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二次函数的三种解析式

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二次函数的三种解析式1.一般式 一般式y=ax2+bx+c(a≠0) 一般式 ) 2.两根式 两根式y=a(x-x1)(x-x2) 两根式 3.顶点式 顶点式y=a(x+h)2+k 顶点式

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两根式y=a(x-x1)(x-x2) 两根式 二次函数图象与x轴的交点为 二次函数图象与 轴的交点为 A(x1,0), B(x2,0); 对称轴 yx1 + x2 2

x1 + x2 x= 2 | a|

A x1P

o

x2

B

x

那么AB=

x1 + x2 x= 2

顶点横坐标=

x

1

+x2

2

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两根式y=a(x-x1)(x-x2) 两根式x1x2>0, 点A,点B在原点同侧 点 在原点同侧

x1 + x2 > 0,原 右 点 侧 x1 + x2 < 0 原 左 ， 点 侧x1x2<0,点A,点B在原点两侧 点 点 在原点两侧

x1 + x2 < 0,AO > BO

x1 + x2 > 0, BO > AO

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顶点式 y=a(x+h)2+k

顶点坐标(-h , k) 顶点坐标

对称轴 x=-h 有最小值为k 当a>0, x=-h时,y有最小值为 时 有最小值为 有最大值为k 当a<0, x=-h时,y有最大值为 时 有最大值为 x>-h表示在对称轴的右侧 表示在对称轴的右侧 x<-h表示在对称轴的左侧 表示在对称轴的左侧 顶点在y轴上 当h=0时,顶点在 轴上； 时 顶点在 轴上； 时顶点在x轴上 当k=0时顶点在 轴上 时顶点在

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3、例题示范 、 已知一个二次函数的图象过点( 例1 已知一个二次函数的图象过点(0,1),它 的顶点坐标是( 的顶点坐标是 ( 8 , 9 ) , 求这个二次函数的关 系式. 系式. 解：设所求的函数为 ∵顶点(8,9) 顶点( , )

∴y = a( x 8) + 92

y = a( x + h) + k2

又∵过点(0,1)∴0 = a 1 0 过点( , )

∴a = 9∴y = 9( x 8) + 92

(

)

2

+9

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已知二次函数的图象过( 例2 已知二次函数的图象过(0,1),(2,4), 10)三点，求这个二次函数的关系式. (3,10)三点，求这个二次函数的关系式. 解：设所求二次函数为

y = ax + bx + c2

又由于其图象过(2,4)、( ,10)两点， )、(3, )两点， 又由于其图象过( , )、( 可以得到 4a + 2b = 3

由已知，这个函数的图象过( , ), 由已知，这个函数的图象过(0,1), 可以得到 c =1

9a + 3b = 9

解这个方程组， 解这个方程组，得：

3 2 3 所以， 所以，所求二次函数的关系式是 y = x x +1 2 2

3 a= 2 = 3 b 2

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图象经过A( , )、 )、B( , ), ),且 例3.图象经过 (1,0)、 (0,-3),且 图象经过 对称轴是直线x=2 ,求这个二次函数的关系 对称轴是直线 式解：∵A(1,0),对称轴为 ， ,对称轴为x=2 轴另一个交点C应为 ∴抛物线与x轴另一个交点 应为(3,0) 抛物线与 轴另一个交点 应为( , ) ∴设其解析式为y=a(x-1)(x-3) 设其解析式为 ∵B(0,-3) ( , ) ∴-3 = a(0-1)(0-3) ∴a= -1 ∴y= -(x-1)(x-3)

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例4已知抛物线与x轴交于A(-1 已知抛物线与x轴交于A(-1,0), 2,0)并经过点M(0,

1),求抛物 M(0,1), B(2,0)并经过点M(0,1),求抛物 线的解析式？ 线的解析式？1 1 2 1 y = (x +1)(x 2) = x + x +1 2 2 2

两根式： 两根式：y=a(x-x1)(x-x2)

