的瑕点。定义

x→b

∫

b

a

f(x)dx=lim+∫

∈→0

b ∈

a

f(x)dx. 若极限存在，则称广义积分∫f(x)dx收敛，且它的

a

ba

b

值就是极限值，若极限不存在，则称广义积分∫f(x)dx发散。 (2) 其他类型： ∫f(x)dx=lim∫

ab

b

ε→0+a+εc ∈1

f(x)dx，b为f(x)的瑕点

b

∈2→0

c+∈2

∫

b

a

f(x)dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx=lim+∫

a

c

∈1→0

1

cb

a

f(x)dx+lim+∫

f(x)dx, c∈(a,b)为f(x)的瑕点

（3）一个结论：∫

收敛,0<p<11dx= xp发散，≥p1

三 关于积分的其他

1原函数：奇原偶, 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数.

π2

π

n

2

2 公式： I

∫sin

xdx

∫cos

n

xdx

n 1n 31π

,n为偶数 nn 122

n1n32 ，n为奇数 nn 13

题型二 定积分和反常积分的计算

1 对称性和周期性