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1.已知抛物线 已知抛物线y=ax2+bx+c满足下 已知抛物线 满足下 列条件,求函数的解析式 求函数的解析式. 列条件 求函数的解析式( 1 )图象过 图象过A(0,1) ,B(1,2),C(2,-1)三点 图象过 ， ( , ) ( , ) ∴y= -2x2+3x+1

(2)图象顶点是(-2,3),且经过点(-1,5) 且经过点( )图象顶点是( ) 且经过点 )∴y=2(x+2)2+3 ( ) 轴交于( , ) ( , ) (3)图象和 轴交于(-2,0),(4,0)两点 )图象和x轴交于 且顶点为( , 且顶点为(1,-9/2) ) ∴y= -1/2(x+2)(x-4)

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2.根据下列条件,,求二次函数的关系式. 2.根据下列条件,,求二次函数的关系式. 根据下列条件,,求二次函数的关系式 (1)已知抛物线的顶点在原点，且过点(2,8) 已知抛物线的顶点在原点，且过点( (2)已知抛物线的顶点是(-1,-2), 已知抛物线的顶点是(-1,-2 (- 且过点( 且过点(1,10) 10) (3)已知抛物线过三点(0,-2)、 已知抛物线过三点( ,-2 (1,0)、(2,3) )、(2 【变式】如果将(2)题中的“顶点(-1,-2)” 变式】如果将(2)题中的“顶点(-1,-2 (2)题中的 (- 改为“有最低点(-1,-2 改为“有最低点(-1,-2)”,怎么办？ (- 怎么办？

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拓展与提升

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求满足下列条件的抛物线的解析式 (1)经过点 (2,4), (-1,0)且在 轴上截得 经过点A( , ), ),B( , )且在x轴上截得 经过点 的线段长为2 的线段长为 )(x解：设抛物线的解析式为y=a(x- x1)( x2) 设抛物线的解析式为 ( 轴上截得的线段长为2 ∵ B(-1,0)且在 轴上截得的线段长为 ( , )且在x轴上截得的线段长为 ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 抛物线与x轴的另一个交点坐标为 C(-3,0)或C’(1,0) ( , ) , ) 当抛物线经过B,C两点时 y=a(x+1)(x+3) 两点时, ①当抛物线经过 两点时 抛物线经过A( , ) 又∵抛物线经过 (2,4) 4 )(2+3) ∴a= 15 ∴4=a(2+1)( ( )( ) 4 )(x+3) ∴y= (x+1)( )( ) 15

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②当抛物线经过B、C’ 两点时， 当抛物线经过 、 两点时， y=a( X+1)(X-1) 又∵抛物线经过A(2,4) 抛物线经过 ( , ) )(2-1) ∴4=a(2+1)( ) ( )( a=4/3 ∴ y = 4/3 ( X+1) (X-1)

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x1 + x2 解： ∵ 2

(2)交x轴于 (x1,0), (x2,0),顶点 交 轴于 轴于A( ),B( ),顶点 ), ), ),且 为P(1,-4),且x12+x22=10 ( , ), =1 ∴

x1 + x2=2

∵ x12+x22=10 ∴x1= -1 ; x2=3 ),B( , ) ∴ A(-1,0), (3,0) ( ,

), )(x- ) ∴抛物线的解析式为y=a(x+ 1)( 3) 抛物线的解析式为 ( )( 又∵抛物线的顶点为 (1,- 4) ∵抛物线的顶点为P , ) ∴- 4=a(1+1)( 3) ( )(1- ) )( ∴a=1 )(x- ) ∴y = (x+ 1)( 3) )(

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(4)图象顶点是M(1,16)且与x轴交于两 图象顶点是M 16)且与x 点，已知两交点相距8个单位。 已知两交点相距8个单位。 顶点M坐标为 坐标为( , ), 解： ∵顶点 坐标为(1,16),y 16 对称轴为x=1,又交点 、B关于 对称轴为 ，又交点A、 关于 直线x=1对称，AB=8 对称， 直线 对称 )、B( , ) ∴A(-3,0)、 (5,0) A ( , )、 ∴此函数解析式可设为 y=a(x-1)2+16 ( ) )(x-5) 或y=a(x+3)( ) ( )(-3 o 1 B 5 x